rdm M r G = vdm v G = adm a G = p = ω Mv2 G T = 1 2 I w GP v r dm L G = I G ω. OP vdm L O = I G ω + M OG v G.

Transcrição

1 UNIVERSIDDE DO PORTO Faculdade de Engenharia Departamento de Engenharia Civil ecânica II Ficha 7 (V1.99) Dinâmica do Corpo Rígido ovimento Plano Conceitos Posição do centro de massa (C): Velocidade do centro de massa: celeração do centro de massa: Quantidade de movimento: r = rdm. v = vdm. a = adm. p = vdm= v. Energia cinética em relação ao sistema de C: 1 T C = 2 v2 r dm T C = 1 2 I ω 2. Energia cinética: T = 1 2 v2 dm T = 1 2 I ω v2 T = 1 2 I w ω 2. omento angular interno axial: L = omento angular axial: L O = omento angular axial em relação ao eixo de rotação: P v r dm L = I ω. OP vdm L O = I ω + O v. L ω = I ω ω. Obs.: ω = eixo de rotação; = eixo paralelo a ω e que passa pelo C; O = eixo paralelo a ω e que passa pelo ponto O. Teoremas e Princípios Teorema da Energia Cinética variação da energia cinética de um corpo rígido é igual ao trabalho realizado sobre o corpo pelas forças externas. T T o = W ext.

2 FEUP DEC ecânica II Ficha 7 (V1.99) 2 Teorema 2 razão de variação com o tempo da quantidade de movimento de um corpo rígido é igual à resultante das forças externas que actuam sobre o corpo. d p dt = R R = a. Teorema 3 razãode variação com o tempo do momento angular axial de um corpo rígido relativamente aumeixofixo,é igual ao momento axial total, relativo ao mesmo eixo, das forças externas que actuam sobre o corpo. d L O dt = O O = I α + O a. Corolário No movimento de rotação pura, resulta que: ω = I ω α. Teorema 4 razão de variação com o tempo do momento angular interno axial de um corpo rígido é igual ao momento total, relatico a, das forças externas que actuam sobre o corpo. d L C dt = = I α. Princípio da Conservação do Energia ecânica Num sistema sujeito apenas à acção de campos conservativos, a energia mecânica, E = T + U, mantém-se constante. Princípio da Conservação da Quantidade de ovimento Se o somatório das forças exteriores é nulo, a quantidade de movimento do corpo mantém-se constante. Princípio da Conservação do omento ngular Se o momento axial das forças exteriores, em relação a um dado eixo for nulo, o momento angular axial do corpo, em relação a esse eixo, mantém-se constante. Princípio de D lembert Os somatórios de forças e de momentos aplicados a um corpo são nulos se às forças exteriores adiccionar-mos a força de inércia, F = m a, aplicada no centro de gravidade do corpo, e um binário de momento I α. Problemas n i=1 n ( ) Fext i=1 i m a = 0 ( ) r i Fext r m a I α = 0 i 1. Determine a energia cinética de um cilindro homogéneo de massa e cuja circunferência da base tem raio R, quando rola sem deslizamento sobre uma superfície plana, sabendo que a velocidade do centro de massa é v. 2. Uma carroça com 4 rodas é puxada por uma força constante F = 16 kgf, que a força a subir um plano inclinado de 30 o com a horizontal. O peso da plataforma da carroça éde18kgfecadaroda pesa 2 kgf. Determine: (a) a velocidade linear da carroça quando percorrida a distância de 4 m, sabendo que v o =0; (b) a aceleração da carroça. Obs.: as rodas rolam sem deslizamento; despreze todos os atritos internos na carroça. 3. plica-se a um sólido, de massa 1 kg, susceptível de mover-se em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa, um binário de momento igual a dine cm. Sabendo que a lei do movimento é dada por θ =2t 2 (rad,s) e que o sólido parte do repouso, determine:

