TURMAS:11.ºA/11.ºB. e é perpendicular à reta definida pela condição x 2 z 0.

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Fernanda Alvarenga Cunha
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1 FICHA DE TRABALHO N.º 3 (GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO) TURMAS:11.ºA/11.ºB 2017/2018 (JANEIRO DE 2018) No âmbito da Diferenciação Pedagógica (conjunto de exercícios com diferentes níveis de dificuldade: nível I (fácil); nível II (médio) e nível III (Difícil) - Matemática A Nível I 1. Determine uma equação cartesiana do plano que passa no ponto A2, 4, 8 e é perpendicular à reta definida pela condição x 2 z Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere a família dos planos definidos por: kx y 2 z 3 0, e a reta s de equação vetorial ( x, y, z) ( 1,3, 4) k(3,1, 2), Qual é o valor de k para o qual um dos planos desta família seja perpendicular à reta s? (A) 3 (B) 1 (C) 1 (D) 3 3. Fixado um referencial ortonormado do espaço considere o plano de equação: e o ponto A 3, 6,1. x 3y 2z Determine uma equação vetorial da reta s que passa em A e é perpendicular a Determine equações paramétricas da reta t que passa em A e é paralela a. Nível II 1. Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere as retas r e t definidas por: r : ( x, y, z) (2, 1,0) k(3, 1,2), x 3 6k t : y 1 2k, z 4k 1.1. Mostre que as retas r e t são paralelas Escreva uma equação cartesiana do plano π que contém as retas r e t. Página 1 de 5

2 2. Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os planos e definidos pelas seguintes equações: : x y z 2 0 e o ponto A de coordenadas 4,0, Mostre que o ponto A pertence a. :3y 2z Considere a superfície esférica S de centro no ponto A e tangente ao plano. a) Determine uma equação cartesiana de S. b) A interseção de S com é uma circunferência. Determine a área do círculo limitado por essa circunferência. 3. Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere a reta r definida pela equação vetorial: r: (x, y, z) = (1,0,3) + λ(2, 4, 1), λ IR e o plano definido pela equação: : 2x y 4z Prove que a reta r não é paralela ao plano Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano. 4. Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere o ponto A2, 4, 1 e o plano definido pela equação x 3y z Determine uma equação vetorial do plano Determine uma equação cartesiana do plano, paralelo ao plano e que passa pelo ponto A Seja B o ponto de interseção do plano com a reta t definida por: t : x 2 z 1 Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB]. Página 2 de 5

5. Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os seguintes pontos: A 2,1, 0, B2,1, 1 e C 4, 0,1 5.1. Mostre que o plano ABC pode ser definido pela equação x 10y 4z 8 0. 5.2. Determine uma equação da superfície esférica de diâmetro [BC].

3 5. Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os seguintes pontos: A 2,1, 0, B2,1, 1 e C 4, 0, Mostre que o plano ABC pode ser definido pela equação x 10y 4z Determine uma equação da superfície esférica de diâmetro [BC] Escreva equações paramétricas da reta t, paralela à reta AC e que passa pelo ponto B. Nível III 1. Considere, num referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular [ABCD]. a base da pirâmide [ABCD] está contida no plano de equação: 2x + y z + 4 = 0. O vértice V tem cota positiva;. O vértice A pertence ao eixo Ox;. O vértice C pertence ao eixo Oz Determina as coordenadas de A e C Suponha que a altura da pirâmide é 3 6. a) Calcula o volume da pirâmide; b) Determina uma equação vetorial do plano ACV 2. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução. o vértice V tem coordenadas (4, 2, 3); o plano da base do cone, α, é definido pela equação x + z = 3; C é o centro da base do cone Escreva um sistema de equações paramétricas do plano α Escreva uma equação cartesiana do plano paralelo a α e que passa no vértice V. Página 3 de 5

2.3. Determine o volume do cone, sabendo que o raio da base é 1. 3. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF].

4 2.3. Determine o volume do cone, sabendo que o raio da base é Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF]. o vértice B tem coordenadas (4, 0, 4) o vértice E tem coordenadas (0, 4, 4) o vértice F pertence ao plano xoy o vértice A tem coordenadas (4, 4, 8) Determine uma equação cartesiana do plano ABC Verifique que a reta r de equações é perpendicular ao plano ABC. x = 4 + k { y = 4 k, k R z = 4 + k 3.3. Calcule o ponto de interseção da reta r com o plano ABC Considere a superfície esférica à qual pertencem todos os vértices do octaedro. Seja P um ponto pertencente a essa superfície esférica de coordenadas (a, 6, 3), a ]4, 8[. Determine o valor de a. FIM Soluções: Nível I 1. y + 4 = 0 2. k = (x, y, z) = ( 3, 6, 1) + k( 1, 3, 2), k IR 3.2. x 3 y 6 2k, z 1 3k Página 4 de 5

5 Nível II 1.1. Ao cuidado do aluno y + z + 2 = Ao cuidado do aluno 2.2. a) (x + 4) 2 + y 2 + (z + 6) 2 = 13 b) 13π u. a Ao cuidado do aluno 3.2. I(5, -8, 5) 4.1. (x, y, z) = (6,0,0) + λ(0, 2,6) + μ(6,2,0), λ, μ IR 4.2. x 3y z + 13 = y + 2z = x + 10y + 4z 8 = (x 3) 2 + (y 1 2 )2 + z 2 = 9 4 x 2 6k 5.3. y 1 k, z 1 k Nível III 1.1. A(-2, 0, 0); C(0, 0, 4) 1.2. a) V = 10 6 u. v. b) (x, y, z) = ( 2, 0, 0) + λ(2, 0, 4) + μ( 7, 3, 1), λ, μ IR 2.1. x 3 3 y z 3, IR 2.2. x + z 7 = V = 2π 2 u. v x + y z + 8 = Ao cuidado do aluno 3.3. P( 16, 8, 16 ) a = Página 5 de 5

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