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1 Questão 01 PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 o ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 011. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA (FUVEST010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? 01) 551 0) 55 03) ) ) 555 Número de casos possíveis: 5 4 = 65. Número de casos favoráveis a que o algarismo 1 apareça seguido imediatamente do número 3: I) UM C D U N o de casos possíveis ,, 4, = 4 1 3, 3, 4 ou 5 1,, 3, 4 ou = 0 II) UM C D N o de casos possíveis 1,, 3, 4 ou ,, 3, 4 ou = 5 III) UM C D U N o de casos possíveis ,, 4, = 4, 3, 4 ou 5 1,, 3, 4 ou = 0 Num total de 74 casos favoráveis. Logo Maria pode escolher a sua senha de (65 74) = 551 RESPOSTA: alternativa 01. Questão 0 Na figura ao lado, ABE e CDM são triângulos equiláteros. A área do polígono ABCDE é igual a 7 3 cm². Calcule o perímetro, em centímetros, desse polígono 01) 6 ( 3 + 3) 0) ( 3 3) 04) ) ) Os triângulos ABE e CDM são congruentes. O retângulo BCDE tem base com medida igual à medida do lado do triângulo ABE e altura igual à altura do mesmo triângulo. A área do polígono ABCDE é dada por: l 3 l 3 3l 3 SABE + SBCDE = + l = 7 3 = 7 3 3l = 108 l = 36 l = BC = ED = = 3 3. Logo o perímetro do polígono ABCDE é = = 6( 3 + 3) RESPOSTA: Alternativa AB = AE = CD = 6 e (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

2 Questão 03. (FUVEST010) Tendo em vista as aproximações log = 0,3 e log 3 = 0,48 então o maior número inteiro n, satisfazendo 10 n < 1 418, é igual a 01) 44 0) ) ) ) n < n < 418 log10 n < log1 418 n log10 < 418 log1 ( 0,3 + 0,48) n < 418 1,08 n < 451,44 n < 418 ( log + log3) Como n é o maior número inteiro menor que 451,44 que satisfaz à desigualdade 10 n < 1 418, n = 451 RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 04. Os pontos A = (p q, q + ) e B = (p 3, p q + 1) são simétricos em relação à 1 a bissetriz. A reta r passa no ponto ( 1, 10) e forma um ângulo de 45 com a direção positiva do eixo dos x. Determine a interseção das retas AB e r. 01) ( 1, 8) 0) (1, 6) 03) ( 3, 6) 04) (, 9) 05) (, 8) p q = p q + 1 q = 1 q = 1 A = (6,1) e B = (1, 6) q + = p 3 p 3 = 1+ p = Reta r: y 10 = x + 1 y = x Reta AB: y 1= ( x 6) y 1= ( x 6) y = x + 7 y = x + 7 y = x + 11 y = 18 x = Interseção das retas: y = 9 (, 9) RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 05. (FUVEST011) Sejam f(x) = x 9 e g(x) = x + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a 01) 4 0) 5 03) 6 04) 7 05) 8 5 ± 7 x + 10x 3 = x + 5x + 3 x = ( ) f (g(x)) = x + 5x x + 5x 6 = 0 x = 1 ou x = 6 g( x) = x + 5x ± = 7 x = RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

3 Questão 06. Uma circunferência cujo centro C(m, n) pertence ao segundo quadrante é tangente aos eixos coordenados. Sabe-se que a distância do centro C à reta que passa nos pontos A = (4, 0) e B = (0, - ) é igual a 5. A equação dessa circunferência é: 01) x + y + x y 4 = 0 04) x + y 6x + 6y = 0 0) x + y + x + y 4 = 0 05) x + y + 8x 8y + 6 = 0 03) x + y + 4x 4y + 4 = 0 =. 4 Reta AB: y ( x 4) 4y x + 8 = 0 C(m, n) pertence ao segundo quadrante, m < 0 e n > 0. Sendo a circunferência tangente aos eixos coordenados m = n 4m m = 5 8 6m = 0 8 6m = 0 14 ou 8 6m = 0 m = ou m = (não satisfaz). 3 Sendo m =, então n = e o raio da circunferência é. Equação da circunferência: (x + ) + (y ) = 4 x + 4x y 4x + 4 = 4 x + y + 4x 4x + 4 = 0. RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 07. Quatro rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as três moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a 01) 10 0) ) ) ) 70 R1 R M1 M M3 R3 R4 Como as moças devem permancer sempre juntas, o número de formas diferentes das sete pessoas sentarem é 5! 3! = 10 6 = 70. RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 3

