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1 Lista 6: Conservação da Energia NOME: Turma: Prof. : Matrícula: Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar. ii. Ler os enunciados com atenção. iii.responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. iv.analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros! 1. Uma pequena bola de massaa 2M é presa à extremidade uma haste de massa desprezível. A outra extremidade da haste é pivotada para que a bola possa descrever um círculo vertical de raio L. A haste é empurrada lateralmente, para uma posição L horizontal, em seguida, recebe e um impulso para baixo, o suficiente para que a haste alcance a posição vertical superior. Despreze os atritos. (a) Calcule o trabalho realizado por cada uma das forças que atuam sobre a bola, desde a posição inicial até a posição mais alta. (b) A energia mecânica do sistema {Terra + bola} se conserva? Por que? (c) Qual a força exercida pela haste sobre a bola quando esta passa pela sua posição mais baixa? (d) Suponha agora que existe atrito entre o pivô e a haste. Nestas condições a haste só atinge o ponto horizontal oposto quando lançada com a mesma velocidade de antes. Qual o trabalho realizado pelo atrito durante este movimento? 1

2 2. Um pequeno objeto de massa 250 g desliza em um trilho que tem a parte central horizontal e as extremidades são arcos de círculo. A parte horizontal mede L = 2,25 m e nas porções curvilíneas não há atrito. O objeto é lançado com velocidade inicial de 2 m/s do ponto A, situado à altura h = 1,15 m acima do trecho horizontal, ao longo do qual ele perde 750 mj de energia mecânica, devido ao atrito. Em que ponto o objeto irá parar? 2

3 3. Um bloco de 3,00 kg parte do repouso, desliza uma distância d para baixo de uma rampa inclinada de 30º, sem atrito, e colide com uma mola de massa desprezível, d conforme a figura. O bloco desliza mais 20,0 cm antes de parar momentaneamente ao comprimir a mola, cuja constante elástica é de 400 N/m. (a) Quanto vale d? (b) Explique porque a velocidade do bloco continua a aumentar durante certo tempo após chocar-se com a mola. Qual a distância adicional que o bloco percorre até alcançar sua velocidade máxima? 3

4 4. Partindo do repouso, um carrinho de massa 5,0 kg desliza do alto de uma montanha russa de 5,0 m de altura, com atrito desprezível. Chegando ao ponto A, na base da montanha, ele é freado pelo terreno AB de comprimento 10,0 m coberto de areia, parando em 1,25 s. (a) Qual é a velocidade no ponto A? (b) Qual é o trabalho realizado pela força de atrito sobre o carrinho? (c) Calcule o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia. 5 m A B 4

5 5. Um pêndulo é constituído por uma pequena esfera de massa m presa a um barbante de comprimento L. A bola é abandonada do repouso com o fio esticado e na horizontal. Quando o fio passa pela vertical, atinge um pino P colocado a uma distância D do ponto de suspensão. (a) Qual é a velocidade da bola ao alcançar o ponto mais alto depois do fio ter se encostado ao pino? (b) Mostre que para a bola completar uma volta em redor do pino, este deverá ser colocado a uma distância D > 3L/5. L P D 5

6 Questões: (A) Um terremoto pode liberar energia suficiente para devastar uma cidade. Onde se encontrava essa energia um instante antes de ocorrer o terremoto? (B) No caso de um carrinho que desce sem atrito uma montanha russa (veja exemplo 3 Cap. 8), a velocidade do carrinho na parte mais baixa do trilho, não depende da forma do trilho. Isto continuaria válido caso houvesse atrito? (C) Um pêndulo oscilante eventualmente pára. Tem-se aí uma violação da lei de conservação da energia mecânica? (D) Um automóvel se move numa rodovia. O motorista freia e o carro derrapa até parar. Sob que forma aparece a energia cinética perdida pelo carro? (E) Um automóvel acelera a partir do repouso e atinge a velocidade V, sem que ocorra deslizamento ou derrapagem das rodas motoras. De onde provém a energia mecânica do carro? Em particular, é verdadeiro que ela seja devida à força de atrito (estático) exercida pelo pavimento sobre o carro? Exercícios e Problemas 1. A força restauradora de uma mola não ideal, conectada a um peso de m=0,80 kg, é dada por = +, onde k=300, ε =500 e F e x são dados em N e m, respectivamente. (a) Quais são as unidades de k e ε? (b) Obtenha a expressão da energia potencial, U p (x). (c) Encontre o valor da energia potencial armazenada, U p (x), na mola em posição x=3,5 cm quando a velocidade do corpo é 0,6 m/s. (d) Com a energia mecânica obtida no item anterior, calcule as energias cinética, K(x), e potencial nas posições: x=-4,0cm; x=-3,0cm; x=-2,0cm; x=-1,0cm; x=0,0cm; x=1,0cm; x=2,0cm; x=3,0cm; x=4,0cm e x=5,0cm. (e) Com esses valores fazer, no mesmo gráfico, as variações de K(x) e U p (x). 2. Uma partícula de massa 2,0 kg move-se ao longo do eixo x numa região na qual a energia potencial U(x) varia conforme a figura. Quando a partícula se encontra em x = 2,0 m sua velocidade é de - 2,0m/s. (a) Calcule a força exercida na partícula nesta posição. (b) Entre que posições o movimento da partícula ocorre? (c) Qual a velocidade da partícula quando estiver em x = 7,0 m? 3. Uma mola na horizontal é comprimida de 10,0 cm. Um objeto de 1,50 kg é então colocado em frente à mola, e então é solto. O objeto é lançado por uma superfície horizontal sem atrito, ao final da qual se encontra uma rampa inclinada de 30º. Sabe-se que o mesmo objeto colocado sobre a mola na posição vertical causa uma compressão de 2,0 cm. (a) Qual é a velocidade do bloco no final da superfície plana? 6

