MATEMÁTICA. Prova resolvida. Material de uso exclusivo dos alunos do Universitário

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2 Prova de Matemática - UFRGS/00 0. Durante os jogos Pan-Americanos de Santo Domingo, os rasileiros perderam o ouro para os cuanos por 7 centésimos de segundo nas provas de remo. 0. O gráfico aaixo representa o valor de um dólar em reais em diferentes datas do ano de 00. Dentre as alternativas, o valor mais próximo desse tempo, medido em horas, é, ,. 0 -., (D), (E), As informações do quadro aaixo foram pulicadas na edição 85 da revista Veja, de de agosto de 00. O Brasil tem uma dívida de 85 ilhões de dólares e paga 50 ilhões de dólares de juros por ano. Os Estados Unidos têm uma dívida de 6,7 trilhões de dólares e pagam 70 ilhões de dólares de juros por ano. Segundo as informações do quadro, comparando as taxas de juros anuais pagas pelo Brasil e pelos Estados Unidos, conclui-se que a taxa de juros anuais rasileira é A partir desses dados, pode-se afirmar que, no primeiro semestre de 00, o real, em relação ao dólar, desvalorizou 0,66. desvalorizou mais de 0%. manteve mais de 0%. (D) valorizou menos de 0%. (E) valorizou mais de 0%. 05. Os resultados de uma pesquisa de opinião foram divulgados utilizando um gráfico de setores circulares, como o representado na figura aaixo. menor que a americana. igual à americana. o doro da americana. (D) inferior à americana multiplicada por 5. (E) superior à americana multiplicada por O salário ruto de uma pessoa sofre um desconto de 5%. Com um novo desconto de % sore /5 do seu salário ruto, o total de descontos sore o salário ruto será de,6%. 6,%.,5%. (D),%. (E) 6,%. Ao setor a estão associadas 5% das respostas, ao setor, 70 respostas e, aos setores c e d, um mesmo número de respostas. Esse número é (D) 50. (E) 900.

3 06. Na figura aaixo, estão representados o círculo de equação x + y, um ponto P qualquer pertencente ao diâmetro AB e a corda do círculo, a qual contém P e é paralela ao eixo das ascissas. Considere a função f que, à ordenada do ponto P, faz corresponder o comprimento da corda acima citada. Dentre os gráficos aaixo, o que pode representar f é 07. O domínio da função real de variável real defini- x + x é o intervalo da por f(x) ( )( ) (, ]. [, ). (, 0). (D) [, ]. (E) [, + ). 08. Na figura aaixo, a reta r é o gráfico da função real de variável real definida por y log (. a x ), onde a e são números reais positivos. O valor de a é 0,.. 0. (D) 0. (E) 0. (D) (E) 09. Analisando os gráficos das funções reais de variável real definidas por f(x) e g(x) x, x representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) g(x) pertencem ao intervalo [0, ].,. [, 5). (D),6. (E) (, 6).

4 9 0. A soma log + log + log log é igual a. 5 0 log 0.. log. (D). (E).. Na figura aaixo está representado o gráfico de um polinômio de grau.. ( + 5 é igual a 6 ( +. 8 (. 8 (. (D) 56 ( +. (E) 56 ( +.. Considere a disposição de números aaixo. O primeiro elemento da quadragésima linha é A soma dos coeficientes desse polinômio é 0,5. 0,75.. (D),5. (E),5.. Saendo-se que i e i são raízes da equação x x x (D) 780. (E) Na figura aaixo, os círculos que se interceptam são tangentes, e as duas retas são tangentes a todos os círculos. Saendo que a área do disco menor é 6 m e a do maior é m, conclui-se que a área do outro disco é (D) (E) + e. + e e e e 8 m. 0 m. m. (D) m. (E) 5 m.