3 FEUP DEC ecânica II Ficha 7 (V1.99) 3 (a) o momento de inércia do sólido relativamente ao eixo de rotação e o raio de giração; (b) a energia cinética adquirida pelo sólido 5 s depois de iniciado o movimento. 4. Considere um prisma de determinado material, de bases quadradas, a efectuar uma rotação em torno de um eixo que passe pelo centro das bases. Sabendo que as dimensões do prisma são 2a 2a 10a cm 2 e que a massa específica do material é 3 g/cm 3, calcule o valor de a para que, aplicado um momento = e t (dine cm, s), se verifiquem as seguintes condições: para t =0s,ω =0eθ =0; para t =1s,θ = e rad. 5. Considere a placa rectangular homogénea, ρ = 3 g/cm 3, na qual se fizeram furos. Determine: (a) a posição do baricentro da placa furada, referido ao sistema de eixos OXY ; (b) o momento de inércia da placa furada relativamente ao eixo OX; (c) a energia cinética de rotação e a velocidade linear do centro de massa, quando a placa furada efectua um movimento de rotação em torno do eixo OX com a velocidade angular de 3 rad/s. y 4cm 1cm 1cm 1cm O x 2cm2cm2cm2cm 3cm 1 6. Uma bala pesando 0,40 N é disparada com velocidade horizontal de 540 m/s contra uma prancha de madeira de 75 kg, com comprimento L =0, 75 m. prancha, que está inicialmente em repouso, é suspensa por uma corda de comprimento L =0, 75 m. O momento de inércia de uma barra de largura desprezável face ao seu comprimento, em relação ao seu centro de gravidade é I = L 2 /12, sendo a massa da barra e L o seu comprimento. (a) Sabendo que h = 0, 15 m, determine a velocidade de cada extremidade da prancha imediatamente após a bala se ter encravado. (b) Determine a distância h para a qual, imediatamente após a bala se ter encravado, o centro instantâneo de rotação éoponto. L h L v 0 7. Uma esfera de 1,5 kg de massa move se horizontalmente com uma velocidade de 10 m/s e choca com a extremidade inferior de uma barra rígida de 60 kg de massa e de 1 m de comprimento. barra, que inicialmente se desloca para a esquerda sem rotação e com a velocidade de 0,1 m/s,

4 FEUP DEC ecânica II Ficha 7 (V1.99) 4 está suspensa de um fio de massa desprezáveledecomprimento1m. Omomentodeinércia de uma barra de largura desprezável face ao seu comprimento, em relação ao seu centro de gravidade é I = L 2 /12, sendo a massa da barra e L o seu comprimento. C 1m 0.1 m/s 1m 10 m/s (a) Supondo o choque inelástico, com coeficiente de restituição entre a esfera e a barra e =0, 80, determine a velocidade angular da barra e a velocidade da esfera, imediatamente após o choque. (b) Supondo o choque plástico (i.e., a esfera fica cravada na barra), determine as velocidades v e v das extremidades da barra, o seu CIR e a energia cinética da barra, imediatamente após o choque. (c) Se a esfera, seguindo uma trajectória inclinada, chocar em com a barra, ficando aí encravada (choque plástico), determine: as reacções impulsivas na articulação C, supondo que a duração destas é de s; a velocidade angular da barra imediatamente após o choque. 10 m/s 8. Um paralelipípedo, de base quadrada, a = 2 cm, e altura h = 4 cm, executa um movimento de rotação e, num dado instante, ocupa a posição representada na figura em que as coordenadas do ponto em relação ao sistema de eixos são (4,4,6) cm. massa volúmica do material de que é composto o paralelipípedo é ρ = 3 g/cm 3. Sabe-se que, nesse instante, a velocidade e a aceleração angulares do paralelipípedo são ω =(0, 1, 0) rad/s e α =(0, 2, 0) rad/s 2, e que a velocidade do ponto é v =(4, 0, 0) cm/s. (a) Defina completamente o eixo de rotação. (b) Defina completamente o sistema de forças exteriores que, nesse instante, está aplicado ao paralelipípedo. (c) Determine a velocidade e a aceleração do ponto, nesse instante. z 10 o O y x 9. O movimento da barra, com 0,16 m de comprimento e 10 kg de massa, é dirigido pelos pinos colocados em e, que deslizam livremente e sem atrito nas ranhuras ilustradas, segundo um plano vertical. Sob a acção da mola a barra é projectada com uma velocidade inicial (v ) o =4 m/s, ocupando sucessivamente as posições (1), (2) e (3). Com base nos dados da figura, determine:

