Energia potencial (para um campo de forças conservativo).

Transcrição

1 UNIVERSIDDE DO PORTO Faculdade de Engenharia Departamento de Engenharia Civil Mecânica II Ficha 5 (V3.99) Dinâmica da Partícula Conceitos F = m a p = m v Princípio fundamental. Quantidade de movimento. I = t F dt = p Impulso da força F. L = m r v = r p Momento angular. W = F d r Trabalho da força F. rot F = 0 Campo de forças conservativo. U = W O Energia potencial (para um campo de forças conservativo). F = grad U; W = U U ; U = mgh energia potencial gravítica (Galileu); U = GMm r energia potencial gravítica (Newton); U = 1 2 Kr2 energia potencial elástica. T = 1 2 mv2 E = T + U Energia cinética. Energia mecânica. Teoremas e Princípios Teorema da Energia Cinética variação da energia cinética no deslocamento entre dois pontos é igual ao trabalho realizado pelas forças aplicadas à partícula. T T = W. Princípio da Conservação da Energia Mecânica Se o campo de forças for conservativo a energia mecânica da partícula mantém se constante. Princípio da Conservação do Momento ngular ou Cinético Se o momento das forças aplicadas à partícula, em relação a um dado ponto for nulo, o momento angular da partícula, em relação a esse ponto, mantém-se constante. L = const d L dt = 0 r F = 0.

2 FEUP DEC Mecânica II Ficha 5 (V3.99) 2 Problemas Princípio fundamental 1. Um elevador de 500 kg de massa parte para cima com uma aceleração constante e atinge a velocidade de 1,83 m/s, após um percurso de 1,83 m. Determinar a força de tracção no cabo que suspende o elevador, durante esse movimento. 2. Um corpo de 100 kg de massa encontra se, num dado instante, em, com uma velocidade v =2 m/s. pós 3 s atinge com uma velocidade v =0, 5 m/s, fazendo a direcção de v um ângulo de 45 o com a direcção de v. Determinar a força retardadora F, que actuou entre e, supondo a constante. 45 o v v 3. Considere um bloco de 100 kg de massa assente num plano que faz um ângulo de 30 o com a horizontal. O bloco está em repouso em. Determinar a força horizontal capaz de fazer o bloco subir o plano inclinado e chegar ao ponto, distante 20 m de, com uma velocidade de 1 m/s. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano inclinado são aproximadamente iguais a 0,30. Chegando ao ponto, o bloco continua o seu movimento, sem a acção da referida força. que distância de C irá o bloco cair? Despreze a resistência do ar e as dimensões do bloco. 30 o 4. Considere um corpo de 9,81 kg de massa situado no plano OXY, na origem das coordenadas. Esse corpo parte da origem com uma velocidade inicial de 2m/s,quefazumângulo de 45 o com o sentido positivo do eixo OX. Imediatamente após a partida, o corpo fica sujeito a uma força F =(60t +20, 20 ) (N,s). Determine a que distância do ponto de partida se encontra o corpo ao fim de 5 s. Despreze as dimensões do corpo. 5. Comunica se a um barco de 40 kg de massa uma velocidade inicial de 0,5 m/s. Supondo que a resistência da água ao movimento, para pequenas velocidades, é proporcional à primeira potência da velocidade e que varia de acordo com a lei R = µ v (em que µ =9, 12 N s/m), determinar ao fim de quanto tempo a velocidade do barco diminuirá para metade e qual a distância percorrida até parar. 6. Um corpo de 10 kg de massa parte com uma velocidade v o =4m/sde, deslizando numa superfície que faz um ângulo de 30 o com a horizontal. Entre e, distantes de 10 m, o coeficiente de atrito cinético é 0,4. Que valor tem que ter o coeficiente de atrito cinético entre e C, distantes de 20 m, para que o corpo atinja o ponto C com a mesma velocidade com que partiu de?

3 FEUP DEC Mecânica II Ficha 5 (V3.99) 3 10 m 20 m v 0 30 o C 7. Duas caixas são colocadas num plano inclinado. O coeficiente de atrito entre as caixas e a superfície é de 0,20. Sabendo que as caixas estão em contacto quando libertadas, determinar a aceleração de cada caixa e a força exercida pela caixa sobre a caixa. Os seus pesos são respectivamente 150 N e 100 N. 45 o 8. Dois blocos, sob a acção da força F, movem-se num plano horizontal, sendo 0,1 o coeficiente de atrito cinético no contacto dos blocos com o plano. corda que liga os blocos rompe-se para uma força de tracção de 200 N. Determinar o valor de F que conduz à rotura da corda. Os pesos dos blocos e são respectivamente 500 N e 300 N. 30 o F Trabalho e energia 1. Considere o campo de forças F =(x 2y) î +(y 2x) ĵ (N,m). (a) Calcule o trabalho realizado pelas forças do campo no deslocamento de uma partícula do ponto O (0, 0) ao ponto (2, 4), i. ao longo da recta y =2x, ii. ao longo da parábola y = x 2. (b) O campo será conservativo? 2. mola C de constante K está presa ao colar C de massa m quesemovelivrementeaolongoda barra horizontal. O comprimento da mola quando não está esforçada é l o. Desprezando o atrito, exprimir a aceleração do colar em função de x.

