2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

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1 18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância entre o ponto e a origem. - 0 Isto é, corresponde a distância do ponto ao ponto 0. Se os números reais e estão associados aos pontos X e Y na reta real, ou seja, são as coordenadas de X e Y, então corresponde à distância do ponto X ao ponto Y. X Y Esta interpretação como distância será de grande utilidade para que se possa energar intuitivamente o significado de algumas questões envolvendo módulo.

2 19 Observações 1) Temos da definição que 0, R. 2) = - 3) Decorre também da definição que é o maior dos números e indicado como = ma {, }. Portanto, e, R., o que é, o que equivale a 4) É importante lembrar que o símbolo a, a 0, é definido como sendo o único número não negativo tal que 2 = a. Da definição de raiz quadrada, temos 2 =. De fato, 2 =, 0 2 = 2 ( )( + ) = 0 =, neste caso, 0 =, neste caso, - 0, ou seja, 0 2 = = Notemos a diferença deste fato com o cálculo das raízes da equação 2 = a que são = a e = a. 2 2 Por eemplo, 9 = 3 =3 e 9 = ( 3) = 3. Por outro lado, 2 2 = 9 = 9 = 3 = ± 3. Eemplo Vamos resolver as seguintes equações: 1) = 5 Temos que 2 + 1= 5 ou 2 + 1= 5 e, portanto, = 2 ou = 3 e o conjunto solução da equação é S = { 3, 2 }.

3 20 2) = 3 Não eiste pertencente a R tal que < 0, logo o conjunto-solução da equação é o vazio, S =. 3) 0 = ε, com ε > 0 Temos que = ε ou = ε, o que equivale a 0 0 = 0 + ε ou = 0 ε. Usando a interpretação geométrica, 0 = ε significa que o número (ou o ponto a ele associado no eio real) está a uma distância ε de 0. o - ε o o + ε Consideremos agora algumas inequações e suas resoluções. Eemplos 1) < 3 Da interpretação geométrica de temos que a distância de à origem deve ser menor que Assim, 3< < 3. Chegamos à mesma conclusão usando o fato que = ma {, } < 3. Logo, < 3 e < 3, o que equivale a 3< < 3.

4 21 2) > 4 Ainda usando a interpretação geométrica temos que a distância de à origem deve ser maior que Assim, < 4 ou > 4. Usando o fato que = ma {, } > 4, temos >4 ou > 4, ou seja, < 4 ou > 4. A interpretação que demos para os eemplos anteriores é geral, conforme mostram as proposições seguintes. Proposição 2.1. Dados a R, a > 0 e R; < a a < < a 1) Mostraremos que < a a < < a. Usando que = ma {, }, temos que < a > a ( I ) < a < a ( II ) De ( I ) e ( II ) concluímos a < < a 2) Mostraremos que a < < a < a. i) Se 0 então =. Por hipótese < a, logo < a.

5 22 ii) Se < 0 então =. Por hipótese a <, ou seja, < a. Assim, < a. Observação Na hipótese da Proposição 2.1. temos a > 0. Se a 0 temos uma inequação sem solução < a 0. Proposição 2.2. Dados a R, a > 0 e R ; > a < a ou > a 1) Mostraremos que > a < a ou > a. i) Se 0 então = e como > a, temos > a. ii) Se < 0 então, = > a, isto é, > a, ou seja, < a. 2) Mostraremos que < a ou > a > a. Usando que = ma {, }, temos que a < > a ou a < > a Observação Na hipótese da Proposição 2.2. temos a > 0. Se a < 0, todo inequação > a e se a = 0, todo R * é solução da inequação > 0 R é solução da

6 23 Eemplos Vamos resolver as seguintes inequações: 1) 2 5 < < 3 3< 2 5< 3 2 < 2 < 8 1< < 4. 2) ou ou ou ) 0 < ε, ε > 0 < ε ε < < ε ε < < + ε A interpretação geométrica nos diz que que a distância de a 0 é menor que ε, logo deve estar entre 0 ε e 0 + ε, ou seja, ] 0 ε, 0 + ε[. o - ε o o + ε 4) 0 > ε, ε > 0 > ε < ε ou > ε < ε ou > + ε A interpretação geométrica nos diz que que a distância de a 0 é maior que ε, logo deve estar antes de 0 ε ou depois de 0 + ε, ou seja, ], ε[ ] + ε, + [ 0 0 o - ε o o + ε

7 24 Proposição 2.3. Dados, R, temos que. =.. Temos três casos a considerar. i) Se 0 e 0, temos. 0, portanto,. =. =.. ii) Se < 0 e < 0, temos. > 0, e portanto,. =. = ( ).( ) =.. iii) Se 0 e < 0, temos. 0, e portanto,. = (. ) =.( ) =.. Observação Se já são conhecidas as propriedades das raízes podemos demonstrar, mais diretamente, como a seguir: = (. ) =. =. =. Proposição 2.4. Dados, R, 0, temos que =. Usando o fato que 1 1 =, (que pode ser facilmente demonstrado separando-se em dois casos: > 0 e < 0) e a Proposição 2.3. temos: =. 1 = 1 = 1 =. Proposição 2.5. (Desigualdade Triangular). Dados, R, temos que + +.

8 25 Temos três casos a considerar. i) Se 0 e 0 temos + 0 e, portanto, + = + = + ii) Se < 0 e < 0 então + <0, portanto, iii) Se 0 e < 0, temos + = ( + ) = = + < =, = e + 0 ou + < 0. Daí, e se + 0, então + = + < + ( ) = + se + <0, então + = ( + ) = + ( ) + Observação A desigualdade triangular tem esse nome devido à sua interpretação geométrica no plano: Dado o triângulo ABC e considerando AB =, AC =, temos que BC < +. A igualdade ocorre quando os pontos A, B e C são colineares. EXERCÍCIOS 1) Resolva:

9 26 a) + 5 = 8 b) c) d) > 4 e) ) Prove que para todo, R, valem as seguintes relações: a) 1 1 =, 0 b) + c)

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