b) O trabalh o realizado pela força durante o mesmo interv alo de tempo.

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1 Capítulo 4 T rab alh o e E n e rg ia E x e rc íc io 4.1 : Sobre uma partícula de massa kg, actua durante s a força F = 1 6 tî + 1 t ĵ (N ). Sabendo q ue, q uando a força começa a actuar, a partícula já está animada de v elocidade v = 3 î + 4 ĵ (m/ s), determinar: a) O impulso comunicado pela força durante os segundos. b) O trabalh o realizado pela força durante o mesmo interv alo de tempo. E x e rc íc io 4. : D eterminar o trabalh o realiz ado pelo campo de forças F = x î + y ĵ (SI) sobre uma partícula q ue se mov e de A(0, 0 ) para B(, 4 ): a) A o longo da parábola y = x. b) D e (0, 0 ) a (, 0 ) ao longo do eix o dos X X e depois ao longo da recta x = até ao ponto (, 4 ). c) A o longo da recta y = x. E x e rc íc io 4.3 : U m corpo com massa 1 kg é lançado da superfície da terra com v elocidade de módulo m/ s na direcção da v ertical. À altitude de m tem v elocidade de módulo 1 0 m/ s. Sabendo q ue o trabalh o da resistência do ar foi de 4 0 J oules e supondo q ue é constante a aceleração da grav idade durante o mov imento, calcular essa aceleração. E x e rc íc io 4.4: U m corpo de massa 5 0 g parte do repouso e desce com atrito, ao longo de um plano inclinado de altura 1 m e de inclinação 3 0. O coefi ciente de atrito entre o corpo e o plano é

2 a) R ep resentar nu m esq u em a tod as as forças ap licad as no corp o e d eterm inar a v elocid ad e com q u e o corp o atinge a base d o p lano inclinad o. b) D eterm inar a v elocid ad e com q u e o corp o atingiria a base d o p lano se não hou v esse atrito. Exercício 4.5: Uma partícula de massa m move-se sem atrito sobre uma semiesfera maciça de raio R, como se vê na figura 4.1. O movimento inicia-se no ponto indicado na figura, sendo nula a sua velocidade inicial. R F igu ra 4.1 : Ex ercício 4.5. a) Determinar o módulo da velocidade da partícula quando esta toca o chão. b) Determinar o ângulo θ para o qual deixa de haver contacto entre a partícula m e a esfera de raio R. Exercício 4.6 : Um objecto de massa 1 kg, ligado por um fio inextensível a um ponto fixo, descreve uma trajectória circular de raio igual a 1 m, num plano vertical. Sejam A e C os pontos mais alto e mais baixo da trajectória, respectivamente, e o sentido do movimento o indicado na figura 4.. Determinar: B A R D C F igu ra 4. : Ex ercício 4.6. a) O trabalho de todas as forças aplicadas ao objecto nos percursos AB, AC, AD. 46

3 b) A velocidade escalar do objecto em B, C e D, sabendo que em A ela é de 4 m/s. c) A tensão do fio em A, B, C e D. Exercício 4.7: Um pêndulo simples é abandonado numa posição em que é de 60 o ângulo do fio com a vertical. O fio tem comprimento l. Desprezando a resistência do ar, determinar: a) As posições em que é màxima a energia cinética e a energia potencial, calculando-as nesses pontos (T omar como origem da energia potencial o ponto mais baixo da trajectória). b) A aceleração do pêndulo nas posições extremas. c) A aceleração na posição vertical. d) A aceleração naquela posição em que o valor do módulo da aceleração tangencial é igual ao módulo da aceleração normal. e) A tensão no fio em cada um dos casos. Exercício 4.8 : Na figura 4.3 está representada uma calha cuja parte terminal é constituída por um quarto de circunferência de raio R = 1/ 3 m. Se o corpo A partir do repouso do cimo da calha, determine: A 1 m R 30º Figura 4.3 : Exercício 4.8. a) A altura máxima que ele atinge, depois de abandonar a calha, sabendo que o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano inclinado é /(10 3), e sobre a porção circular da calha é desprezável. b) O vector aceleração do corpo imediatamente antes de sair da calha. 47

4 Exercício 4.9: Um corpo desliza sobre um plano inclinado que forma um ângulo θ com a horizontal, sendo µ o coeficiente de atrito (ver figura 4.4). O corpo recebe um impulso segundo a direcção de maior declive e no sentido ascendente, o qual lhe comunica a velocidade v 0. M ostrar que, quando o corpo volta a passar pelo ponto de partida, a sua velocidade é dada por v = v 0 tgθ µ tgθ+µ. Figura 4.4: Exercício 4.9. Exercício 4.10 : Uma pequena esfera de peso P está suspensa de um ponto fixo O por um fio inextensível, de comprimento L, que parte para tensões iguais a 5P/4. Abandona-se o fio na posição em que ele faz com a vertical um ângulo α, tal que cos α = 7 /8. Determinar a posição do ponto em que a partícula vai encontrar um plano horizontal à distância L do ponto O. Exercício 4.11: A energia potencial de uma partícula que se move num espaço unidimensional é da forma: U = a/x b/x onde a e b são constantes positivas e x > 0. Determinar: a) A posição de equilíbrio da partícula (verificar que o equilíbrio é estável). b) Na região em que a força é atractiva, onde é máxima a sua intensidade? F azer um esboço da representação gráfica de U(x) e da força que actua na partícula. Exercício 4.1: Um corpo de massa 0.1 kg cai de uma altura de 3 metros sobre um monte de areia. Se o corpo penetrar 3 centímetros antes de parar, qual é a força média exercida pela a areia sobre o corpo? Q uanto tempo dura o movimento do corpo na areia? 48

