Francisco Ramos. 100 Problemas Resolvidos de Matemática

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1 Francisco Ramos 100 Problemas Resolvidos de Matemática

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3 SUMÁRIO Questões de vestibulares... 1 Matrizes e Determinantes Geometria Plana e Espacial Aritmética... 61

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5 QUESTÕES DE VESTIBULARES 01. (ITA 2007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo Então, log k (xyz) é igua a Aplicando algumas propriedades de logaritmo, obtemos: log k (xy) = 49 logkx + logky = 49 log x/ z = 44 log x log z = 44 k ( ) k k DICA Como os logaritmos são primos positivos, então podemos concluir que log k x=47, log k y=2, log k z=3 Por que? Pois, se a soma de dois números primos é ímpar, então um deles é 2 e o outro 47. CONCLUINDO: log k (xyz) = log k x + log k y + log k z = 52 (RESPOSTA)

6 2 100 Problemas Resolvidos de Matemática 02. (PUC 2001) No saguão de um teatro há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre? Entre 4 a 7 lâmpadas do total ( 10 ), temos: C 10,4 + C 10,5 +C 10,6 +C 10,7 = 10! 10! 10! 10! !! 55!! 64!! 73!! = 792 (Resposta) 03. binômio (2x + y) é igual a 243, então o número n é: Substituindo se x e y por 1, pois é assim que obtemos a soma dos (2x + y) = 243 ( ) = = 3 n = 5 (RESPOSTA) 04. (UFCE) O mapa de uma cidade é formado por seis bairros distintos. Deseja se pintar esse mapa com as cores vermelho, azul e verde, do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois azuis e os demais verdes. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito?

7 Questões de vestibulares 3 ( P ) 6 = = 60( Resposta) 23!! 23, 6! 05. (ITA 2007) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x² 63x + c, numa diferença de dois cubos (x + a)³ (x + b)³. Para que o polinômio 9x² 63x + c = (x + a)³ (x + b)³ Devemos desenvolvê lo da seguinte forma: 9x² - 63x + C = (3a - 3b)x² + (3a² - 3b²)x + (a³ - b³) a b c 3a 3b= a 3b = a b = c a b= a b = a b = c Encontrando a, b e c nas equações: a = 3 + b (isolando a na primeira equação)e, substituindo na segunda equação: (3 + b)² b² = b + b² b² = 21 6b = 30 b = - 5 Logo a = 3 + b a = 3 + ( 5) a = 3 5 a = 2 Encontrando c = a³ b³ c = ( 2)³ ( 5)³ c = c = (RESPOSTA)

8 4 100 Problemas Resolvidos de Matemática 06. (ITA 2007) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Qual o resultado obtido. Sendo 1 ou 2 o algarismo das centenas, obtemos: 2.( ) = 62 números, logo apenas o 7 pode aparecer mais de uma vez. Sendo 3, 4, 5, 6 e 7 como algarismos das centenas, obtemos: = 150 números Finalizando com a soma de = 212 números (RESPOSTA) 07. (PUC 2001) Seja N um número qualquer, inteiro e positivo. Se N é par, divida o por 2; se N é ímpar, multiplique o por 3 e adicione 1 ao resultado. o número 1. Assim, por exemplo, se N = 12, tem se: Ou seja, foram necessárias 9 passagens até obter se o resultado 1. Nessas condições, se N = 11, o número de passagens necessárias para obter se o , então o número de passagens a partir de 11 para obter 14 (RESPOSTA). 08. (ITA 2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

9 Questões de vestibulares 5 9! C 95, = 5! 9 5! 9! 54!! ( ) = = ! 54!! = 126 comissões, porém não serve aquela constituída pelos cincos rapazes. Então dará = 125 comissões (RESPOSTA) 09. (FUVEST 2004) O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior a média obtida na primeira rodada? M 1 M t Média de gols da primeira rodada. Média de gols nas duas primeiras rodadas. X Nº de gols da segunda rodada. Obtemos: 15 X Mt = ( ) M + = %., X= 33 X= 18 gols( RESPOSTA) 10. (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é: Subconjuntos de A que são disjuntos de B são subconjuntos de (A B). Como B está contido em A, n(a B) = n(a) n(a B) = n(a) n(b) = 14 6 = 8

