Lista 14: Oscilações. Questões

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1 Lista 14: Oscilações NOME: Importante: i. Ler os enunciados com atenção. ii. Responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. iii. Siga a estratégia para resolução de problemas do livro, dividindo a sua solução nas partes: modelo, visualização, resolução e avaliação. iv. Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isto o ajudará a encontrar erros! Questões (A) Em um oscilador harmônico simples como é afetada, pela duplicação da amplitude, cada uma das seguintes grandezas: período, energia total, velocidade máxima e aceleração máxima? (B) O diapasão é um dispositivo utilizado pelos músicos na afinação de instrumentos musicais. O diapasão executa movimento harmônico simples? (C) Em que ponto do movimento de um pêndulo simples a tração no fio atinge o valor máximo? E o valor mínimo? (D) Uma pessoa está em pé sobre uma balança de banheiro que está sobre uma plataforma suspensa por uma grande mola. A plataforma executa um movimento harmônico simples vertical. Descreva a variação de leitura da escala da balança durante um período. (E) No projeto de uma estrutura numa região propensa a terremotos, qual deve ser a relação entre a frequência da estrutura e a frequência típica de terremoto? A estrutura deve possuir amortecimento grande ou pequeno? Exercícios e Problemas 1. Um bloco de massa M preso a uma mola de constante elástica k descreve um movimento harmônico simples horizontal com amplitude A 1. No instante em que o bloco passa pela 1

2 posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro, de massa m, cai verticalmente de uma pequena altura sobre o bloco e gruda nele. a) Calcule a nova amplitude e o novo período. b) Repita o item (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no instante em que ele está na extremidade de sua trajetória. Respostas: (a) A 2= A 1 (M+m)/M ;T 2 =2π (M +m)/k ; (b) A 2 = A 1 ;T 2 =2π (M +m)/k 2. Um corpo de 0,500 kg oscila preso a uma mola ideal. A velocidade do corpo é dada pela função V(t) = 3,60 sen (4,71 t 1,57), para t em s e V em cm/s. Determine: a) o período; b) a amplitude; c) a aceleração máxima; d) a constante elástica da mola. Respostas: (a) 1,33 s; (b) 0,764m; (c) 16,9 m/s 2 ; (d) 11,1 N/m 3. Um bloco de 0,400 kg está em repouso, pendurado numa mola ideal de constante elástica 78,4 N/m. O bloco é levantado desta posição até uma posição situada 15,0 cm acima e abandonado a partir do repouso. a) Qual a amplitude de oscilação? b) Qual a força elástica e a força resultante em cada ponto extremo da trajetória do bloco? c) Qual o período de oscilação? d) Qual a velocidade máxima do bloco? Respostas: (a) 15,0 cm; (b) posição superior: F el =7,84 N e R=11,8 N; posição inferior: F el = 15,7 N e R = 11,8 N; (c) 0,449 s; (d) 2,10 m/s 4. Um oscilador consiste num bloco preso a uma mola de constante elástica 456 N/m. Num dado instante o bloco passa pela posição 0,112 m, medida em relação a sua posição de equilíbrio, com velocidade de -13,6 m/s e aceleração de -123 m/s 2. Calcule a massa do bloco, a frequência e a amplitude de oscilação. Respostas: 0,416 kg; 5,27 Hz; 0,426 m 5. O processo descrito a seguir tem sido realmente usado para pesar astronautas no espaço. Uma cadeira de 42,5 kg é presa a uma mola e deixada oscilar livremente. Quando vazia, a cadeira leva 1,30 s para completar uma oscilação. Mas, com uma astronauta sentada nela, sem apoiar os pés no chão, a cadeira leva 2,00 s para completar um ciclo. Qual é a massa da astronauta? Resposta: 58,1 kg 2

