CÁLCULO I. 1 Área de Superfície de Revolução

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 6: Área de Superfície de Revolução e Pressão Hidrostática Objetivos da Aula Calcular a área de superfícies de revolução; Denir pressão hidrostática. Área de Superfície de Revolução Uma superfície de revolução é um superfície gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo que se situa no mesmo plano da curva. Por exemplo, a superfície de uma esfera pode ser gerada ao girar um semicírculo em torno de seu diâmetro e a superfície lateral de um cilindro pode ser gerada pela rotação de um segmento de reta em torno de um eixo paralelo a ele. Nesta seção, queremos denir a área da superfície de revolução. Para motivar uma denição apropriada de área S de uma superfície de revolução, vamos decompor a superfície em pequenas seções cujas áreas possam ser aproximadas por fórmulas elementares. Somando as aproximações das áreas das seções, obtemos uma soma de Riemann que aproxima S e, tomando o limite da soma de Riemann, obtemos uma integral para o valor exato de S. Suponha que f seja uma função contínua não negativa em [a, b] e que uma superfície de revolução seja gerada pela rotação da parte da curva y = f(x) entre x = a e x = b em torno do eixo x.

2 Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos, inserindo os pontos x, x,..., x n entre a = x e b = x n. Os pontos correspondentes do gráco de f denem um caminho poligonal que aproxima a curva y = f(x) acima do intervalo [a, b]. Quando esse caminho poligonal gira em torno do eixo x, gera uma superfície que consiste em n partes, cada uma delas sendo um tronco de cone circular reto. A área de cada parte da superfície aproximante pode ser obtida pela fórmula π(r + r ).l () para a área lateral de um tronco de cone de geratriz l e raios da base r e r. tronco de cone com raios f(x k ) e f(x k ) e altura x k. Vamos tomar o k-ésimo A geratriz é o comprimento L k do k-ésimo segmento de reta da poligonal, é dado por L k = ( x k ) + [f(x k ) f(x k )] Assim, a área lateral S k do k-ésimo tronco de cone é: S k = π[f(x k ) + f(x k )]. ( x k ) + [f(x k ) f(x k )] Se somarmos essas áreas, vamos obter a seguinte aproximação da área S da superfície inteira: n S π[f(x k ) + f(x k )]. ( x k ) + [f(x k ) f(x k )] () k= Para colocar isso na forma de soma de Riemann, vamos aplicar o Teorema do valor médio. Esse teorema implica na existência de um ponto x k entre x k e x k tal que f(x k ) f(x k ) x k x k = f (x k ) ou f(x k) f(x k ) = f (x k ) x k Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida

3 e, assim, podemos reescrever () como S n k= π[f(x k ) + f(x k )] + [f (x k )] x k (3) No entanto, isso ainda não é uma soma de Riemann, pois envolve as variáveis x k e x k. Para eliminar estas variáveis da expressão, observe que o valor médio dos números f(x k ) e f(x k ) está entre esses números. Dessa forma a continuidade de f e o Teorema do Valor Intermediário implicam a existência de x k entre x k e x k, de tal modo que Assim, () se expressa como S [f(x k ) + f(x k )] = f(x k ). n k= πf(x k ) + [f (x k )] x k Embora essa expressão esteja próxima à forma de somas de Riemann, ela não é uma soma de Riemann verdadeira, pois envolve duas variáveis x k e x k. Entretanto, prova-se em cálculo avançado que isso não tem nenhum efeito sobre o limite, devido à continuidade de f. Desse modo podemos supor que x k = x k ao tomar o limite, o que sugere que S possa ser denida como lim x k k= Em suma, temos a seguinte denição: n πf(x k ) + [f (x k )] x k = b a πf(x) + [f (x)] dx. Denição. Se f for uma função contínua e não negativa em [a, b], então a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y = f(x) entre x = a e x = b em torno do eixo x é denida por: b a πf(x) + [f (x)] dx. Quando for conveniente, essa fórmula pode ser expressa como b a πf(x) + [f (x)] dx = b a πy + ( ) dy dx dx Além disso, se g for não negativa e x = g(y) for uma curva contínua em [c, d], então a área da superfície gerada quando a parte da curva x = g(y) entre y = c e y = d gira em torno do eixo y, pode ser expresso como d c πg(y) + [g (y)] dy = d c πx + ( ) dx dy dy Exemplo. Encontre a área da superfície gerada pela rotação da parte da curva y = x 3 entre e em torno do eixo x. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Como y = x 3, temos que dy/dx = 3x e, portanto, a área da superfície é: ( ) dy πy + dx dx = = π πx 3 + (3x ) dx x 3 + 9x 4 dx Fazendo u = + 9x 4, temos que du = 36x 3 dx. Segue que: π 36 = π 36 [ u 3/ 3/ u / du ] = π 7 (3/ ) 3, 56. Exemplo. Encontre a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo y da parte da curva y = x entre x = e x =. Como a curva gira em torno do eixo y, vamos reescrever y = x como x = y e observar que os valores de y correspondentes a x = e x = são, respectivamente, y = e y = 4. Uma vez que x = y, temos que dx/dy = /( y) e, portanto, a área da superfície é: = π 4 4 π y + 4y + dy Fazendo u = 4y +, temos que du = 4dy. Segue que: 7 π u / du 4 5 [ ] 7 = π u 3/ 4 3/ 5 ( ) dy y = π 6 (73/ 5 3/ ) 3, 85. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Exemplo 3. A curva y = 4 x, com x, é um arco do círculo x + y = 4. Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Temos que Segue que: dy dx = (4 x ) / ( x) = x 4 x = π = 4π = 8π π ( ) x 4 x + dx 4 x 4 x 4 x dx dx Exemplo 4. Determine a área da superfície obtida pela rotação, em torno do eixo y, do gráco de f(x) = x, x. Como a superfície é gera pela rotação da curva em torno do eixo y, temos que x = y, dx dy = y, f() = e f() =. Segue que: = π π y + y + dy ( y ) dy Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Fazendo u = y +, temos que du =.dx. Quando y =, u = e quando y =, u =. Assim: π [ u / du ] u 3/ = π 3 = π ( ) 3/ 3 = π ( ). 3 Exemplo 5. Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráco de f(x) = sen(x), x π. Temos que: π πsen(x) + cos x dx Fazendo u = cos(x), temos que du = sen(x).dx. Quando x =, u = e quando x = π, u =. Segue que: π = π + u du + u du Fazendo u = tg(θ), temos que du = sec ( θ).dθ. Quando u =, θ = π 4 e quando u =, θ = π 4. Segue que: π/4 π = π π/4 π/4 π/4 + tg (θ) sec (θ) dθ sec 3 (θ) dθ Integrando por partes (Veja a nota de aula ), temos: π[ + ln( + )]. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Exemplo 6. Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva y = e x, com x, em torno do eixo x. Temos que: Segue que: dy dx = ex = π πe x + (e x ) dx e x + e x dx Fazendo u = e x, temos que du = e x dx. Segue: π e + u du Fazendo u = tg(θ), então du = sec (θ)dθ. Além disso, α = tg e. Segue que: π α π 4 sec 3 (θ) dθ = π [sec(θ)tg(θ) + ln sec(θ) + tg(θ) ]α π/4 = π[sec(α)tg(α) + ln(sec(α) + tg(α) ln( () + )] Como tg(α) = e, temos que sec ( α) = + tg (α) = + e. Assim: π[e + e + ln(e + + e ) ln( + )]. Pressão e Força Hidrostática Dentre as muitas aplicações do cálculo integral á física e à engenharia, consideramos uma aqui: a força em função da pressão da água. Como em nossas aplicações anteriores, nossa estratégia é fragmentar a quantidade física em um grande número de pequenas partes, aproximar cada pequena parte, somar os resultados, tomar o limite e, então, calcular a integral resultante. Denição (Pressão). Se uma força de magnitude F for aplicada a uma superfície de área A, então denimos a pressão P exercida pela força sobre a superfície como sendo P = F A. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad. A força exercida pelo uído na placa é, portanto: em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim: F = mg = ρgad P = F A = ρgd. Um princípio importante da pressão de uídos é o fato vericado experimentalmente de que em qualquer ponto no líquido a pressão é a mesma em todas as direções. Assim, a pressão em qualquer direção em uma profundidade d em um uido com densidade de massa ρ é dada por: P = ρgd = δd. Isso nos ajuda a determinar a força hidrostática contra uma placa vertical, parede ou barragem em um uido. Este não é um problema simples, porque a pressão não é constante, mas aumenta de acordo com a profundidade. Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. a x b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x. Para A ideia básica para resolver este problema é dividir a superfície em faixas horizontais, cujas áreas possam ser aproximadas por áreas de retângulos. Essas aproximações de áreas, nos permitirão criar uma soma de Riemann que aproxime a pressão total na superfície. Tomando um limite das somas de Riemann, obteremos uma integral para F. Denição 3. Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido com densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b ao longo do eixo x cujo sentido positivo seja para baixo. Para a x b, suponha que w(x) seja a extensão da superfície e que h(x) seja a profundidade do ponto x. Denimos, então, a força do uido sobre a superfície por F = b a ρh(x)w(x) dx. Exemplo 7. A face de um dique é um retângulo vertical com altura de pés e extensão de pés. Encontre a força total que o uido exerce sobre a face, quando a superfície da água está no nível do topo do dique. Considere ρ = 6, 4 lb/pé 3. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 Solução: Introduzimos um eixo x com origem na superfície da água, conforme mostra a gura abaixo: Em um ponto x sobre esse eixo, a extensão do dique é de w(x) = pés e a profundidade h(x) = x pés. Assim: F = = 48.6, 4.x dx [ x = 48 = 6.4.lb. Exemplo 8. Uma placa com o formato de triângulo isósceles, com base de pés e altura 4 pés, é imersa verticalmente em óleo de máquina, conforme mostra a gura a seguir. Encontre a força F que o uido x dx ] exerce sobre a superfície da placa se a densidade do óleo for ρ = 3 lb/pé 3. Solução: Vamos introduzir um eixo x, conforme mostra a gura abaixo. satisfaz Por semelhança de triângulos, a extensão da placa, em pés, a uma profundidade h(x) = x + 3 pés, w(x) = x 4 w(x) = 5 x. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9

10 Assim: F = 4 = 75 4 ( 5 3.(3 + x). (3x + x ) dx [ 3x = 75 + x3 3 = 34 lb. ] 4 ) x dx Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida