REGULARES POLIEDROS IRREGULARES

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1 GEOMETRIA ESPACIAL ESFERA OBLÍQUO RETO CILINDRO OBLÍQUO RETO CONE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO REGULAR OBLÍQUA RETA PIRÂMIDE REGULAR OBLÍQUO RETO PRISMA IRREGULARES ICOSAEDRO DODECAEDRO OCTAEDRO HEXAEDRO TETRAEDRO REGULARES POLIEDROS GEOMÉTRICOS SÓLIDOS 1

2 POLIEDROS: são sólidos geométricos limitados (formados) por figuras planas. Elementos de um poliedro Faces: são as figuras planas que formam o sólido; Arestas: são os lados da figura plana; RELAÇÃO DE EULER Existe uma relação entre os elementos dos poliedros regulares. Observe: NOME V F A Vértices: são os pontos de encontro das arestas. Podemos classificar um poliedro de acordo com o número de faces. Ex.: Nº de Classificação faces 4 Tetraedro 5 Pentaedro 6 Hexaedro 7 Heptaedro 8 Octaedro 9 Eneaedro 10 Decaedro 11 Undecaedro 12 Dodecaedro Icosaedro Poliedro convexo é todo poliedro em que qualquer segmento de reta que una quaisquer dois de seus pontos está contido no interior do poliedro ou numa das regiões poligonais. Poliedro convexo Poliedro não convexo A relação é, conhecida como Relação de Euler. Ex.: Um poliedro possui 2 faces quadrangulares e 8 triangulares. Determinar o número de vértices. Exercícios: 1) Ache o número de vértices, arestas e de faces dos poliedros convexos que possuem: a) 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares; b) 4 faces triangulares e 1 face quadrangular; c) 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares. 2) (Fuvest - SP) Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices e 9 arestas? 3) (Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 4) (Puccamp -SP) Se um poliedro convexo possui 16 faces triangulares, o seu número de vértices é:

3 5) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces quadrangulares, 4 faces triangulares e 1face hexagonal. 6) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 1 face decagonal, 1 face pentagonal, 15 faces quadrangulares e 5 faces triangulares. 7) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 8) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro? 9) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos? 10) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a2/3 do número de arestas e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro. 11) Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices possui faces triangulares e faces quadrangulares. Determine quantas são as faces triangulares e quadrangulares. ESTUDO DO PRISMA DEFINIÇÃO: Prismas são poliedros convexos que tem duas faces paralelas e congruentes (bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (faces laterais). Exemplos: Um prisma é reto: quando as arestas laterais são perpendiculares às bases; caso contrário, o prisma é oblíquo. prisma reto prisma oblíquo Um prisma é regular quando for reto e sua base for um polígono regular. Num prisma destacamos: POLIEDROS REGULARES Se todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de faces, o poliedro chama-se poliedro regular. Caso contrário, o poliedro é dito irregular. Existem apenas cinco poliedros regulares, conhecidos desde o século VI a.c.. Estes sólidos também são conhecidos por sólidos platônicos, porque foram estudados por Platão e estavam associados aos cinco elementos naturais:, Fogo, Terra, Ar, Universo e Água. TETRAEDRO HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO Um prisma recebe denominação de acordo com o polígono da base, se a base é um: * triângulo prisma triangular; * quadrado prisma quadrangular; * pentágono prisma pentagonal; e assim por diante.

4 ÁREAS E VOLUME DE UM PRISMA REGULAR Área da base (Ab) : é a área de um dos polígonos da base. Área Lateral (Al): é a soma das áreas de todas as faces laterais. Exemplo: 1) O apótema da base de um prisma triangular regular tem 3 cm, a área lateral é 72 cm 2. Calcule a altura do prisma. Área total (At) é a soma da área das 2 bases com a área lateral. Volume (V): é o produto entre a área da base e a altura. PARALELEPÍPEDO Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo. Se as faces forem retângulos é chamado paralelepípedo retângulo ou retorretângulo. Se as faces forem quadrados, o paralelepípedo é chamado cubo. 2) A diagonal de uma face de um cubo tem medida 5 2 cm. Qual a área do cubo? Cálculo da medida da diagonal PARALELEPÍPEDO CUBO 1) Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos seguintes prismas: a) b) c) Área Lateral (Al): Áreas e Volume de um paralelepípedo retângulo e de um cubo Área Lateral (Al): 2) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de cada um dos paralelepípedos retângulos representados abaixo: Área total (At) Área total (At) Volume (V): Volume (V): 3) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo cuja soma das medidas das arestas é igual a 48 cm.