4 Questão 08. Considere um quadrado ABCD de lado l = 4cm com centro no segundo quadrante tendo dois lados contidos nos eixos coordenados. Este quadrado sofre uma reflexão em relação ao eixo Oy, em seguida uma translação de vetor v = (0, ) e por fim uma homotetia de centro M = (6, 0) e razão k =. O transformado final do quadrado ABCD é um quadrado de: 01) lado 4cm e centro (10,0). 0) lado 8cm e centro (14,0). 03) lado 8cm e centro (10,0). 04) lado 8cm e centro (, 0). 05) lado 4cm e centro (14,0). Como o quadrado ABCD tem lado l = 4cm, centro no segundo quadrante e dois lados contidos nos eixos coordenados, o seu centro é o ponto (,), conforme a figura acima. Como a questão nos pede o centro do transformado final do quadrado ABCD, é necessário apenas que as transformações sejam aplicadas ao ponto (,), centro de ABCD.. Aplicando a este ponto uma reflexão em relação ao eixo Oy, o seu simétrico será o ponto (,), o seu transformado será o ponto ( 0, ) = (, 0) Aplicando uma translação de vetor v = (0, ) ao ponto (,) +. Finalmente a este ponto aplicando uma homotetia de centro M = (6, 0) e razão k =, o transformado do ponto x' = kx + xc( 1 k) x' = 4 + 6(1 + ) (, 0) terá coordenadas: ( ) x' = 14. y' = ky + yc 1 k y' = 0 + 0(1 + ) y' = 0 RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 09. (Ruy Barbosa) Num determinado sorteio, o número n sorteado tinha quatro algarismos distintos e não nulos (x, y, z e w). A pessoa que possuísse o número sorteado só poderia receber o prêmio, que era em dólar, se soubesse calcular o valor desse prêmio. Sabendo que: I. o valor do prêmio era igual à soma de todos os números de 4 algarismos que se obtém permutando-se os algarismos de n (x, y, z e w) ; II. S = x + y + z + w (Soma dos algarismos de n). Então, o valor do prêmio em função de S é igual a: 01) 1111S 0) 3030S 03) 3333S 04) 6066S 05) 6666S (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 4

5 Com quatro algarismos distintos e não nulos, podem ser formados 4! = 4 números diferentes. Ter-se-á 6 números com o x, por exemplo, ocupando a ordem das unidades de milhar, outros 6 na ordem das centenas, outros 6 na ordem das dezenas e outros 6 na ordem das unidades. Isto acontecerá com cada algarismo Como são quatro algarismos então a soma será: 6 S = 6S 1111 = [ ] S RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 10. A produção de grãos, de 007 a 010, de certa região está indicada na tabela ao lado. Suponha que a produção até 00 permaneça crescente do modo indicado na tabela. Qual será o total, em toneladas, de grãos produzidos de 01 até 00? 01) 10 0) 1,5 03) 14,5 04) 18 05) 130,5 Ano Produção em toneladas , ,5 A sequência 10; 10,5; 11; 11,5;... mostra que a produção cresce segundo uma P.A. onde o primeiro termo é 10 e a razão é 0.5. A produção de 01 será o 6 o termo dessa P.A. e a de 00 será o 14 o. (a1 + a n ) n Em toda P.A. a n = a1 + (n 1) r e Sn =. a 6 = 10 + ( 6 1) 0,5 = 10 +,5 = 1, 5 a 14 = 10 + ( 14 1) 0,5 = ,5 = 16, 5 Considerando-se todos os elementos da P.A. do 6 o ao 14 o temos uma nova P.A. com 9 termos, na qual o primeiro (1,5 + 16,5) 9 termo é 1,5 e o último, 16,5. Assim: S 9 = = 9 4,5 = 130,5. RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 11. Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, o algarismo 1 é escrito exatamente x vezes. Calcule x. 01) 416 0) 44 03) 43 04) ) 448 De 1 a 9 Apenas 1 vez. De 10 a 19 Apenas 11 vezes. De 0 a 99 Apenas 8 vezes. De 100 a 199 Apenas ( ) = 10 vezes. De 00 a 999 Apenas (8 0) = 160 vezes. De 1000 a 1100 Apenas (101+1) = 1 vezes. De 1101 a 1111 Apenas ( ) = 6 vezes. TOTAL DE VEZES: (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 5

