FEP Física Geral e Experimental para Engenharia I

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1 FEP Física Geral e Experimental para Engenharia I Prova P1-10/04/ Gabarito 1. A luz amarela de um sinal de transito em um cruzamento fica ligada durante 3 segundos. A largura do cruzamento é de 20 metros. A aceleração máxima de um carro é de 4 m/s 2 e ele pode ser freiado a 5 m/s 2. (a) (0,5) Que velocidade mínima o carro precisa ter, se quando ele se encontra a 40 m do cruzamento a luz amarela acende, e ele pretende atravessar todo o cruzamento no amarelo usando a aceleração máxima durante todo o percurso? (b) (0,5) Qual a velocidade máxima que ainda lhe permite parar antes de atingir o cruzamento, se quando ele se encontra a 40 m dele a luz amarela acende? (c) (1,0) Suponha que o carro conseguiu passar o sinal amarelo a tempo e que seu movimento passa a ser descrito pela seguinte equação horária: r(t) = (0, 5t 3 2t 2 )î + (0, 5t 2 2t)ĵ onde as unidades utilizadas são o metro e o segundo e t = 0 no instante em que o carro ultrapassou o cruzamento. Qual a velocidade e a aceleração instantâneas do carro para t = 3 s. (d) (0,5) Em que instante o valor da coordenada y do carro é mínimo? SOLUÇÃO: (a) Que velocidade mínima o carro precisa ter, se quando ele se encontra a 40 m do cruzamento a luz amarela acende, e ele pretende atravessar todo o cruzamento no amarelo usando a aceleração máxima durante todo o percurso? Dados: Espaço total a ser percorrido: D = = 60 m Intervalo de tempo: t a = 3 s Aceleração: a a = 4 m/s 2 Equação horária do movimento: x(t) = v 0 t at2 1

2 Velocidade inicial: v 0 = x(t) t 1 2 at Velocidade mínima: v 0MIN = D t a 1 2 a at a = v 0MIN = 14 m/s (b) Qual a velocidade máxima que ainda lhe permite parar antes de atingir o cruzamento, se quando ele se encontra a 40 m dele a luz amarela acende? Dados: Espaço a ser percorrido: d = 40 m Aceleração: a f = 5 m/s 2 Velocidade final: v f = 0 Velocidade: v 2 = v a x Velocidade inicial: v 0 = v 2 2a x Velocidade inicial máxima: v 0MAX = 0 2a f d = v 0MAX = 20 m/s (c) Suponha que o carro conseguiu passar o sinal amarelo a tempo e que seu movimento passa a ser descrito pela seguinte equação horária: r(t) = (0, 5t 3 2t 2 )î + (0, 5t 2 2t)ĵ 2

3 onde as unidades utilizadas são o metro e o segundo e t = 0 no instante em que o carro ultrapassou o cruzamento. Qual a velocidade e a aceleração instantâneas do carro para t = 3 s. Podemos escrever a equação horária como: r(t) = x(t)î + y(t)ĵ de onde podemos determinar o vetor velocidade como: v(t) = d r(t) dt = dx(t) dt î + dy(t) ĵ = v x (t)î + v y (t)ĵ dt ou seja, v(t) = (1, 5t 2 4t)î + (t 2)ĵ e o vetor aceleração pode ser determinado como: a(t) = d v(t) dt = dv x(t) dt î + dv y(t) ĵ = a x (t)î + a y (t)ĵ dt ou seja, a(t) = (3t 4)î + (1)ĵ Para t = 3 s teremos: v(3) = (13, 5 12)î + (3 2)ĵ v(3) = (1, 5î + 1ĵ) m/s a(3) = (9 4)î + (1)ĵ a(3) = (5î + 1ĵ) m/s 2 (d) Em que instante o valor da coordenada y do carro é mínimo? O valor da coordenada y será mínimo para o instante de tempo t quando v y (t) = 0 3

4 t 2 = 0 O valor da coordenada y será mínimo quando t = 2 s 2. Uma pedra de massa m, presa a um cordão de comprimento L, é girada por um menino. Para a pedra realizar uma volta completa são necessários t segundos. O círculo descrito pela pedra está em um plano horizontal a uma altura h do solo. A máxima tensão que o cordão suporta sem se romper é MAX. Em termos de m, L, h, t, MAX e g (a) (0,5) Faça um diagrama de forças para a pedra. Qual a direção e sentido da força resultante? (b) (0,5) Suponha agora que mg, onde é a tensão no cordão, qual a aceleração da pedra quando são necessários t segundos para uma volta completa? (c) (0,5) Suponha novamente que mg, qual a maior velocidade com que a pedra pode girar sem que o cordão se rompa? (d) (0,5) Se o cordão se romper, quanto tempo a queda levará até atingir o solo? (e) (0,5) A que distância (horizontal) do ponto de ruptura a pedra tocará o solo? SOLUÇÃO: (a) Faça um diagrama de forças para a pedra. Qual a direção e sentido da força resultante? Diagrama de forças: y mg θ x Segundo o sistema de coordenadas adotado na figura acima, a força resultante terá a direção positiva do eixo x, ou seja será horizontal. (b) Suponha agora que mg, onde é a tensão no cordão, qual a aceleração da pedra quando são necessários t segundos para uma volta completa? 4