5 FEUP DEC ecânica II Ficha 7 (V1.99) 5 (a) a variação de v, em função de x, nos primeiros instantes do movimento, caracterizando cinematicamente esse movimento; (b) as velocidades lineares dos pontos, e, naposição (2); (c) a velocidade do centro de massa da barra, na posição (3); (d) a distância percorrida pela barra, depois de ocupar a posição (3), sabendo que após esse instante fica sujeita a uma força de travagem de valor F = 100v. Obs.: plique o princípio da conservação da energia mecânica e considere que o momento de inércia baricêntrico da barra é I = ml 2 /12, em que m é a massa da barra e l o seu comprimento. d (3) (2) 0.12 m 0.2 m 30 o (1) v 0.15 m 10. Considere o sólido representado na figura, constituido por dois materiais de massas volúmicas diferentes e animado de um movimento de rotação em torno do eixo OX. (a) Determine as coordenadas do centro de massa, relativamente apo sistema de eixos dado. (b) Determine o momento de inércia, I OX, e o raio de giração, R OX, relativamente ao eixo OX. (c) Sabendo ( que o momento axial das forças exteriores, relativamente ao eixo OX é m OX = 1 2 I OXt, 0, 0 ) (N m, kg m 2,s) e o momento angular axial, em relação ao mesmo eixo, no instante t =0s,é L OX =( 2I OX, 0, 0) (kg m 2 /s, kg m 2 ), determine: i. a lei horária do movimento, θ = θ(t); ii. a resultante das forças exteriores, no instante t = 2s; iii. o trabalho realizado pelas forças exteriores entre os instantes t = 0set = 2s. z ρ = 1000 kg/m 3 ρ = 2000 kg/m 3 R y 6m I = ρ πr4 4 x

6 FEUP DEC ecânica II Ficha 7 (V1.99) Para o bloco representado na figura, e sendo f o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a plataforma, determine: (a) a aceleração para a qual o bloco começa a deslizar; (b) a aceleração para a qual o bloco tombará sobre a aresta inferior esquerda, admitindo que a força de atrito é suficiente para impedir o escorregamento. c c h h P a 12. Quando a velocidade do veículo era de 9 m/s, aplicaram se os travões bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem de girar. O veículo derrapou 6 m antes de parar. Determine o módulo da reacção normal e da força de atrito em cada roda, enquanto o veículo derrapava. 1.2 m 1.5 m 2.1 m 13. O coeficiente de atrito entre o pavimento de uma estrada e as rodas de um automóvel é f =0, 4. O centro de gravidade, considerando já os passageiros no interior, está a 0,65 m de altura da estrada e equidistante das rodas, as quais distam entre si de 1,40 m. O automóvel irá descrever uma curva de 244 m de raio com velocidade constante. curva será descrita várias vezes, com a velocidade aumentando de uma passagem para outra. Determine se o acidente ocorrerá por derrapagem (deslizamento do automóvel para o exterior da curva) ou por capotagem (rotação do automóvel em torno das rodas do lado exterior da curva). 14. Um anel de raio r e massa m é colocado sobre uma superfície horizontal, sem velocidade linear, mas com velocidade angular ω 0 no sentido horário. Sendo µ o coeficiente de atrito entre o anel e a superfície, determinear: (a) o instante t em que o anel começa a rolar sem escorregar; (b) as velocidades linear e angular do anel no instante t. Soluções v ,8 m/s; 0,98 m/s gcm 2 ; 10 cm erg. 4. 2,0 cm. 5. (0, 0047; 0, 148) cm; 6006 g cm 2. 0,444 m/s; erg. 8. = {(x, y, z) :x =2 z =2}; R = (144, 0, 192) dine; mτ = (0, 640, 0) dine cm; (4, 0, 2) cm/s; (6, 0, 8) cm/s a>fg; a> gl. h 12. 0,177 P; 0,122 P; 0,323 P; 0,222 P. 13. Deslizamento (30,9 m/s; 50,7m/s). rω ; rω 0 ; ω 0 2µg 2 2.