8ª Série de Problemas Mecânica e Ondas MEBM, MEFT, LEGM, LMAC

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1 8ª Série de Problemas Mecânica e Ondas MEBM, MEFT, LEGM, LMAC 1. Uma mola de constante k = 100 Nm -1 está ligada a uma massa m = 0.6 kg. A massa m pode deslizar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Comprime-se a mola fazendo-a encurtar 0,1 m em relação à sua posição de equilíbrio. Encosta-se à massa m uma esfera com M = 0,4 kg e liberta-se a mola. Supondo que a esfera desliza sem rolar, qual a velocidade com que se separa de m? 2. Sobre uma mesa de ar horizontal encontra-se uma massa m 1 =1.99 kg encostada a uma massa m 2 =2 kg. A massa m 2 está presa a uma mola de massa desprezável. As paredes laterais da mesa têm o perfil indicado na figura: um sector semi-circular de raio R=20 cm liga-se a um sector recto. O sistema constituído pelas massas rígidas m 1, m 2 e a mola encontra-se inicialmente em repouso e em equilíbrio. A mola tem uma constante elástica de k=3x10 4 N/m e o seu comprimento de equilíbrio é l 0 = 30 cm. Despreze o atrito com a mesa e a resistência do ar. Uma bala de 10 g move-se a 2000 km/h e choca frontalmente com a massa m 1, ficando nela incrustada. A R m 1 m 2 2.a) Qual é a velocidade do bloco m 1 imediatamente após o choque com a bala? 2.b) Qual foi a energia dissipada na colisão da bala? 2.c) Qual é o comprimento mínimo atingido pela mola? 2.d) Qual é o comprimento máximo atingido pela mola? 2.e) Qual é a velocidade angular da massa m 1 quando atinge o ponto A?.

2 2.f) Qual é a reacção normal à parede quando a massa atinge o ponto A? 3. Uma ginja oscila no fundo de um copo (ver figura A). A superfície do copo é esférica, de raio 3 cm e a ginja tem kg de massa. Despreze o atrito da ginja com a superfície do copo. 3.a) Sabendo que a ginja foi largada a partir do bordo do copo sem velocidade inicial, calcule a velocidade máxima e velocidade angular máxima atingidas. 3.b) Calcule a frequência angular e o período da ginja para pequenas oscilações junto do fundo do copo (θ pequeno). 3.c) Se a ginja fosse largada num copo estreito (ver figura b), a frequência angular das oscilações seria maior ou menor? Porquê? 4. Consideremos uma mola de comprimento natural l 0 = 10 cm e massa desprezável, tendo suspensa na extremidade uma massa m = 2 kg. A constante de restituição da mola é k = 100 N/m. 4.a) Qual a posição l eq de equilíbrio do sistema? 4.b) Para pequenos deslocamentos verticais x << l (l = l eq + x) em relação ao ponto de equilíbrio, determine a equação do movimento do sistema. 4.c) Se a massa for puxada para baixo 1 cm e depois largada, qual a solução dessa equação? Determine a frequência e a amplitude do movimento. Determine ainda a energia cinética e a energia potencial em função do tempo. 4.d) Caso este sistema estivesse na Lua, o que se alteraria?

3 5. Um sismógrafo amador foi construído utilizando o esquema da figura. k 2 k 1 A massa do corpo suportado pelas molas é igual a m= 3 kg. As molas caracterizam-se por uma constante de elasticidade e um comprimento próprio, k 1 =1000 N/m, l o1 =10 cm e k 2 =2000 N/m, l o2 =5 cm, respectivamente. 5.a) 5.b) Qual é a distância entre a posição de equilíbrio do corpo e o solo? Nota: Se quiser, pode resolver esta alínea usando os resultados das alíneas seguintes Admita que a mola é posta a oscilar harmonicamente. 5.b.i) 5.b.ii) 5.b.iii) Determine o Lagrangeano do sistema. Sugestão: Escreva o Lagrangeano em função do comprimento da mola (l 1 ) e da coordenada z do corpo. Escreva a equação de movimento do corpo. Sugestão: Para relacionar l 1 e z, escreva uma equação auxiliar de Euler-Lagrange relativa à coordenada l 1. Calcule a frequência própria de oscilação do corpo. 5.b.iv) A que frequência de excitação do chão é que a oscilação da massa entraria em ressonância? Para essa frequência o sismógrafo funcionaria correcta ou incorrectamente? Justifique.