5 Supor que mg significa que podemos tomar θ 0 na figura acima, ou seja, considerar que a tensão no cordão seja horizontal. aceleração centrípeta dada por: a c = v2 L Assim, a aceleração da pedra é a A velocidade é determinada através do tempo necessário para realizar uma volta completa, ou seja: t = 2πL v v = 2πL t Assim, a aceleração será dada por: a c = 4π2 L t 2 (c) Suponha novamente que mg, qual a maior velocidade com que a pedra pode girar sem que o cordão se rompa? Como dito do item anterior, supor que mg significa tomarmos na horizontal. Assim, no momento de ruptura, a tensão máxima é igual à força centrípeta MAX = m v2 MAX L Assim, a velocidade máxima de rotação será: v MAX = MAX L m (d) Se o cordão se romper, quanto tempo a queda levará até atingir o solo? Na direção vertical a pedra realizará um movimento de queda livre, partindo da altura h, com velocidade nula na direção vertical, até atingir o solo. Supondo a origem do eixo vertical no solo temos 0 = h 1 2 gt2 Q ou seja, o tempo de queda t Q é dado por: t Q = 2h g 5

6 (e) A que distância (horizontal) do ponto de ruptura a pedra tocará o solo? Na direção horizontal a pedra parte com a velocidade v MAX determinada no item (c) e se desloca durante o intervalo de tempo dado por t Q. Supondo a origem do eixo horizontal no pondo de ruptura da corda, temos: ou seja, x h = v MAX t Q x h = MAX L 2h m g 3. Uma estrutura de arame, em forma de triângulo retângulo, é mantida no plano vertical e está apoiada no solo sobre o seu lado maior. Duas argolas de massas m 1 e podem deslizar sem atrito sobre cada um dos lados inclinados, mas estão unidas m 1 α 30 o 60 o entre si por um fio de massa desprezível. No equilíbrio, o fio faz um ângulo α com um lado como mostra a figura. (a) (1,0) Indique num diagrama todas as forças que agem sobre cada uma das argolas. Escreva as equações que definem o estado de equilíbrio estático. (b) (1,0) Qual deve ser a relação (m 1 / ) entre as massas para que, no equilíbrio, o fio fique na horizontal (isto é, α = 30 )? (c) (0,5) Nas condições do item (b) e supondo que m 1 g = 3 N, qual é a tensão no fio? SOLUÇÃO: (a) Indique num diagrama todas as forças que agem sobre cada uma das argolas. Escreva as equações que definem o estado de equilíbrio estático. Diagrama de forças: y N 1 30 o m 1 α - 30 o x m 1 g y α - 30 o N 2 60 o x g 6

7 Equações que definem o equilíbrio: Argola m 1 : Direção x : cos(α 30 ) = N 1 sen(30 ) (1) Direção y : N 1 cos(30 ) = m 1 g + sen(α 30 ) (2) Argola : Direção x : N 2 sen(60 ) = cos(α 30 ) (3) Direção y : N 2 cos(60 ) + sen(α 30 ) = g (4) (b) Qual deve ser a relação (m 1 / ) entre as massas para que, no equilíbrio, o fio fique na horizontal (isto é, α = 30 )? Substituindo α = 30 nas equações (1) e (2) temos: = N 1 sen(30 ) = 1 2 N 1 (5) N 1 cos(30 ) = m 1 g N 1 = 2 3 m 1 g (6) Juntando as equações (5) e (6) temos = 1 3 m 1 g (7) Substituindo agora α = 30 nas equações (3) e (4) temos: N 2 sen(60 ) = = 3 2 N 2 (8) N 2 cos(60 ) = g N 2 = 2 g (9) Juntando as equações (8) e (9) temos = 3 g (10) Das equações (7) e (10) temos que 1 3 m 1 g = 3 g (11) 7