4 FEUP DEC Mecânica II Ficha 5 (V3.99) 4 l 0 x 3. esfera de 50 kg de massa é libertada do repouso quando φ =0 o. Para que a velocidade da esfera seja de 2,5 m/s quando φ =90 o, determinar o valor do esforço inicial na mola. O coeficiente de elasticidade da mola é K =24kN/m. 300 mm 125 mm φ 600 mm 4. Um pequeno bloco é libertado em com velocidade nula e move se ao longo da guia, sem atrito, em direcção a, onde deixa a guia com velocidade horizontal. Determinar a velocidade do bloco ao atingir o solo em C e a distância d. 0.9 m C 2.4 m d 5. (a) Determine a velocidade mínima v 0 a que deve partir um corpo projectado verticalmente da superfície da Terra, para que atinja uma dada altura H. (b) Qual terá de ser a velocidade inicial para que o corpo se afaste até ao infinito, isto é, para que saia fora do campo gravítico terrestre e não volte a cair nele. Despreze a resistência do ar e admita que: i. a força gravitacional é constante; ii. a força gravitacional é dada por F = G Mm r esfera de peso P é largada na posição 1. Determinar a força de tracção no fio de comprimento l, quando a esfera atingir a posição 2.

5 FEUP DEC Mecânica II Ficha 5 (V3.99) 5 1 l P 2 7. Uma esfera, com 200 kg de massa, é solta na posição indicada na figura. Determine: (a) a aceleração com que a esfera inicia o movimento; (b)opontoemqueaesferatocará o solo sabendo que o esforço máximo que o fio suporta éde 3500 N. 5m 30 o 5m 10 m Impulso de uma força e quantidade de movimento 1. Um martelo de forja tem uma massa de 2000 kg e cai de uma altura de 1,80 m. Supondo que o choque tem a duração de 0,015 s, determine a força exercida pelo martelo sobre a peça a forjar. 2. Um projéctil de 1 kg de massa vai ser lançado de um ponto situado num plano horizontal. Pretendese que o projéctil caia a uma distância de 300 m do ponto de partida, após ter atingido uma altura máxima de 100 m. força propulsora inicial actuará durante 0,005 s e pode considerar se constante durante esse tempo. Determine a direcção e grandeza dessa força, desprezando a resistência do ar. 3. resultante R de todas as forças que actuam sobre um pistão, varia de grandeza durante um certo intervalo de tempo, de acordo com a equação R =0, 4P (1 kt) (N,N,s 1,s), onde P éopesodo pistão, t éotempoek é um factor igual a 1,6 s 1. Determinar a velocidade do pistão no instante igual a 0,5 s, sabendo que a sua velocidade inicial era v 0 =0, 2m/s. 4. Uma mala de 150 N de peso élançada, com a velocidade horizontal de 3 m/s, sobre um carrinho de bagagem de 300 N de peso. Sabendo que o carrinho se pode deslocar livremente e está inicialmente em repouso, determinar a velocidade do carrinho, após a mala ter parado de deslizar sobre o mesmo. 5. Um vagão de 270 kn de peso vai ser atrelado a um outro vagão que pesa 180 kn. Se a velocidade inicial do vagão de 270 kn é de 1,6 km/h e o vagão de 180 kn está em repouso, determinar: (a) a velocidade final dos vagões depois de atrelados; (b) a força impulsiva média que age sobre cada vagão se o acoplamento é realizado em 0,5 s. 6. Sobre uma partícula de massa 2 kg, actua uma força dada pela expressão F =(2t, cos t, sin t) (N,s). Sabe-se que no instante inicial a partícula tem a velocidade v 0 =(π 2 /8, 0, 0) m/s. Determine:

6 FEUP DEC Mecânica II Ficha 5 (V3.99) 6 (a) a velocidade no instante t = π/2 s; (b) a potência desenvolvida nesse instante; (c) a variação da quantidade de movimento até esse instante; (d) o trabalho realizado até esse instante. Momento angular ou cinético 1. Um satélite é projectado no espaço com velocidade v 0 a uma distância r 0 do centro da Terra, pelo último andar do foguetão de lançamento. velocidade v 0 foi projectada para colocar o satélitte numa órbita circular de raio r 0. No entanto, devido ao mau funcionamento do controlo, o satélite não é projectado horizontalmente, mas num ângulo α com a horizontal, e, como resultado, éimpelido numa órbita elíptica. Determine os valores máximo, r 1,emínimo, r 2, da distância do centro da Terra ao satélite. v 0 α r 0 r 1 r 2 2. altitude máxima de um satélite artificial, ao entrar em órbita em redor da Terra, é de km acimadasuperfície da Terra e a altitude mínima é de 640 km. Determinar os valores máximo e mínimo da velocidade do satélite, sabendo que: o raio da Terra é de 6400 km; a massa da Terra é de 5, kg; a constante de gravitação universal é G =6, m 3 /kg/s 2. Soluções Princípio fundamental N. 6. 0,666. Trabalho e energia J; -6 J. Sim. 2. kx m 3P.7. 8,50 m/s 2. 1 l N. 4. 6,85 m/s; 2,32 m. 5. 2gH; l 2 +x 2 Impulso de uma força e quantidade de movimento kn. 2. (66500, 88700) N. 3. 1,38 m/s. 4. 0,9 m/s. 5. 0,96 km/h; 9,79 kn. 6. kg m/s; 5, 07 J. Momento angular ou cinético 1. r = r 0 (1 ± sin α) m/s; 1470 m/s. r 2 GM 1 q R 1 2GM. ; R+H R. 6. π 2 4, 1 2, 1 2 m/s; 8, 25 W; π 2 4, 1, 1