Física 1 Capítulo 7. Conservação de Energia.

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1 Física Capítulo 7 Conservação de Energia

2 Trabalho (W) e a Variação da Energia Cinética f mv mv s = K =K f K i = W = F d i

3 Força Conservativa Quando uma força é conservativa? Uma força é conservativa quando o trabalho por ela realizado sobre uma partícula em uma trajetória fechada é nula. Outro detalhe é que o trabalho realizado sobre uma partícula de um ponto ao outro independe da trajetória.

4 Trabalho (W) e a Energia Potencial Para descrever os movimentos, baseando-nos em conceitos de energia, precisamos definir mais um tipo de... grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos. A energia potencial (U) é a energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo de um sistema de objetos, que exercem forças uns sobre os outros. Se a configuração muda, a energia potencial também pode mudar Relação entre energia potencial e trabalho: U = W

5 Energia Potencial Variação de Energia Potencial (movimento unidimensional) x U = W = x F x dx 0 x0 define uma configuração de referência e x uma configuração geral. A energia potencia para uma dada configuração x: x U x =U x 0 U =U x 0 x F x dx 0

6 Energia Potencial Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes. Pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência: U x 0 =0 Dos casos clássicos, podemos aplicar esse conceito a alguns tipos de força: - Força Elástica; - Força Gravitacional (próximo da superfície da terrestre).

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8 Energia Potencial Elástica Energia Potencial Gravitacional d s U x = F d s U y = F U x = F x dx U y = F y dy x U x = 0 kx dx kx U x =U x 0 kx U x = y U y = 0 mg dy U y =U y 0 mgy U y =mgy

9 Potência Potência Instantânea: dw F d r d r P ot= = =F = F v dt dt dt Potência Média: W P ot= t Lembrando que a unidade da potência é o Watt.

10 Equilíbrio Dentro do tema que estamos apreciando um ponto de equilíbrio é o ponto cuja a força é zero, ou seja, a derivada da energia potencial com relação à posição é nula. Os pontos de equilíbrio podem ser separados em equilíbrio estáveis e instáveis. U x vs x U x F x = dx F x vs x

11 Conservação da Energia Mecânica W = K W = U K = U Se estivermos nos referindo à forças conservativas (forças para as quais a energia mecânica de um sistema é conservada), teremos: K U =0, K f U f = K i U i E mec, final =E mec, inicial

12 Lei da Conservação da Energia Mecânica Observa-se que o aumento ou a diminuição da energia total de um sistema pode ser sempre igualada ao desaparecimento ou aparecimento de energia em uma outra parte do universo. E entra no sistema E sai no sistema= E sistema A energia total do sistema é constante. A energia pode ser convertida de uma forma em outra, pode ser transmitida de uma região para outra, mas não se pode criá-la ou destruí-la. E sistema= E mecânica E térmica E química E outros Teorema da Conservação do Trabalho-Energia: W ext = E sistema

13 Exemplo 7-: Um pêndulo consiste em uma massa m ligada a uma haste de comprimento L. A massa é deslocada lateralmente, de modo que a haste faz um ângulo θ0, com a vertical e é então abandonada. Calcule a expressão para (a) a velocidade e (b) a tração na haste quando a massa passa pela base do arco. Considere a resistência do ar desprezível.

14 E mec, final =E mec, inicial f i mv mv mgy f = mgy i mv base 0=0 mgh, h= L cos 0 v base = gl cos 0 v T mg =ma y, Lembrando que a c = r gl cos 0 T =mg ma y=m g a y, a y = L T =mg 3 cos 0

15 Exemplo 7-3: Um bloco de kg em uma superfície horizontal sem atrito é empurrado contra uma mole que tem uma constante elástica de 500 N/m, comprimindo a mola por 0 cm. O bloco é então abandonado, e a mola projeto ao longo da superfície e, em seguida, por uma rampa inclinada de 45o sem atrito. Qual é a distância para cima na rampa que o bloco percorrerá antes de momentaneamente atingir o repouso?

16 E mec, final =E mec, inicial i i mv kx kx E mec, inicial = = f mv E mec, final = mgy f =mgh kx kx =mgh h= mg h h=s sen s = o s=0,7 m sen 45

17 Exemplo 7-4: Uma mola, cuja constante elástica é k, está pendurada verticalmente. Um bloco de massa m está ligado a esta mola na posição indeformada e cai a partir do repouso. Calcule uma expressão para a distância máxima de queda do bloco antes de se iniciar seu movimento de subida.

18 E mec, final =E mec, inicial f f i ky mv ky mv mgy f =mgy i i k d mg d 0=0 0 0 kd kd mgd =0 mg d =0 d =0 ou mg kd mg=0 d = k

19 Adicional: Uma partícula move-se ao longo da direção x sob o efeito de uma força F(x) = kx +Kx, onde k = 00 N/m e K = 300 N/m. (a) Calcule a energia potencial U(x) da partícula, tomando U(0) = 0, e faça um gráfico de U(x) para -0,5 m < x < m. (b) Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade. (c) Para que o domínio de valores de x e da energia total E a partícula pode ter um movimento oscilatório? (d) Discuta qualitativamente a natureza do movimento da partícula nas demais regiões do eixo dos x. x Dado: 0 x n y dy = n n du Sabemos que : F x = dx x U = 0 kx ' Kx ' dx ' k K 3 k K 3 U x U 0 = x x U x = x x 3 3

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21 k K U x = x x 3 3 du As posições de equilíbrio correspondem : =0 dx kx Kx =0 cuja solução será : x= k = m, e x=0 K 3 Como podemos observar x=/3 e x=0 são pontos de equilíbrio. x=0 corresponde a um equilíbrio estável e x=/3 corresponde a um equilíbrio instável.