8 ou seja: m 1 = 3 (c) Nas condições do item (b) e supondo que m 1 g = 3 N, qual é a tensão no fio? Usando a equação (7) = 1 3 m 1 g e que m 1 g = 3 N temos = 3 N 4. Alguém exerce uma força F, diretamente para cima, sobre o eixo da roldana mostrada na figura. A massa da roldana é de 4, 0 kg. Despreze a massa do fio, o atrito do mancal e o atrito entre o fio e a roldana. Nas duas extremidades do fio que passa pela roldana estão colocados dois corpos, m 1 de massa 1, 0 kg e de massa 2, 0 kg, sendo que este último está em contato com a superfície horizontal. (a) (0,5) Faça um diagrama de corpo livre e escreva as leis de Newton para a roldana e para cada uma das massas; F m 1 m2 (b) (0,5) Qual é o maior valor que o módulo da força F pode ter de modo que permaneça em repouso sobre a superfície? (c) (1,0) Qual a tensão no fio se a força F é de 150 N? (d) (0,5) Qual a aceleração de m 1 quando a força F é de 150 N? SOLUÇÃO: (a) Faça um diagrama de corpo livre e escreva as leis de Newton para a roldana e para cada uma das massas; Considerando a situação em que diagrama de forças: está em repouso no solo, temos o seguinte 8

9 F N m 1 Mg m 1 g g As expressões que descrevem a situação de cada corpo são: Roldana : F 2 Mg = MA massa m 1 : m 1 g = m 1 a 1 massa : + N g = 0 onde M e A são a massa e a aceleração da roldana, e a 1 a aceleração da massa m 1. (b) Qual é o maior valor que o módulo da força F pode ter de modo que permaneça em repouso sobre a superfície? O maior valor da força F ocorre quando N 0. Assim, da equação para a massa temos que: = g Considerando um caso geral, onde tanto as massas m 1 e quanto a roldana estão se movendo, como mostrado na figura abaixo, onde a origem do eixo vertical foi tomado na superfície horizontal, podemos determinar a relação entre as acelerações a 1 da massa m 1, a 2 da massa e A da roldana. As alturas y 1, y 2 e Y na figura representam as posições das massas m 1, e da roldana em um dado instante de tempo. Em qualquer instante de tempo o comprimento do fio C que liga m 1 a deve se manter constante. Para o instante de tempo mostrado na figura podemos escrever o comprimento do fio como (lembre-se que tanto as massas como a roldana estão sendo tratadas como partículas): C = Y y 2 + Y y 1 = 2Y y 1 y 2 Derivando a equação acima obtemos uma relação entre as velocidades das massas m 1, e da roldana: 2 dy dt dy 1 dt dy 2 dt = 0 2V v 1 v 2 = 0 9

10 F m 1 Y y1 y 2 e da roldana: Derivando novamente obtemos uma relação entre as acelerações das massas m 1, 2 dv dt dv 1 dt dv 2 dt = 0 2A a 1 a 2 = 0 Assim, as acelerações possuem a seguinte relação: 2A = a 1 + a 2 Portanto, na situação em que permanece em repouso, a 2 = 0 e a 1 = 2A. Substituindo na equação para a massa m 1 temos: g m 1 g = m 1 2A A = ( m 1 ) g 2m 1 Substituindo na equação da roldana: F MAX 2 g Mg = M ( m 1 ) g 2m 1 [ F MAX = 2 + M + M ] ( m 1 ) g 2m 1 [ F MAX = ] (2 1) A força máxima será de F MAX = 100 N (c) Qual a tensão no fio se a força F é de 150 N? Como a força aplicada é maior do que a força máxima determinada acima, isso implica que não está mais em repouso. Assim temos agora que: Roldana : F 2 Mg = MA 10

11 massa m 1 : m 1 g = m 1 a 1 massa : g = a 2 onde a 2 é a aceleração da massa. Do deduzido no item anterior sabemos que: 2A = a 1 + a 2 Da equação da roldana obtemos: A = F 2 Mg M Da equação para a massa a 2 = g Da relação entre as acelerações: a 1 = 2A a 2 Substituindo na equação para a massa m 1 m 1 g = m 1 (2A a 2 ) = m 1 (g + 2A a 2 ) ( ) ( )] F 2 Mg m2 g = m 1 [g + 2 M = m 1 (g + 2F M 4 M 2g ) + g = m 1 ( 2F M 4 M ) ( = 2m 1 M + 4m 1 + m 1 M ) ( F = ) 150 = 30 N (d) Qual a aceleração de m 1 quando a força F é de 150 N? 11

12 Usando a expressão para a 1 obtida acima: ( ) ( ) F 2 Mg m2 g a 1 = 2A a 2 = 2 M a 1 = ( 2F M 4 M 2g ) ( 2F + g = M 4 M ) g ( a 1 = ) 2 10 A aceleração da massa m 1 é dada por: a 1 = 20 m/s 2 12