5 4) A base de um prisma reto de 8 cm de altura é um quadrado inscrito em um círculo de 6 2 cm de diâmetro. Determine a área total e o volume desse prisma. 5) Considere um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de perímetro 12 dm. Determine a área total e o volume desse prisma, sabendo que a medida da sua altura é o dobro da medida da altura da base. 6) Um artesão vende porta-joias que têm a forma de prismas heptagonais regulares. Ele oferece aos clientes a opção de revestimento de toda a superfície lateral do porta-joias com resina e, por esse serviço, cobra sobre o preço marcado um adicional de R$ 0,15 por centímetro quadrado de superfície revestida. Mafalda comprou um desses porta-joias e optou por fazer tal revestimento. Então, se o porta-joias que ela comprou tinha 4 cm de altura e a aresta da base media 3 cm, que quantia adicional ela pagou? 7) Sabe-se que a base de um prisma reto é um hexágono regular cujo apótema mede 6 3 dm. Se a altura desse prisma mede 20 dm, determine sua área total e seu volume. 8) Determine o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que a medida de sua diagonal é 3 10 dm e duas de suas dimensões medem 4 dm e 7 dm. 13) A figura representa um galpão com o formato de um prisma reto de base pentagonal, em que a unidade das medidas indicadas é o metro. Considerando que esse galpão tem 18 m de comprimento, determine o volume de ar que ele comporta. ESTUDO DA PIRÂMIDE Consideremos um polígono contido em um plano e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a união de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. ELEMENTOS E CLASSIFICAÇÃO 9) A figura mostra a planificação da superfície de um paralelepípedo retângulo no qual a unidade das dimensões indicadas é o centímetro. Determine: a) x, sabendo que a área total do paralelepípedo é igual a 364 cm 2 b) o volume do paralelepípedo para x = 4 cm; c) a medida da diagonal do paralelepípedo para x = 6 cm. 10) Priscila usou massa de modelar para construir um paralelepípedo retângulo cujas dimensões eram 20 cm X 30 cm X 45 cm. Em seguida, ela desmanchou o paralelepípedo que havia construído e aproveitou toda a massa usada na sua construção para modelar um cubo de x centímetros de aresta. Com base nessas informações, determine x. 11) Um sólido cúbico maciço de madeira tem aresta igual a 8 cm. Sabendo que a densidade da madeira é 0,8 g/cm 3,calcule a massa desse sólido. 12) O volume de uma caixa d água cúbica é de 216 litros. Qual a medida de sua aresta? Base: polígono qualquer contido no plano Vértice (V): ponto fora do plano Aresta da base (a b ): lado do polígono da base Apótema da base (ap): segmento que liga perpendicularmente o centro ao ponto médio do lado do polígono da base Aresta lateral (al): segmento que liga o vértice V aos vértices do polígono da base Apótema da pirâmide (a pp ): segmento que liga perpendicularmente o vértice V ao ponto médio do lado do polígono da base Altura (h): distância perpendicular entre o vértice V e o plano

6 As pirâmides podem ser retas ou obliquas, e recebem nome de acordo com o polígono da base. Exemplo: É dada uma pirâmide regular de base quadrada. A sua altura é 9 m e o seu volume é 108 m 3. Calcule a área total da pirâmide. Pirâmide regular é a pirâmide que tem na base um polígono regular. Em toda pirâmide regular tem-se que: o segmento que liga o vértice ao centro da base é a altura da pirâmide; o polígono da base é regular por isso pode ser inscrito numa circunferência de raio r, chamado raio da base. as faces laterais são triângulos isósceles a altura de cada face lateral é o apótema da pirâmide regular (app). Observação 1: Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos retângulos nos quais aparecem: a aresta da base (ab), a aresta lateral (al), o raio da base (r), o apótema da pirâmide (app), o apótema da base (ap) e a altura da pirâmide (h). Observação 2: A pirâmide formada por 4 triângulos equiláteros é chamada TETRAEDRO. ÁREAS E VOLUME DE UMA PIRÂMIDE REGULAR Área da base ( A b ): área do polígono da base Área lateral ( A l ): soma das áreas das faces laterais Área total ( A t ): soma da área lateral com a área da base Volume: V = 1) Calcule a área lateral, a área total e o volume da pirâmide regular, cujas dimensões estão indicadas na figura ao lado. 2) A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um quadrado de 8 cm de perímetro. Calcule o seu volume. 3) Calcule o volume de uma pirâmide de 12 m de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 6 m e 10m. 4) A base de uma pirâmide de 8 m de altura é um hexágono regular cujo apótema mede 2 3 m. Determine o volume dessa pirâmide. 5) Determine o volume da pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 6 2 cm e a aresta lateral mede 10 cm. 6) Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro da base e 30 cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais. 7) (UF-PE) Uma pirâmide hexagonal regular tem altura igual ao lado da base e volume 4 3 cm 3. Qual é a área total dessa pirâmide? 8) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais, sendo a área da base igual a 16cm 2. Qual é a sua altura? 9) Uma pirâmide reta tem 12 dm de altura. Sua base é um retângulo com 8 dm de comprimento e cuja diagonal mede 10 dm, calcule o volume dessa pirâmide.

