Considerações Iniciais

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2 Considerações Iniciais Mecânica Estudo do Movimento; Cinemática Descarta as causa do moviemento; Reducionismo redução de variáveis envolvidas em algum problema. Por exemplo: no lançamento de uma caneta no ar, desconsidera-se a causa do movimento, o atrito com o ar, a rotação da caneta, as dimensões da caneta etc. A Cinemática considera sempre o movimento de uma partícula, independentemente das dimensões do móvel

3 MOVIMENTO RETILÍNEO Referencial Ponto no espaço a partir do qual se percebe o movimento e toma-se medidas. Deslocamento (x) Espaço em linha reta entre o referencial e alguma posição do movimento.

4 Velocidade Média (v m ) Relação de rapidez de um móvel, definida pela razão entre o deslocamento e o tempo necessário para realizá-lo: v m = x t Unidade SI ~ [m/s] Exemplo 1 Um carro, partindo de um ponto a 19 m da origem, encontra-se posicionado em 277 m após 3 s. Qual sua velocidade média?

5 Velocidade Instantânea (v) Velocidade em um instante específico no movimento, definida pela taxa de variação da posição no tempo. x v = lim t 0 t = dx dt

6 Exemplo 2 Um leopardo africano está de tocaia a 20 m a leste de um jipe blindado de observação. No instante t = 0, o leopardo começa a perseguir um antílope situado a 50 m a leste do leopardo. O leopardo corre ao longo de uma linha reta. A análise posterior de um vídeo mostra que durante os 2,0 s iniciais do ataque, a coordenada do leopardo varia com o tempo de acordo com a equação x = 20 m + (5 m/s²)t². a) Determine o deslocamento do leopardo durante o intervalo entre t 1 = 1,0 s e t 2 = 2,0 s. b) Ache a velocidade média durante o mesmo intervalo de tempo. c) Ache a velocidade média a partir do tempo t 1 = 1,0 s, considerando t = 0,1 s, logo t = 0,01 s e, a seguir, t = 0,001 s. d) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule a velocidade para t 1 = 1,0 s e t 2 = 2,0 s.

7 Cálculo da Velocidade com Gráfico x vs. t Em um gráfico da posição da partícula em função do tempo no movimento retilíneo, a velocidade instantânea em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto, ou seja, é possível extraí-la pela derivada da função x(t).

8 Aceleração Média (a m ) Fornecida pela variação da velocidade em determinado intervalo de tempo: a m = v t Unidade SI ~ [m/s²] Aceleração Instantânea (a) É definida pela taxa de variação infinitesimal da velocidade, quando o intervalo de tempo analisado tende a zero: v a = lim t 0 t = dv dt

9 Exemplo 3 Suponha que a velocidade de um carro em qualquer instante seja dada pela equação v = 60 m/s + (0,50 m/s³)t². a) Ache a variação da velocidade do carro no intervalo entre t 1 = 1 s e t 2 = 3 s. b) Ache a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo. c) Ache a aceleração média do carro a partir do tempo t 1 = 1 s, considerando t = 0,1 s. d) Deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule a aceleração para t 1 = 1 s e t 2 = 3 s.

10 Cálculo da aceleração usando o gráfico v vs. t:

11 Para um gráfico v versus t, a aceleração instantânea é fornecida pela inclinação da reta tangente a um ponto qualquer da função v(t), calculada pela derivada temporal de v(t). Lembrando que: v = dx dt Portanto: a = dv dt = d dt dx dt = d²x dt² Ou seja, a aceleração é a derivada de segunda ordem da posição x(t) em relação ao tempo.

12 Movimento Retilíneo com Aceleração Constante A velocidade varia com taxa uniforme no decorrer do movimento, o que ocorre, por exemplo, na queda livre (sem resisência do ar), corpo descendo um plano inclinado (com atrito), deslizamento sobre superfície horizontal (com atrito) etc. Para a aceleração constante, a aceleração média torna-se igual a aceleração em qualquer ponto do movimento a = a m = v t = v v 0 t t 0

13 Considerando t 0 = 0, pois a medição do tempo é arbitrária: a = v v 0 t at = v v 0 v = v 0 + at (I) Equação horária da velocidade para a aceleração constante, em uma dimensão O mesmo resultado pode ser obtido a partir de um gráfico a vs. t: v = at v v 0 = at v = v 0 + at