22 c) A partícula pode ter um movimento oscilatório para valores x tais que x < (/3) m e energias menores que U(/3) = 4,8 J. d) Na região negativa do eixo x e energias superiores a 4,8 J a partícula sente uma forçaa atrativa que a acelera na direção da origem. Depois de passar pela origem a sua velocidade diminui mas a sua enrgia cinética é suficiente para escapar do campo de potencial. Para valores de x positivos e maiores do que x = (/3) m a partícula experimenta uma forçaa repulsiva que a afasta da origem.

23 Exemplo 7-8: Uma caixa de 4 kg é empurrada a partir do repouso, sobre uma mesa horizontal, por uma distância de 3 m com uma força horizontal de 5 N. O coeficiente de atrito dinâmico entre a caixa e a mesa é de 0,35. Calcule (a) o trabalho externo realizado pelo sistema bloco-mesa, (b) a energia dissipada pelo atrito, (c) a energia cinética final na caixa e (d) a velocidade da caixa

24 W ext =W força nobloco W força no bloco =F emp x= 5N 3m =75 J E dissipada = f at x= d F N x= d mg x Energia dissipativa E dissipada = 0,35 4 kg 9,8 N / kg 3m =4, J W ext = E sistema Pelo teorema da conservação do trabalho-energia W ext = E mecânica E dissipada W ext = K f E dissipada K f =W ext E dissipada =75,0 4,=33,8 J mv f K f 33,8 J K f= vf= = =4, m/ s m 4kg

25 Exemplo 7-0: Uma criança com massa de 40 kg desce de um escorregador inclinado com 30o com a horizontal em um trecho de 8,0 m de comprimento. O coeficiente de atrito dinâmico entre a criança e o brinquedo é de 0,35. Se a criança parte do repouso no topo do escorregador, qual é a sua velocidade quando atinge a base?

26 W ext = E sistema Pelo teorema da conservação do trabalho-energia W ext = E mecânica E dissipada =0 U =mgh Não temos foras atuando no sistema Energia mecânica Energia Potencial mv f Energia mecânica Energia Cinética K =K f = E dissipada = f atrito= c F Normal = c mgcos Energia dissipativa f mv 0= mgh d mgcos s h=sen s, F =mgcos mv f 0= mg sen s d mgcos s v f =gs sen d cos = 9,8 8 sen30 0,35 cos30 normal v f =5,60 m/ s

27 No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, m = kg e m = kg. (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são l e l. Usando conservação de energia, calcule as velocidades de m e m depois que m desceu uma distância x. (b) Calcule a partir daí as acelerações a e a das duas massas. (c) Verifique os resultados usando as leis de Newton. Adicional:

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29 x m=kg, x = v m =kg, v = a v i =v i =0, a = v f v, v f v Pela conservação de energia E i =E f U i K i = U f K f A energia potencial gravitacional pode ser calculada a partir da seguinte expressão geral: x x U =U x U 0 = 0 F x ' d x ' = 0 mgdx ' x U = mg 0 dx ' =mg [ x ' ] x0 = mgx

30 Que aplicada ao sistema sob consideração, fornece o seguinte resultado para as energias totais inicial e final: E i = U i U m v i m v i E i = m gl m gl = g m l m l Onde usamos o fato de que vi = vi = 0 e, E f = U f U f m v m v E f = m g l x m g l x m v m v E f = m gl m gx m gl m gx m v m v E f = g m l m l gx m m v m m

31 Igualando as expressões da energia inicial e final, temos: E i =E f g m l m l = g m l m l gx gx v= m m m m gx = m m v m m = 3 gx 9 gx v =± 3 Neste caso, de acordo com a converção adotada, o sinal negativo corresponde à situação física correta. Agora, usando o fato de que: gx v = v, com isso temos : v =± 3 Sendo que, neste caso, o sinal positivo corresponde à solução fisicamente correta.

32 No item b. como as forças que atuam sobre m e m são constantes, temos que as acelerações a e a também são constantes. Então: x v g v =v i a a = a = x 3 v g v =v i a x a = a = x 3 No item c, considerando os diagramas de corpo livre para cada um dos corpos, temos que: Na polia : F x =0 T T =0 T =T m : F x =m a P T = m a m g T = m a m : F x =m a P T =m a m g T =m a Substituindo a equação da polia na massa m e utilizado o fato de que a = - a, temos que : m g T = m a

33 m g T = m a m g T = 4 m a Combinando as duas expressões acima teremos: g m m a = m 4 m Substituindo as massas: g g a =, e a = 3 3 Como queríamos demonstrar (cqd)!