7 10) Uma pirâmide quadrangular regular tem 12 cm de altura e 10 cm de aresta da base. Calcule sua área total. 11) O perímetro da base de um tetraedro regular é 12cm. Determine: a) a área total do tetraedro; b) a medida de sua altura; c) o volume do tetraedro. 12) Um peso maciço de papel é feito de vidro e tem a forma de um tetraedro regular cuja aresta mede 6 cm. Sabendo que a densidade do vidro é 2,6g/cm 3, qual é a massa desse peso de papel? Use 2 = 1,4. ÁREAS E VOLUME DE UM CILINDRO Área da base: Como a base de um cilindro é um círculo, sua área é dada por: Ab = r 2 Área lateral: Planificando a lateral do cilindro, temos: Área total: É a soma das áreas das bases com a área lateral. ESTUDO DO CILINDRO Cilindro é um sólido cujas bases são paralelas e circulares. Um cilindro pode ser reto ou oblíquo. O cilindro reto é também chamado de cilindro de revolução pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados. Elementos do cilindro: Na figura temos: * bases do cilindro: círculos de centros O e O, de raio r. Volume: O cilindro nada mais é que um prisma de base circular. Logo: Exemplo: A área da seção meridiana de um cilindro equilátero é 100 cm 2, calcule a área total e o volume deste sólido. * eixo do cilindro : reta que passa pelo centro das bases. *geratriz: são os segmentos de extremidades nas circunferências das bases e paralelos ao eixo do cilindro, no cilindro reto g = h. A a) secção meridiana em um cilindro b) reto é um retângulo. c) Se a secção meridiana for um quadrado, esse cilindro é chamado cilindro equilátero. Nesse caso altura é igual ao diâmetro da base, ié, h = 2r 1) Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras.