14 Para um gráfico do tipo v vs. t para a aceleração constante, se tem sempre uma reta inclinada (para cima ou para baixo):

15 Calculando-se a área do trapézio hachurado: x = v 0 + v t 2 Lembrando que v = v 0 + at: x = v 0 + v 0 + at t 2 x x 0 = 2v 0t + at² 2 x x 0 = v 0 t + at² 2 x = x 0 + v 0 t + at² 2 (II) Equação horária da posição para a aceleração constante, em uma dimensão

16 É possível verificar a expressão acima pela velocidade instantânea e pela aceleração instantânea: v = dx dt = v 0 + at a = d2 x = a a = cte dt2

17 Usando as equações (I) e (II) é possível ainda obter uma equação que não envolve o tempo. Para a equação (I), podemos reescrevê-la da seguinte forma: v = v 0 + at t = v v 0 a Substituindo na equação (II): x = x 0 + v 0 t + at² 2 x = x 0 + v 0 v v 0 a + a 2 v v 0 a 2 x = x 0 + v 0v a v 2 0 a + a 2 v² 2vv 0 + v 0 2 a² x = x 0 + v 0v a v 2 0 a + v2 2a 2vv 0 2a + v 2 0 2a

18 x x 0 = v2 2a v 2 0 2a 2a x x 0 = v 2 v 0 2 v² = v a x x 0 v² = v a x Para a aceleração constante, em uma dimensão (eq. de Torricelli)

19 Em casos que a aceleração é nula, a velocidade torna-se constante e a equação (II) reduz-se a: x = x 0 + vt Equação da posição para a aceleração nula e velocidade constante

20 Exemplo 4 Um motociclista se dirige para o leste para deixar uma cidade e acelera ao passar pelo marco que indica o início da contagem do comprimento da rodovia. Sua aceleração é constante e igual a 4 m/s². No instante t = 0 ele está a 5 metros a leste do marco, movendo-se a 15 m/s. a) Determine sua posição e velocidade para t = 2 s. b) Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s?

21 Exemplo 5 Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15 m/s quando passa em frente a uma escola, onde a placa de limite de velocidade indica 10 m/s. Um policial que estava parado no local da placa acelera sua moto e persegue o motorista com uma aceleração constante de 3m/s². a) Qual o intervalo de tempo desde o início da perseguição até o momento em que o policial alcança o motorista? b) Qual é a velocidade do policial nesse instante? c) Que distância cada veículo percorreu até o momento?

22 Queda Livre Movimento no qual um corpo move-se verticalmente ao ser abandonado em qualquer altura em relação ao referencial. A queda livre é caracterizada por desprezar a resistência do ar e ocorrer sobre aceleração constante. Quando acontece próxima à superfície da Terra, é aceleração é denominada aceleração da gravidade g, sendo: g = 9,8 m/s² (ao nível do mar, próximo à superfície da Terra)

23 As equações da Queda Livre são as mesmas do movimento com aceleração constante. No entanto, para utilizar a aceleração da gravidade é necessário considerar a orientação do referencial: Se o vetor g tem a mesma orientação que o referencial, seu valor será positivo. x g g = 9,8 m/s² y Se o vetor g tem orientação contrária a do referencial, seu valor será negativo. y x g g = - 9,8 m/s²

24 Exemplo 6: Uma moeda de 1 Euro é largada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se move em queda livre. Calcule sua posição e sua velocidade nos instantes t = 1 s, t = 2 s e t = 3 s. y x

25 Exemplo 7 Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edifício alto. A bola deixa sua mão com velocidade de 15 m/s em um ponto que coincide com a extremidade superior do parapeito do edifício; a seguir ela passa a se mover em queda livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e continua a queda. No local do edifício g = 9,8 m/s². Calcule: a) a posição e a velocidade da bola em 1 s e 4 s. b) a velocidade da bola quando ela está a 5 m acima do parapeito. c) a altura máxima atingida e o tempo que ela leva para atingir essa altura. d) a aceleração da bola quando ela se encontra na altura máxima.

26 REFERÊNCIAS Young & Freedman. Sears & Zemansky Física I: Mecânica. 12ª edição, editora Addison Wesley, São Paulo, As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima ou criadas pelo autor.