10 6 100 Problemas Resolvidos de Matemática O conjunto A B possui subconjuntos, logo: C80, + C81, C86, = = (RESPOSTA) = = 11. (PUC SP) Os pontos A(5,3) e B(5,y), y 5,pertencem a semiplanos opostos em relação à reta bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se: y B >5 (RESPOSTA)

11 Questões de vestibulares (ITA 58) Provar que se uma P.A. é tal que a soma dos seus n primeiros termos é igual a n + 1 vezes a metade do enésimo termo, então r = a 1. S n a n = n+ 1 2 ( ) a a a n 1 + n n n 1 2 = + 2 na + n a = n n 1 a + n a na a a n a n = n ou n =. 1 1 a + ( n 1) r = n a a + rn r = n a rn r = n a1 a1 rn ( 1)= a1 ( n 1) r = a 1 (FOI PROVADO) = ax + b e g(x) = mx + n. Se P =, 4 2, o valor de a + n é: b m

12 8 100 Problemas Resolvidos de Matemática g( 0)= m 0+ n = 4 n = 4 g( 2)= m 2+ n = 0 m= 2 f( 0)= a 0+ b= 3 b= f a b 4 = 4 + = 2 a = 2 Encerrando: a+ n 2+ 4 = b m ( ) = = 1 ( RESPOSTA ) (UNESP 2007) Cássia aplicou o capital de R$ ,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a. m(ao mês). Considerando a aproximação (1,02) 5 = 1,1, Cássia computou o valor aproximado do montante Aplicando na fórmula do montante, temos: M = C. (1 + i) M = 15.OOO,OO. (1,02) 10 M = ,00. [(1,02) 5 ]² M = ,00. (1,1)² M = ,00 (RESPOSTA) 15. (UFPE 2001) Os times A, B e C participam de um torneio. Suponha que as probabilidades de A ganhar e perder de B são respectivamente 0,6 e 0,2, e as probabilidades de A ganhar e perder de C são respectivamente 0,1 e 0,6. Jogando com B e em seguida com C, qual a probabilidade de A empatar os dois jogos? O time A empatando com B e C separadamente:

13 Questões de vestibulares 9 1 0, 6 0, 2 0, 2 B 1 01, 0, 6= 0, 3( C) = ( ) Empatando com ambos: O,2. 0,3 = 0,06 (RESPOSTA) 16. (UFSCAR 2007) Considere a, b e c algarismos que fazem com que a conta a seguir, realizada com números de três algarismos, esteja correta. 4 a b c 7 7 Nas condições dadas, b. c a é igual a: Observando a conta dada, obtemos: 1) 15 b = 7 2) a 1 = 7 5 3) = c Então, a = 3 ; b = 8 e c = 2 Fazendo, b. c a = = 8. 1/8 = 1 (RESPOSTA) 1 i 17. (MACKENZIE 2009) Se Y = 2X, sendo X = + de (X + Y)² é: 1 i e i = 1, o valor 1 i Sabemos que X = + 1 i, então: 1 i i i i X = + i 1+ + i = i 2 = i

14 Problemas Resolvidos de Matemática Fazendo (X + Y)² = (X + 2X)² = (3X)² = 9X² = 9. i² = 9. ( 1) = - 9 (RESPOSTA) 18. (UNESP 2007) Numa certa região, uma operadora telefônica utiliza 8 dígitos para designar seus números de telefones, sendo que o primeiro é sempre 3, o segundo não pode ser zero(0) e o terceiro número é diferente do quarto. Escolhido um número ao acaso, a probabilidade de os quatro últimos algarismos serem distintos entre si é: O sistema numérico decimal tem dez dígitos, pois é este que será utilizado. Escolhendo ao acaso, as chances de os quatro últimos dígitos serem diferentes é: = ,{ então as condições para os quatro primeiros (RESPOSTA) 19. (UFPE 2001) Uma escola deverá distribuir um total de bolas de gude amarelas e boas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receberá? Trata se de M.D.C pelo processo da decomposição em fatores primos.