8 2) Uma lata de óleo cilíndrica possui as seguintes medidas internas: raio da base 4 cm e altura 22 cm. Nessa lata, é possível armazenar mais que um litro de óleo? 3) Determine o volume de um cilindro, sabendo que sua área lateral é igual a 250 cm 2 e que o raio de sua base mede 10 cm. 4) Um reservatório cilíndrico de armazenamento de água possui internamente 14 m de altura e 8 m de diâmetro e está vazio. Se ele receber água à razão de 160 litros por minuto, qual é o menor número inteiro de dias necessários para enchê-lo completamente? 5) O perímetro da seção meridiana de um cilindro reto mede 28 cm. Sabendo que a área lateral do cilindro é 48 cm 2, determine seu volume. 6) Um recipiente cilíndrico tem 20 cm de altura e diâmetro interno de 10 cm. Determine quantos quilogramas de mercúrio são necessários para encher completamente esse vaso, sabendo que a densidade do mercúrio é 13,6 g/cm3. Use = 3,14. 7) Um cilindro reto tem 30 m 2 de área lateral e 45 m 3 de volume. Determine: a) a medida de sua altura; b) sua área total. 8) Calcule a área total da superfície de um cilindro equilátero, sabendo que o seu volume é igual a 250 cm 3. 9) A planificação da superfície lateral de um cilindro reto tem dimensões 6cm e 8 cm. Determine a área total e o volume do cilindro, considerando = 3,1. 10) Um poço, com a forma de um cilindro reto, deve ser construído em um terreno plano. Se ele deve ter 24dm de diâmetro por 140 dm de profundidade, quantos metros cúbicos de terra deverão ser removidos para sua construção? Considere = 3,14 11) Numa feira livre, o caldo de cana é vendido em dois recipientes cilíndricos: o copo grande, que tem 5 cm de raio da base e 12 cm de altura, e o copo médio, com 3 cm de raio da base e altura de 10 cm. Para o consumidor, qual copo é mais vantajoso, se o maior custa o triplo do médio? 12) Um cilindro está inscrito em um cubo cuja aresta mede 10 cm, conforme a figura abaixo: a) Determine, na ordem dada, a razão entre as áreas totais do cubo e do cilindro. b) Determine os volumes do cubo e do cilindro. 13) Em um experimento, um professor de Química usou um vasilhame cilíndrico de 6 cm de raio da base, contendo água até certa altura. Imediatamente após adicionar 16 pedras cúbicas de gelo, cada uma com aresta de 3 cm, o nível da água atingiu 12 cm. Qual era o nível da água antes da adição do gelo? Considere = 3. 14) Para o intervalo de uma reunião de trabalho foi servido café em uma garrafa térmica cilíndrica, com as seguintes medidas internas: 18 cm de altura e 5 cm de raio de base. O café será servido em copinhos plásticos, também cilíndricos e com espessura desprezível, sendo 4 cm a medida do diâmetro da base e 4 cm a medida da altura. Considere = 3,1. Se cada um dos 30 participantes quiser se servir uma única vez de café, enchendo completamente o copinho, haverá café suficiente para todos? Explique. 15) Uma peça de madeira, com a forma de um prisma reto de base quadrada, tem em seu centro um furo cilíndrico de 2,8 cm de raio, conforme mostra a figura abaixo. ESTUDO DO CONE Dados um círculo e um ponto V fora dele, o sólido formado pela união de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto do círculo é chamado cone. Um cone pode ser reto ou oblíquo. Elementos do cone: * base do cone: círculo de centro O e raio r. Se o prisma tem 10 cm de altura e o lado do quadrado da base mede 18 cm, determine: a) o volume da peça; b) a massa dessa peça, em quilogramas, considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm 3. * eixo: reta que passa pelo centro da base e pelo vértice. * geratriz(g): sâo os segmentos de extremidades em V e na circunferência da base do cone * altura(h): é a distância entre o vértice e o plano que contem a base

9 Obs.: O cone reto é também chamado de cone de revolução, pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Em todo cone reto vale a relação: g 2 = h 2 + r 2 Exemplo: Planificando um cone, obtemos um setor circular de raio 6 cm e um ângulo central de 120. Calcular a área total desse cone. SEÇÃO MERIDIANA: é a intersecção do cone com um plano que contém seu eixo. No cone reto a secção meridiana é um triângulo isósceles. Se a secção meridiana é um triângulo equilátero, dizemos que o cone é equilátero. Nesse caso a geratriz é igual ao diâmetro, h = 2r. 1) Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos sólidos, cujas medidas estão indicadas. a) b) c) ÁREAS E VOLUME DE UM CONE Área da base: Ab = π r 2 Área lateral: planificando a lateral do cone, temos um setor circular de raio g e comprimento 2 π r. Podemos calcular a área lateral por meio de uma regra de três, pois o comprimento do arco é proporcional à área do setor. Área total: É a soma da área da base com a área lateral comprimento do arco Al = π.r.g Volume: O cone nada mais é que uma pirâmide de base circular, portanto: V = área do setor 2 g g 2 2 r Al 2) Calcule o volume do cone cujo raio da base mede 4 cm e cuja altura mede 5 cm. 3) Determine a área da base de um cone de revolução de 6 cm de altura cujo volume é 128 cm 3. 3) Um cone circular reto tem 20 dm de altura e sua geratriz mede 25 dm. Determine a área total e o volume desse cone. 4) Sabe-se que a seção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles de área igual a 36 cm 2. Se esse cone tem 1 5 cm de altura, qual é o seu volume? 5) Qual é a medida do ângulo central de um setor circular obtido pela planificação da superfície lateral de um cone cuja geratriz mede 18 cm e o raio da base mede 3 cm? 6) Seja o triângulo retângulo cujos catetos medem 9dm e 12 dm. Em cada caso seguinte, determine o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo, em torno: a) do cateto menor b) do cateto maior.