5 Exercício 4.13: Considere o bloco de 0.5 kg de massa que, após ter sido largado no ponto 1, desliza ao longo da trajectória de raio igual a 1 m da figura 4.5. Quando o bloco atinge o ponto, a sua velocidade é 3 m/s. Qual o trabalho realizado pela força de atrito? 1 R N P Figura 4.5: Exercício Exercício 4.14: Um pequeno bloco de massa m desliza sem atrito pela superfície da figura 4.6. P 5R Y X R Q Figura 4.6: Exercício a) Se o bloco iniciar o seu movimento em P, qual é a força resultante que actua sobre ele imediatamente após passar pelo ponto Q? b) Qual é a altura inicial mínima da qual se deve largar o bloco para que este consiga descrever o loop da figura? c) Qual a altura inicial da qual se deve largar o bloco para que a força que o bloco exerce sobre a calha no topo do loop tenha uma grandeza igual ao seu peso? 49

6 Exercício 4.15: Um bloco de massa 0.58 kg desliza com uma velocidade constante de 3.85 m/s sobre uma superfície horizontal sem atrito. A certa altura, embate contra uma mola horizontal em equilíbrio. a) Se a constante elástica da mola for 6.7 N/m, de quanto é a mola comprimida até que o bloco pare? b) De quanto se comprimiria a mola se a superfície sob esta fosse rugosa com um coeficiente de atrito cinético de 0.411? Exercício 4.16: Um objecto com massa de 1 kg, ao qual foi comunicado uma velocidade de 10 m/s, desliza sobre uma superfície horizontal e colide com a extremidade livre de uma mola elástica, após um percurso de 5 m (ver figura 4.7). A mola exerce uma força de 10 kg quando é comprimida de 1 cm. O coeficiente de atrito entre o objecto e a superfície horizontal é de 0.5. v 5m Figura 4.7: Exercício a) Determinar a compressão máxima sofrida pela mola. b) Determinar o percurso total do objecto. Exercício 4.17: Um objectode massa m desliza sobre uma superfície horizontal, sendo µ o coeficiente de atrito, e embate na extremidade livre duma mola elástica fixa, de constante de elásticidade k. Sendo v 0, a velocidade do objecto no instante em que toca na mola, determinar em função de v 0, m, g, µ e k o trabalho realizado pela força de atrito desde esse instante até ao instante em que se anula a velocidade do referido objecto. Mostrar que o valor máximo de v 0 para que o objecto permaneça imobilizado em contacto com a mola é 3µ mg /k. 50

7 Exercício 4.18: Um corpo, ligado a um ponto fixo de uma mesa horizontal por um fio de comprimento 1 m, descreve uma trajectória circular sobre a mesa. A velocidade inicial do corpo, v o, é 8 m/s. Sabendo que a velocidade do corpo ao completar a primeira volta é v o /, determine: a) O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa. b) O número de voltas que o corpo dá até parar. Exercício 4.19: A potência consumida por um ciclista que se desloca numa estrada horizontal, à velocidade constante de 6 m/s, é 10 W. a) Qual é a força de resistência exercida pelo ar sobre o conjunto formado pela bicicleta e pelo ciclista? b) Ao inclinar-se sobre o guiador, o ciclista reduz a força de resistência do ar para 18 N. Se a potência por ele consumida se mantiver igual a 10 W, qual a velocidade a que este se desloca? 51

8 4.1 Soluções de trabalho e energia Solução 4.1: a) I = 3î + 56ĵ (Ns). b) W = 1.36 kj. Solução 4.: a) W = 4 J. b) W = 4 J. c) W = 4 J. Solução 4.3: A aceleração da gravidade é igual a 9.8 m/s. Solução 4.4: a) v =.45 m/s. b) v = 4.43 m/s. Solução 4.5: a) v = gr m/s. b) θ = 48. Solução 4.6: a) AB : W T = 0 J; W P = 9.8 J AC : W T = 0 J; W P = 19.6 J AD : W T = 0 J; W P = 9.8 J 5 b) v B v C v D = m/s = 7.43 m/s = m/s

9 c) T A T B T C T D = 6. N = 35.6 N = 65 N = 35.6 N Solução 4.7: a) E c máxima = E c (θ = 0 ) = m gl E p máxima = E p (θ = 60 ) = m gl b) a = 3 gˆt = 8.49ˆt m/s. c) a = 9.8ˆn m/s. d) a = 5.88(ˆn + ˆt) (m/s ). e) T = mg m g 1.4mg Solução 4.8: a) h máxima = 0.8 m. b) a = 9.8ˆt + 7.6ˆn (m/s ). Solução 4.10: x = L em relação à vertical que passa pelo ponto O. Solução 4.11: a) x eq u ilíb rio = a b. b) A intensidade da força (atractiva) é máxima para x = 3 a b. Solução 4.1: Fméd ia = 99 N; t = 7.8 ms. Solução 4.13: W =.65 J. Solução 4.14: a) F = 10mg. b) h m in = 5/R. 53

10 c) h = 3R. Solução 4.15: a) x = cm. b) x = cm. Solução 4.16: a) x max = 7. cm. b) x = 10. m. Solução 4.18: a) µ = b) n = 1.3 voltas. Solução 4.19: a) F = 0 N. b) v = 6.67 m/s. 54