5 6. Na figura a seguir, ABE e BCD são triângulos equiláteros de lados e 6, respectivamente. 8. Na figura aaixo, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular. A área do quadrilátero ACDE é (D) 9. (E) Os ailônios utilizavam a fórmula ( a + c)( + d) A para determinar aproximadamente a área de um quadrilátero com lados con- secutivos de medidas a,, c, d. Para o quadrilátero da figura a seguir, a diferença entre o valor aproximado da área otido utilizando-se a fórmula dos ailônicos e o valor exato da área é Se a aresta desse tetraedro mede 0, então a área do quadrilátero ABCD é (D) 50. (E) Na figura aaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede 5 cm. 6 cm. 8 cm. (D) 9 cm. (E) 0 cm A opção que apresenta todas as possiilidades do número de pontos de interseção de um círculo com um retângulo é. (D). (E). 0,,, ou 8. 0,,, 6 ou 8. 0,,, 5 ou 7. (D) 0,,, 5 ou 7. (E) 0,,,, 5, 6, 7 ou 8. 5

6 . Na figura, BC é paralelo a DE e, na figura, GH é paralelo a IJ. Dentre os desenho aaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de radiano é Então, x e y valem, respectivamente, a e a. a e a. a e a. (D) a e a. (E) a e.. No desenho aaixo, em cada um dos vértices do cuo está centrada uma esfera cuja medida do diâmetro é igual à medida da aresta do cuo. (D) A razão entre o volume da porção do cuo ocupado pelas esferas e o volume do cuo é (E) π π. (D). 6 π π. (E). 5 π. 6

7 . Dentre os gráficos aaixo, o que pode representar a função y (cos x) + (sen x) é 5. Na figura aaixo, os ângulos u e v medem, respectivamente, e, OP e OQ π π Então, (PQ) é (D) +. (E) Um faricante produziu três lotes de suco de uva. Dois dos lotes contêm as vitaminas A e C nas concentrações indicadas na taela aaixo. LOTE VITAMINA A POR LITRO VITAMINA C POR LITRO 5 mg 5 mg (D) (E) mg mg O suco do terceiro lote não contém vitaminas. O faricante deseja misturar porções convenientes desses três lotes de maneira que o suco otido contenha as concentrações de mg de vitamina A e mg de vitamina C por litro. Essa mistura conterá os três lotes em quantidades iguais. dois lotes em quantidades iguais. dois lotes em quantidades iguais e o outro numa quantidade maior. (D) um dos lotes em quantidade igual á soma das quantidades dos outros dois. (E) um dos lotes em quantidade superior à soma das quantidades dos outros dois. 7

8 7. O sistema linear ( k + ) x + y z 0 x + ky + z 0 x + z ( k ) é possível e determinado, exceto para um número finito de valores de k. A soma de todos esses valores de k é.. 0. (D). (E). 8. Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de arras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é (D) 888. (E) Deseja-se construir um triângulo com os vértices sore os vértices de um octógono regular. A proailidade de que sejam usados somente diagonais e nenhum dos lados do octógno é 7 0 (D) 7 (E) 0. Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números distintos de a 0, duas fichas são distriuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver receido fichas com dois números consecutivos. A proailidade de ganhar o prêmio neste jogo é de %. 6%. 0%. (D) 5%. (E) %. Respostas Comentadas Questão 0 Letra A (média) 7, Questão 0 - Letra E (fácil) > Questão 0 Letra C (média) ,6% 5 Questão 0 Letra E (média),5,87, ( % ) Questão 05 Letra D (fácil) 5% 70 5% c (regra de três) c 50 Questão 06 Letra B (média) variação de OP está entre e + variação da corda está entre 0 e o gráfico é de comportamento único. 8