7 (b) Que distância o objeto percorrerá ao longo da rampa inclinada? (c) Havendo um coeficiente de atrito cinético de 0,25 entre a rampa inclinada e o bloco, calcule a distância percorrida sobre a rampa neste caso. 4. Um bloco de 3,0 kg está sobre um plano inclinado de 30º em relação à horizontal, preso a uma mola ideal através de um fio também ideal. A constante elástica da mola é 150 N/m e a roldana tem massa desprezível. O bloco é liberado do repouso quando a mola está sem deformação. O bloco desce 15 cm no plano inclinado até parar. Calcule o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado. 5. Um bloco de 2,00 kg é abandonado a partir do repouso do ponto A que fica a H=3,00 m em relação ao plano horizontal no solo (ver figura). Somente existe atrito no trecho BC de comprimento d=5,00 m com o coeficiente de atrito cinético valendo µ c =0,35. A altura do platô DE vale h=1,00 m e a mola ideal presa em E tem uma constante elástica k=200 N/m. Utilizando somente argumentos relacionados com os conceitos de trabalho e energia, determine justificando: (a) a velocidade do bloco no ponto B; (b) se o bloco chegar no ponto C e, no caso, sua velocidade; (c) se o bloco chegar no ponto D e, no caso, a energia mecânica do sistema {bloco+terra}; (d) a compressão máxima da mola; (e) na volta, o bloco alcança o ponto B? Se for o caso determine sua velocidade em B. Se não o caso, determine sua posição final (distância até B). 6. Um bloco de massa m 1 = 20 kg é colocado sobre um plano inclinado de 30 º em relação à horizontal, sem atrito. Este bloco está ligado por um fio que passa por uma polia leve a outro bloco de massa m 2 = 10 kg, preso a uma mola de constante elástica 1250 N/m na posição relaxada de 40 cm, como mostra a figura. O bloco m 1 é puxado 20 cm para baixo ao longo do plano e abandonado do repouso. (a) Calcule a velocidade do bloco m 2 ao passar pela posição 40 cm. (b) Qual seria o valor necessário do coeficiente de atrito cinético µ c para que bloco m 2 parasse exatamente na posição relaxada? 7

8 7. Exercício corrigido em aula de monitoria P Uma partícula de massa m move-se em um círculo vertical de raio R, no interior de um trilho sem atrito. θ (a) Qual a velocidade mínima V m da partícula no ponto mais baixo do trilho para que percorra completamente o trilho? V m (b) Suponha que a partícula tenha no ponto mais baixo uma velocidade V=0,7 V m. A partícula subirá no trilho até o ponto P no qual perderá o contato com ele. Determine a posição angular θ deste ponto P. 8. Um bloco está preso em uma mola vertical. Quando ele é lentamente abaixado até atingir sua posição de equilíbrio, a compressão na mola é d. Qual será a compressão máxima da mola quando o mesmo bloco preso a essa mola cai a partir da posição sem deformação e do repouso? 9. Um pêndulo é constituído por uma pequena esfera de massa m presa a um barbante de comprimento L. Como mostra a figura, a uma distância d=2l/3 da ponta fixa do pêndulo, há um pino fixo. Qual é o mínimo valor do ângulo θ, a partir do qual o pêndulo é solto, para o qual a esfera conseguirá completar um círculo em torno do pino com o barbante esticado? L θ d=2l/3 10. Exercício corrigido em aula de monitoria Um bloco de massa 0,20 kg está sobre um plano inclinado de 30º em relação à horizontal e encostado em uma mola comprimida de 0,10 m. A constante elástica da mola é 200 N/m e os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano são respectivamente iguais a 0,30 e 0,15. O bloco e a mola são soltos. (a) A energia mecânica do sistema {bloco+terra+mola} se conserva? Justificar; (b) calcule a distância percorrida pelo bloco a partir de sua posição inicial até atingir a velocidade de 2,0 m/s; (c) qual é a velocidade do bloco na sua volta chegando na mola, ou, no caso de não voltar, determine a sua posição final em relação à sua posição inicial. Respostas: 1) a) N/m e N/m 2 ; b) 1/3 ; c) 0,177J; d) Ep(-5)=0.396J, Ec(-5)<0 (impossível); Ep(-4)=0.251J, Ec(-4)=0.070J; Ep(-3)=0.140J, Ec(-3)=0.181J; Ep(-2)=0.061J, Ec(-2)=0.260J; Ep(-1)=0.015J, Ec(- 1)=0.305J; Ep(0)=0J, Ec(0)=0.321J; Ep(1)=0.015J, Ec(1)=0.306J; Ep(2)=0.059J, Ec(2)=0.262J; Ep(3)=0.131J, Ec(3)=0.190J; Ep(4)=0.223J, Ec(4)=0.091J; Ep(5)=0.355J, Ec(5)<0 (impossível) 2) a) 4,7 N; b) 1,1 m < x < 14,3 m; c) 3,7 m/s 3) a) 2,2 m/s; b) 0,5 m; c) 0,34 m 4) a) 0,14 5) a) 7,67 m/s; b) 4,95 m/s; c) 24,5 J, d) 0,22 m; e) 1,4 m 6) a) 1,3 m/s; b) 0,74 7) a) 5; b) 8,6º 8) 2d 9) 80,4º 10) a) Não; b) 40 cm; c) 2,7 m/s. 8