CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO
|
|
- Fábio Carreira Casado
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção de uma solução numérica para um problema físico através da aplicação de métodos numéricos nem sempre nos dá valores de acordo com o pretendido. A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exacto é designado por erro. Pretende-se dar uma noção aos utilizadores de métodos numéricos, sobre as fontes de erros, para que se possam eliminar, ou pelo menos, controlar o seu valor. Vamos então descrever o processo de determinação da solução de um problema físico, por meio de métodos numéricos. Problema físico Modelo modelagem resolução Solução Matemático Métodos Numéricos modelagem: obtém-se o modelo matemático que descreve o comportamento do problema físico; resolução: obtém-se a solução numérica do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos. Acetato 1-Erros em cálculo numérico
2 1. Fonte e tipo de erros A resolução de um problema físico utilizando um método numérico produz, em geral, uma solução aproximada do problema. A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários factores. Em função da sua origem, podemos considerar os diferentes tipos de erros: erros iniciais do problema (são exteriores ao processo de cálculo) erros inerentes ao modelo matemático erros inerentes aos dados erros associados ao uso de métodos numéricos (ocorrem no processo de cálculo) erros de arredondamento erros de truncatura Problema Físico Modelo Matemático Erros inerentes ao Modelo Erros Dados e Modelo inerentes Parâmetros Erros de aos Dados do Modelo Numérico Truncatura Cálculo Erros de Arredondamento Solução Acetato 2-Erros em cálculo numérico
3 Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece uma representação exacta dos fenómenos reais. Na grande maioria dos casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos da natureza vemo-nos forçados, regra geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema por forma a torná-lo tratável. Os melhores modelos são os que incluem aquelas características do problema real necessárias para reduzir os erros nesta fase a um nível aceitável. Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas equações e relações, também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, aproximadas. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final. Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efectuados manualmente quer obtidos por computador ou numa calculadora, somos conduzidos a utilizar uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é designado por erro de arredondamento. Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico. Existem 2 tipos de erros associados ao uso de métodos numéricos para resolver um problema num computador ou calculadora: os erros de arredondamento e os erros de truncatura. Como consequência da ocorrência destes erros, as soluções numéricas obtidas são, em geral, soluções aproximadas. Para podermos avaliar quão próxima da solução exacta está a solução aproximada calculada é necessário conhecer o seu erro. Acetato 3-Erros em cálculo numérico
4 Definições de erro O conhecimento de uma aproximação para a solução de um problema só tem qualquer interesse se é acompanhada de informação sobre o seu erro. erro Seja x o valor aproximado duma quantidade cujo valor exacto é x. O erro de x, define-se como: x x - x Há vários critérios para avaliar a qualidade de uma aproximação. erro absoluto O erro absoluto do valor aproximado x, define-se como o valor absoluto de x, i.é, x x = x - x erro relativo Se x 0, o erro relativo do valor aproximado x, define-se como r x x x x - x O erro relativo, como expressa o erro como fracção de x, está relacionado com o erro percentual. Ao produto r x 100 expresso em percentagem dá-se o nome de percentagem de erro ou erro percentual. x 2. Erros de Arredondamento Quase todo o cálculo numérico é realizado num computador ou numa calculadora. Como as máquinas têm capacidade finita para guardar informação conseguem apenas representar exactamente um número finito de números reais, cada um com um número fixo de dígitos (algarismos). Sendo o suporte numérico da maioria dos problemas matemáticos o conjunto dos números reais, que é infinito e contínuo, levantam-se algumas questões, sendo duas delas: Como são representados números reais numa máquina? Quais as consequências dessa representação de IR nos resultados obtidos? Acetato 4-Erros em cálculo numérico
5 Iremos responder, de modo sucinto, a estas duas questões. Começaremos por explicar que a representação de números reais numa máquina é feita por arredondamento, e verificaremos, em seguida, que a consequência é a ocorrência dos chamados erros de arredondamento. Arredondamento Para a maioria dos números reais a representação é feita por arredondamento (à excepção de números demasiado grandes ou demasiado pequenos, em valor absoluto, para poderem ser representados na máquina). Definem-se vários tipos de arredondamento. Aqui faremos apenas referência ao mais conhecido, e iremos apresentá-lo através de um exemplo. Exemplo: Consideremos o número = Vamos definir um processo de representação deste número com 3, 4 e 5 algarismos.. Comecemos por escrever = com 3 algarismos eliminando os dígitos a partir do quarto. Sendo o primeiro algarismo eliminado inferior a 5 consideramos 1= 3.14 como a representação, por arredondamento, de com 3 dígitos.. Vamos agora escrever = com 4 algarismos eliminando os dígitos a partir do quinto. Sendo o primeiro algarismo eliminado igual a 5, consideramos 2 = como a representação, por arredondamento, de com 4 dígitos.. Finalmente escrevemos = com 5 algarismos eliminando os dígitos a partir do sexto. Sendo o primeiro algarismo eliminado superior a 5, consideramos 3 = como a representação, por arredondamento, de com 5 dígitos. O procedimento para representar um real com um nº finito de dígitos por arredondamento é o seguinte: ignoram-se os algarismos à direita do da última ordem decimal que se pretende reter; Acetato 5-Erros em cálculo numérico