6 Questão 1. Uma dívida será paga em 0 prestações mensais. Sabe-se que cada prestação é igual a anterior acrescida de 10%, sendo a primeira igual a R$ 400,00. Determine o total das prestações, em reais, pagas até a liquidação da dívida. (Considere que 1,1 0 = 6, 73). 01) 9.1 0) ).90 04) ) 0.44 Pelas informações dadas, conclui-se que a sequência formada pelas prestações é uma P.G. de 0 termos, com a 1 = R$ 400,00 e razão q = (1+0,1) =1,1. n a1( q 1) A soma dos termos de uma P.G. finita é: S 0 400( 1,1 1) 400( 6,73 1) Então S = n =. q ,73 0 = = = , 73 =.90. 1,1 1 0,1 0,1 RESPOSTA: Alternativa 03. Questão 13. Um banco contratou 9 funcionários novos para três de suas agencias, sendo que cada uma delas vai receber três destes funcionários. De quantas formas esta distribuição pode ser feita? 01) ) ) ) ) 105 Os 9 funcionários vão disputar as 3 vagas da agência A, os 6 restantes as 3 vagas da agência B e finalmente, os 3 restantes serão lotados na agência C Logo: C9,3 C6,3 C3, 3 = 1 = 84 0 = RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 14. Sobre Análise Combinatória, considere as seguintes afirmativas: I) C 7;0 + C 7;1 + C 7; + C 7;3 + C 7;4 + C 7;5 + C 7;6 + C 7;7 = 18 II) C 13;4 + C 13;8 + C 14;6 = C 15;6 III) Se num hospital trabalham 6 cardiologistas e 5 anestesistas, então o número de equipes médicas que podemos formar com 3 cardiologistas e anestesistas é 30. Podemos afirmar que: 01) apenas a afirmativa I é falsa. 0) apenas a afirmativa II é falsa. 03) apenas a afirmativa III é falsa. 04) apenas uma afirmativa é verdadeira. 05) todas as afirmativas são verdadeiras (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 6

7 I) VERDADEIRA. C 7;0 + C 7;1 + C 7; + C 7;3 + C 7;4 + C 7;5 + C 7;6 + C 7;7 = 7 = 18. II) VERDADEIRA. a) Como C p; m = C p;n, se p = m + n, C 13;4 + C 13;8 + C 14;6 = C 13;9 + C 13;8 + C 14;6 b) Aplicando a Relação de Stifel às duas primeiras parcelas: C 14;9 +C 14;6 c) Aplicando à segunda parcela a relação aplicada no item a: C 14;9 +C 14;6 = C 14;9 +C 14;8 d) Novamente pela Relação de Stifel: C 14;9 +C 14;8 = C 15;6 III) FALSA C,3 C5, = = = RESPOSTA: Alternativa 03. Questão O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 4, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 1 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue as afirmativas que se seguem. I) Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, da América Central e do Caribe. II) Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180. III) Considerando-se que, no judô, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66. Podemos afirmar que: 01) apenas a afirmativa I é verdadeira. 0) apenas a afirmativa II é verdadeira. 03) apenas a afirmativa III é verdadeira. 04) apenas uma afirmativa é falsa. 05) todas as afirmativas são falsas (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 7

8 I) FALSA C1,3 C8, C19, = = II) FALSA. Os comitês com 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central pode conter: 3 países, 4 países ou 5 países dessa. Então o número de comissões é: C8,5 + C8,4 C34,1 + C8,3 C34, = = = III) VERDADEIRA. C, 1 11 = 1 = 66 RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 8

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