Integração Volume. Aula 07 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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1 Integração Volume Aula 7 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

2 Volume de um sólido

3 Na tentativa de encontra o volume de um sólido, nos deparamos com o mesmo tipo de problema que para calcular áreas. Temos uma ideia intuitiva do significado de volume, mas devemos torná-la precisa usando o cálculo para chegar à definição exata de volume. Começamos com um tipo simples de sólido chamado cilindro (cilindro reto).

4 B 2 B 1 h Um cilindro é delimitado por uma região plana B 1, denominada base, e uma região congruente B 2 em um plano paralelo. O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de reta perpendiculares à base que unem B 1 a B 2. Se a área da base é A e a altura do cilindro (distância de B 1 para B 2 ) é h, então, o volume V do cilindro é definido como V = Ah Em particular, se a base é um círculo com raio r, então o cilindro é um cilindro circular com o volume V = πr 2 h.

5 h l w Se a base é um retângulo com comprimento l e largura w, então o cilindro é uma caixa retangular (paralelepípedo retângulo), com volume V = lwh

6 Para um sólido S que não é um cilindro, inicialmente cortamos S em pedaços e aproximamos cada parte por um cilindro. Estimamos o volume de S adicionando os volumes dos cilindros. Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite em que o número de partes tornase grande.

7 n V i=1 A(x i ) x em que, n é o número de fatias, de largura x. E x i são os pontos amostrais. Estas aproximações ficam mais próximas do valor do Volume, quando n. Portanto, definimos o volume como o limite dessas somas quando n. Reconhecemos o limite da soma de Riemann como uma integral definida, e dessa forma temos a seguinte definição.

8 Definição de Volume

9 Seja um sólido que está entre x = a e x = b. Se a área da secção transversal de S no plano P x, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde é uma função contínua, então o volume de S é n b V = lim A x i x = A x dx n i=1 a

10 Volume de revolução formado pela rotação

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12 Suponha que f(x) seja contínua e f(x) no intervalo a x b e seja R a região sob a curva y = f(x) entre x = a e x = b. Nesse caso, o volume do sólido S formado pela rotação de R em torno do eixo x é dado por Vomume de S = π [f(x)] 2 dx b a

13 Exemplo 1 Neste caso, ao girar em torno do eixo x, a função fica negativa entre uns pontos de a e b, porém a fórmula da integral é válida normalmente Determine o volume do sólido S formado pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = x 2 +1 entre x = e x =

14 Exemplo 2 Neste caso, a região R está entre os gráficos de duas funções, f(x) e g(x). Assim, o volume será definido por b a V = π {[f x ] 2 g x ] 2 dx Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola f x = y = 1 (13 4 x2 ) e pela reta g x = y = 1 x , , , ,

15 Exemplo 3 Ao girar em torno do eixo y, o volume é d c determinado por: V = {g(y)} 2 dy A região limitada pela parábola cúbica y = x 3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, tira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. Neste caso, y = x x = y, e g y = y

16 Exemplo 4 Neste caso, a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados, sendo o b a volume dado por v = π [f x L] 2 dx Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 4, da região limitada por y = 1, y = 4 e x = 4. x Neste exemplo, temos [L-f(x)], o que não interfere no cálculo do volume.

17 Exemplo 5 Para determinar os pontos de interseção da curva com o eixo x, igualamos a equação a zero. Um tumor tem aproximadamente a mesma forma que o sólido formado pela rotação da região sob a curva y = x2 em torno do eixo x, onde x e y estão em centímetros. Determine o volume do tumor. 2 1,5 1,

18 Exercícios 1) Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas: a) y = x + 1, x =, x = 2, y = b) y = x 2, y = x 3 c) y = x 3, x = 1, x = 1, y =

19 2) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R, limitada pelos gráficos da equações dadas: a) x = y 2 + 1, x = 1, y = 2, y = 2. 2

20 3) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados: a) y = 2x 1, y =, x =, x = 4, ao redor do eixo dos x. b) y = 2x 2, x = 1, x = 2, y = 2, ao redor do eixo do y = 2.