4 6. Um baloiço de dois bancos pode ser descrito aproximadamente por duas hastes rígidas de massa desprezável, de comprimentos l 1 = 3 m e l 2 =1,8 m, respectivamente, rigidamente fixadas entre si (fazendo um ângulo de 90º). A haste de comprimento l 1 oscila sem atrito em torno do ponto de suspensão. Nos extremos da haste de comprimento l 2 encontram-se dois corpos iguais de massas m= 25 kg como mostra a figura. θ l 1 m m l º l a) 6.b) 6.c) Identifique os graus de liberdade e escreva o lagrangeano do sistema. A partir do lagrangeano obtenha a(s) equação(ões) do movimento. Determine a(s) frequência(s) do movimento para pequenas oscilações. 6.d) Se o baloiço for excitado com uma frequência de ω=1,75 rad/s, devo aumentar ou diminuir o comprimento da haste l 2 para aumentar a amplitude do movimento? Justifique. 6.e) Obtenha a(s) equação(ões) do movimento para o caso em que ambos os corpos estão submetidos a forças de atrito proporcionais à velocidade r r F i = λiv ). ( i 7. Duas massas iguais estão ligadas por meio de molas entre si e a duas extremidades fixas, segundo a mesma direcção (ver figura abaixo). As molas que ligam as massas às extremidades têm constante de restituição k; a mola entre as duas massas tem constante de restituição k.

5 7.a) Escreva o lagrangeano do sistema. Sugestão: tome como coordenadas generalizadas os deslocamentos das massas em relação às suas posições de equilíbrio. 7.b) Determine as equações do movimento e resolva-as. Quais as frequências características do sistema? 7.c) Descreva o movimento do sistema se ambas as massas foram largadas com um deslocamento d em relação às posições de equilíbrio. 7.d) Descreva o movimento do sistema se as massas foram largadas com deslocamentos simétricos, d 1 = d e d 2 = d, em relação às posições de equilíbrio. 7.e) Descreva o movimento do sistema se apenas a massa 1 for largada com um deslocamento d em relação à sua posição de equilíbrio, ao passo que a massa 2 está inicialmente em repouso com deslocamento nulo. Verifique a existência de batimentos. Escreva esta solução do movimento como uma sobreposição das soluções das alíneas c) e d). 8. A Fig. representa um pêndulo cujo ponto de suspensão se move sem atrito sobre uma linha recta; a massa do bloco onde o pêndulo está suspenso é desprezável em relação a m e o fio é inextensível (m=1 kg e l=1 m). 8.a) Supondo que o movimento do bloco onde o pêndulo está suspenso é descrito por uma função b(t) conhecida, quantos graus de liberdade tem o sistema? Escreva o lagrangeano e as equações do movimento. 8.b) Particularize para b(t)=at 2 /2, com a=2 m.s -2 (ponto de suspensão movendo-se com aceleração constante). Determine o ponto de equilíbrio e resolva a equação do movimento para pequenas oscilações. 8.c) Particularize para b(t)=2 cos 3t (ponto de suspensão oscilando no tempo) e resolva a equação do movimento para pequenas oscilações. 8.d) Particularize para b(t)=2 cos 4t e resolva a equação do movimento para pequenas oscilações. Compare este caso e o da alínea anterior. Esboce como varia a amplitude e o desfasamento em função dos parâmetros do sistema e da frequência exterior.

6 9. Dada a estrada representada na figura abaixo, com um automóvel a rodar sobre ela, determine a velocidade do automóvel para a qual o sistema entra em ressonância. Despreze os efeitos do atrito nos amortecedores. A frequência característica de uma massa presa a uma mola é de 5 Hz. 9.a) Qual a aceleração da massa quando o deslocamento é de 0.51 m? 9.b) Porque factor se devia aumentar a massa para duplicar o período da oscilação?