10 7) Em alguns comércios, encontramos guarda--chuvas de chocolate. Considere que cada guarda-chuva tem o formato de um cone circular reto com 4cm de diâmetro da base e 6 cm de altura. Sabendo que a densidade do cacau usado na fabricação desse chocolate é de 1,05 g/cm3, determine a massa de cacau, em quilogramas, necessária para preparar 2500 desses cones. Use = 3,1. 8) Em uma festa de casamento, serviram-se bebidas em taças em forma de cone reto, com base de diâmetro 4 cm e geratriz de medida [i cm. Determine quantos litros de bebida foram necessários para encher as 600 taças que foram servidas nessa festa. 9) A base de um cone equilátero foi pintada com 10 latas de tinta, cada uma contendo 1,8 litros de tinta. Nessas condições, para pintar a área lateral desse cone a quantidade de tinta necessária, em litros, é igual a: a) 18 b) 27 c) 30 d) 36 e) 40 10) Determine a medida da altura de um cone equilátero cuja área total é 54 m 2. 11) O silo representado abaixo possui altura total de 15 metros. Nele podem ser armazenados 325 m 3 de cereais. Determine: a) a medida da altura do cone; b) o custo de fabricação do silo, sabendo que a chapa de aço utilizada em sua confecção custa R$ 200,00 por m 2. Considere = 3,1 e 34 = 5,8. ESTUDO DA ESFERA Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. A esfera é gerada pela rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e que contém o seu diâmetro. A superfície esférica é a casca da esfera, ou seja, conjunto de todos os pontos do espaço que estão à mesma distância do centro da esfera. Seção na esfera: Ao seccionarmos uma esfera por um plano qualquer, à uma distância d do seu centro, iremos sempre obter um círculo R 2 = d 2 + r 2 Se a seção for feita passando pelo centro da esfera (d = 0) o círculo obtido terá o mesmo raio da esfera e será denominado CÍRCULO MÁXIMO DA ESFERA. Área da esfera: A = 4 R 2 Volume da esfera : V = 4 3 π R 3 Ex.: Calcule a área do círculo determinado por uma secção esférica feita a 5 cm do centro de uma esfera de raio 13cm.

11 1) Se uma esfera tem 12 cm de diâmetro, qual é a área de sua superfície e qual é o seu volume? 2) Calcule o volume de uma esfera, sabendo que a área de sua superfície é 576 cm 2. 3) O raio de uma esfera mede 4 cm. Um plano que seciona essa esfera determina nela um círculo com raio de medida 1 cm. Determine a distância do plano ao centro da esfera. 4) Um plano intersecta uma esfera determinando uma seção de área 36 cm 2. Sabendo que a área da superfície dessa esfera é 400 cm 2, determine a distância do centro da esfera ao plano. 5) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm 2. 6) Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 mm de raio. O custo de cada mm 2 desse banho foi R$ 0,05. Qual foi o custo total? Use = 3,14. 7) Afigura mostra um reservatório industrial de aço usado para armazenamento de cereais, conhecido como silo. Ele é formado por um cilindro circular reto, com 8 m de altura e raio interno da base 2 m, encimado por uma sem esfera. Usando = 3,1, responda: a) Quantos metros quadrados de aço são gastos na confecção desse silo? b) Quantos metros cúbicos de cereais o silo pode armazenar? 8) (UFO-MG) Uma casquinha de sorvete é um cone de 10cm de altura e 4cm de diâmetro na base. Duas bolas esféricas de sorvetes, também de 4cmde diâmetro, são colocadas na casquinha. Se o sorvete derreter na casquinha: a) O sorvete encherá completamente a casquinha, sem transbordar. b) Transbordarão 8π cm 3 de sorvete. c) Faltarão 8π cm3 de sorvete para encher completamente a casquinha. d) Transbordarão 6π cm 3 sorvete. e) Faltarão 6π cm 3 de sorvete para encher completamente a casquinha 9) (UFRGS) São fundidas 300 esferas com 20mm de diâmetro para fabricar cilindros circulares retos com 20mm de diâmetro e 200mm de altura. Quantos cilindros serão fabricados? 10) (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas com 3cm de raio cada, conforme a figura. Qual a quantidade total de material utilizado para fabricar a embalagem, incluindo a tampa?

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