3 6. Um bloco de 0,20 kg está preso a uma mola ideal de constante elástica de 28,8 N/m executando um movimento harmônico simples horizontal. Em t = 0 o bloco passa pela sua posição de equilíbrio (x = 0) com velocidade de 1,2 m/s no sentido negativo do eixo x. Escreva a equação da posição em função do tempo. Resposta: x=0,10cos(12.t+1,6), t em segundos, x em metros e o argumento do cosseno em radianos 7. Um bloco de massa m está sobre outro bloco de massa M que executa um movimento harmônico simples sobre uma superfície horizontal sem atrito com frequência de 1,50 Hz. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,600. Qual a amplitude máxima de oscilação do sistema para m não deslizar sobre M? Resposta: 0,066 m 8. Um bloco de massa m está sobre uma superfície horizontal e preso a uma mola ideal de constante elástica k. Outro bloco de massa M é encostado no bloco m, como mostra a figura, e empurrado de modo a comprimir a mola de X. Nesta posição, o sistema é abandonado do repouso e desliza sobre a superfície sem atrito. Dados: X = 10,0 cm e M = 3 kg. a) A partir de qual posição um bloco perderá o contato com o M outro? m b) Qual a distância entre os blocos quando o bloco m atingir o repouso pela 2 a vez após a perda de contato com M? Respostas: (a) posição de equilíbrio; (b) 28,6 cm 9. Um pêndulo é constituído por uma partícula de massa M pendurada na extremidade de uma barra rígida fina de massa desprezível e comprimento L. Uma mola de constante elástica k é conectada à barra a uma distância h abaixo do ponto de suspensão, conforme a figura abaixo. Encontre a frequência angular do sistema para valores pequenos da amplitude θ. Resposta: ω= (MgL+k h 2 )/ M L Uma barra delgada e homogênea de massa M (Fig. 3) possui um pivô em uma das extremidades e na outra, uma mola vertical de constante elástica k. Mostre que a barra, quando deslocada de um pequeno ângulo θ de sua posição de equilíbrio horizontal e liberada, realiza um movimento harmônico simples de frequência angular ω= 3k/M. 3

4 x (m) Lista 14: Oscilações 11. O gráfico abaixo mostra a oscilação horizontal de um bloco de massa 0,20 kg preso a uma mola ideal. a) Qual a constante elástica da mola? b) Escreva a equação que descreve x(t). c) Qual é o módulo da velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio? 0,15 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10-0,15 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 t (s) Respostas: (a) 20 N/m; (b) x = 0,10 cos (10 t + 1,0) com x em metros, t em segundos e o argumento do cosseno em radianos; (c) 1,0 m/s 12. Um bloco de 1,0 kg está sobre uma superfície horizontal sem atrito e preso a uma mola ideal horizontal. Aplica-se uma força horizontal F = 20,0 N ao bloco para mantê-lo em repouso a 0,20 m de sua posição de equilíbrio (x = 0). Cessada a aplicação da força F o bloco executa um movimento harmônico simples. Determine: a) O período e a frequência do movimento, b) A aceleração máxima do bloco, c) A velocidade do bloco ao passar pela primeira vez pela posição x = - 0,10 m. d) A energia cinética do bloco em função de sua posição x. Respostas: (a) T = 0,63 s; f = 1,6 Hz; (b) 20 m/s 2 ; (c) - 1,7 m/s; (d) K = 2,0 50 x 2 com K em joules e x em metros 13. Um bloco de 175 g preso a uma mola ideal de constante elástica 155 N/m executa um movimento harmônico simples sobre um trilho de ar horizontal. Num dado instante o corpo passa a 3,00 cm da posição de equilíbrio com velocidade de 0,815 m/s. Determine a amplitude, o período e a velocidade máxima do corpo. Respostas: A = 4,06 cm; T = 0,211 s; v max = 1,21 m/s 14.Uma mola ideal com constante elástica de 15,0 N/m está pendurada no teto. Um corpo de massa 500 g é preso à extremidade livre da mola e baixado lentamente até a posição de 4

5 equilíbrio. Depois, ele é puxado 6,0 cm para baixo e abandonado, passando a executar um movimento harmônico amortecido pela resistência do ar. Qual a constante de tempo se após 30 oscilações a amplitude é igual a 3,0 cm? Resposta: A = 25 s 15.Um cilindro sólido de massa M = 4,0 kg está sobre uma superfície horizontal, preso pelo seu eixo a uma mola ideal horizontal de constante elástica k = 2,70 N/cm. O cilindro é afastado de 20,0 cm de sua posição de equilíbrio e abandonado a partir do repouso. Durante a oscilação o cilindro rola sem deslizar. a) Mostre que o centro de massa do cilindro executa um movimento harmônico simples com período de T=2π 3M/2k. b) Calcule as energias cinéticas de translação e de rotação do cilindro quando este passa pela posição de equilíbrio, Resposta: (b) K tr = 3,6 J; K rot = 1,8 J 5