MATEMÁTICA MÓDULO 16 CONE E CILINDRO. Professor Haroldo Filho

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2 MATEMÁTICA Professor Haroldo Filho MÓDULO 16 CONE E CILINDRO

3 1. CILINDRO CIRCULAR Considere dois planos paralelos, α e β, seja R um círculo no plano α, seja s uma reta secante aos dois planos que não intersecta R, o conjunto de todos os segmentos de retas paralelos a s que contém um ponto de R e um ponto no plano paralelo β formam um cilindro. Todo cilindro possui três superfícies, as duas bases e a superfície lateral. O eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das suas bases, na figura acima a reta que passa pelos pontos A e B. Se o eixo for perpendicular às bases o cilindro será circular reto, caso contrário, será um cilindro oblíquo.

4 2. DEFINIÇÕES Superfície cilíndrica de revolução é a superfície gerada pela rotação de uma reta g (geratriz) ao redor de uma reta fixa paralela OO (eixo). A distância constante entre g e OO é o raio. A circunferência descrita por qualquer ponto de D é um paralelo. Qualquer plano que passe por OO é chamado plano meridiano. Seção reta é a seção da superfície cilíndrica por qualquer plano perpendicular às geratrizes.

5 2. DEFINIÇÕES Um cilindro é reto ou oblíquo conforme suas bases sejam seções retas ou oblíquas da superfície cilíndrica. cilindro reto cilindro obliquo No cilindro circular reto a geratriz é igual à altura. No cilindro circular oblíquo a geratriz é maior que a altura.

6 3. VOLUMES O volume do cilindro é calculado pelo produto da área da sua base pela sua altura. V = A B. h = r 2 h

7 4. ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DO CILINDRO CIRCULAR RETO Planificando o cilindro circular reto obtemos: Portanto sua área lateral do cilindro circular reto é igual a área do retângulo de dimensões 2.. r e h. O comprimento do retângulo 2.. r é igual ao perímetro da circunferência da base do cilindro. Portanto a área lateral é dada por A 1 = 2.. r. h E a sua área total é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.

8 5. SEÇÃO MERIDIANA DE UM CILINDRO CIRCULAR (QUADRILÁTERO ABCD) É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta que liga os centros das bases (OO ). No cilindro oblíquo a seção meridiana é um paralelogramo e no cilindro reto é um retângulo.

9 5. SEÇÃO MERIDIANA DE UM CILINDRO CIRCULAR (QUADRILÁTERO ABCD) Um cilindro de revolução é o sólido limitado por uma superfície cilíndrica de revolução e duas seções retas ou de maneira equivalente é um cilindro reto de base circular.

10 5. SEÇÃO MERIDIANA DE UM CILINDRO CIRCULAR (QUADRILÁTERO ABCD) Cilindro equilátero é o cilindro circular reto que possui altura igual ao diâmetro da base. g = h = 2r A seção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.

11 6. CONE CIRCULAR Considere um círculo R contido num plano α, e B um ponto que não está em α. O conjunto de todos os segmentos de reta que unem o os pontos de R ao ponto B formam um cone circular. A reta que passa pelos pontos A, centro da base, e o ponto B, é o eixo do cone. No caso em o segmento AB é perpendicular à base, o cone é circular reto, caso contrário será oblíquo.

12 7. DEFINIÇÕES No cone circular reto o segmento que une os pontos A e B é chamado de altura e o segmento que une os pontos B e C é chamado de geratriz, B é o vértice do cone e o círculo R é a base do cone, a distância de A até C é o raio da base. No cone circular reto vale a seguinte relação

13 CONE OBLÍQUO

14 CONE CIRCULAR RETO OU CONE DE REVOLUÇÃO O cone circular reto é criado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos seus catetos. Este é o motivo pelo qual a superfície de um cone recebe o nome de superfície de revolução.

15 SEÇÃO MERIDIANA: interseção do cone com um plano que contém a reta que liga o vértice ao centro da base. Na figura ao lado o triângulo BED é a seção meridiana. No cone oblíquo a seção meridiana é um triângulo escaleno. No cone reto a seção meridiana é um triângulo isósceles.

16 CONE EQUILÁTERO é aquele cuja seção meridiana é um triângulo equilátero. Nesse caso, g = 2r e h = r 3 ÁREA LATERAL (cone reto): A lateral = rg ÁREA TOTAL (cone reto): A total = A lateral + A base = r(g + r) VOLUME (reto ou oblíquo): V = 1 3 A base. h = 1 3 r2 h

17 8. TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS A rotação completa do trapézio retângulo, em A e B, em torno do eixo, gera o sólido conhecido como tronco de cone. O Volume do tronco de cone de bases paralelas é igual a h V R Rr r 3 2 2

18 Com a demonstração análoga a utilizada no cálculo do volume do tronco de pirâmide. h V (B B b b) 3 Com b= r e B 2 2 R obtemos: h h V ( R R r r ) (R 2 R r r 2 ). 3 3 A área lateral do tronco de cone reto de bases paralelas é igual a A R r g

19

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