9 Questão 07 Letra D (fácil) ( x)( + x) 0 logo x [,] Questão 08 Letra E (muito difícil) y log (. a x ) y log + xlog a como a reta passa pelos pontos (0, ) e (,) sua equação é y x portanto, log e log a, temos 0 e a 0 a/ 0 / 0 0 Questão 09 Letra C (difícil) resolução: construa o gráfico de f(x) atriuindo para x os valores de 0 a 5 e faça o mesmo com g(x). Você perceerá que um dos pontos de intersecção é (, ) e o outro tem acissa entre e 5. Logo temos o intervalo [; 5). Questão 0 - Letra B (difícil) 9 log + log + log... + log log log 0 log 0 Questão Letra B (difícil) P(x) a(x + )(x ) P(x) a(x - x x + 8) 8a, logo a / P(x). (x x x + 8) Soma dos coeficientes igual a 0,75 Questão Letra C (difícil) i e i são raízes logo x + é fator x x x dividido por x + dá quociente x x as raízes de x x são ± 5. Questão Letra B (média) [ ] ( ( + ( + 7 [ i] ( + 7 8i ( + 8i ( + 8 ( Questão Letra E (difícil) Oserve a seqüência (,,, 7,...) ela pode ser escrita como (, +, ++, +++, , ) percea que o último termo vale 78. Questão 5 Letra D (fácil) A 6 A Questão 6 Letra E (média) S S S S ABE BCD BED ACDE sen Questão 7 Letra C (média) ( 5 + 8) S Trapézio 6 9 Traçando-se a altura do trapézio a partir do vértice à esquerda da ase menor de medida 5, pode-se construir um triângulo retângulo de catetos e cuja hipotenusa tamém irá medir 5. S ( 5 + 8)( + 5) 9 Bailôni cos 7 Diferença 6 7 9

10 Questão 8 Letra A (média) Os lados do quadrilátero ABCD são ases médias dos triângulos das faces do tetraedro, portanto medem 5 cada, e formam um quadrado. Logo, S 5 5. Questão 9 Letra B (fácil) A diagonal AC tem a mesma medida da diagonal OB, portanto AC OB Raio 6. Questão 0 Letra E (difícil) Desenhando um retângulo e um círculo nas diversas posições possíveis, chega-se à alternativa correta. Acompanhe os exemplos aaixo. Questão Letra A (média) Pelo Teorema de Tales, vem a x a y y x a a Questão Letra A (difícil) A porção do cuo ocupada por cada uma das esferas corresponde a /8 de esfera. Como são 8 esferas, o somatório dos volumes das porções ocupadas equivale a uma esfera inteira. V πr a Porção Ocupada V Cuo πr V V Esfera Cuo πr ( R) 8R 6 π Questão Letra B (média) Um arco que mede radiano tem medida igual à medida do raio, o que nos leva à seguinte regra de três: πr 60 R x x 57 Questão Letra C (média) Pela primeira relação fundamental da trigonometria, (cos x) + (sen x). Logo, y (função constante). O gráfico é uma reta horizontal. Questão 5 Letra A (muito difícil) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 PQ + ( ) ( 6 ) PQ + 6 ( PQ) 5 ( PQ) 5 + ( PQ) + 0

11 Questão 6 Letra D (muito difícil) Vitamina A. Concentração mg/l 5.V + V + 0 V V V V + V + V Vitamina C Concentração mg/l 5.V + V + 0 V V 5 V V + V + V Questão 0 Letra C (média) Total de possiilidades de receimento de duas fichas C0 5 Sorteios seqüenciais (,,..., 9 0) 9 9 P 5 ( A) 0% A solução é a terna (V. V. V ) que vamos parametrizar fazendo V t, otendo então V 5t e V t. Oserve que V V + V. Questão 7 Letra A (média) A partir da discussão de sistemas lineares por intermédio da regra de Cramer, tem-se D 0. ( k + ) k 0 0 ( k ) k + k k 0 S ( Girard) a S Questão 8 Letra D (média) Linha: L Espaço: E Temos então LELELELEL. Pelo princípio fundamental da contagem, vem: Questão 9 Letra D (difícil) Total de triângulos C 8 56 Triângulos que utilizam dois lados consecutivos do octógono 8 Triângulos que utilizam um lado e duas diagonais ( a partir de cada lado) 8. Triângulos indesejáveis 0 Triângulos desejáveis P ( A)

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