6 Se o primeiro dígito desprezado é inferior a 5, o número obtido é a representação desse real por arredondamento; Se o primeiro dígito eliminado é superior ou igual a 5 adiciona-se uma unidade na ordem decimal do último dígito conservado para obter a representação desse real por arredondamento. Observe-se, que se um número x é obtido de x por este procedimento (arredondamento), então todos os números de x são significativos. Algarismos significativos Outra maneira de conhecer a precisão de um valor aproximado é ter informação sobre o número de algarismos significativos dessa aproximação, i. é, número de algarismos da esquerda para a direita e a partir do primeiro dígito diferente de zero. Exemplos:. O valor aproximado 3.14 para = tem 3 algarismos significativos;. A aproximação para 1/3 = tem 3 dígitos significativos;. O valor aproximado para e -3 significativos. = tem 3 algarismos Erros de arredondamento A distância entre um número real e uma sua aproximação obtida por arredondamento é chamada erro de arredondamento. Erro absoluto de arredondamento Se x é um valor obtido por arredondamento de x então chama-se erro absoluto de arredondamento a x x. Erro relativo de arredondamento Acetato 6-Erros em cálculo numérico
7 Se x 0 e x é um valor obtido por arredondamento de x então chama-se erro relativo de arredondamento a x - x x. Exemplo: Calculemos os erros (absolutos) de arredondamento das aproximações obtidas para = no exemplo anterior. Tem-se = - = = < = = - = = < = = - = = < = Note-se que em cada um dos casos todos os algarismos do valor aproximado são significativos. Em geral, dizemos que x é o valor aproximado de x, arredondado para k casas decimais correctas sse: k x x - x Mas os erros de arredondamento não ocorrem apenas na representação de dados. Ocorrem também na representação de resultados de operações aritméticas. Isto porque o resultado de uma operação aritmética entre dois números representados com um número fixo de algarismos pode não ser um número com o mesmo número de algarismos. Exemplo: O resultado da divisão de por 9, números que têm no máximo 5 dígitos, é uma dízima infinita. O resultado da divisão arredondado para 5 9 dígitos é Erros de Truncatura Acetato 7-Erros em cálculo numérico
8 Há problemas que não podem ser resolvidos exactamente realizando apenas um número finito de operações aritméticas, mas que podem, ser aproximados por problemas cuja solução é obtida executando uma sequência finita de operações aritméticas. São assim gerados os erros de truncatura. Apresentamos dois exemplos. 1. Cálculo numérico da soma de uma série Seja S a soma de uma série convergente de termo geral a j, S = j 0 a. j Quando aproximamos S por S n = n a j j 0, o erro R n = S - S n é um erro de truncatura. É originado pela substituição do cálculo exacto da soma de uma série, pelo cálculo da soma de n+1 termos dessa série. 2. Cálculo de valores de funções transcendentes Funções racionais (polinómios e quocientes de polinómios) são as únicas cujos valores podem ser calculados usando apenas um número finito de operações aritméticas. Para calcular numericamente valores de uma função transcendente podemos aproximá-la por uma função racional. Aproximação de funções A aproximação de funções é um tema central da análise numérica. A razão disso é a ocorrência de um grande número de problemas matemáticos, envolvendo funções, cuja solução não é possível (ou é muito difícil) determinar por métodos analíticos. São exemplos de tais problemas o cálculo do valor de um integral definido quando se desconhece uma primitiva da função integranda, a determinação de zeros de uma função quando não existe uma fórmula explícita para o fazer, o desenho do gráfico de uma função da qual se conhecem apenas alguns dos seus valores determinados numérica ou experimentalmente,... A estratégia no desenvolvimento de métodos numéricos para resolver estes problemas é baseada na substituição da função dada por uma função aproximante, considerada mais "simples", cujo comportamento é muito semelhante ao da função dada. Acetato 8-Erros em cálculo numérico
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 1998/99 Erros Objectivos: Arredondar um número para n dígitos significativos. Determinar os erros máximos absoluto e relativo
Leia maisCálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante
Cálculo Numérico Aula : Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Computação Numérica - O que é Cálculo Numérico? Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos
Leia maisMétodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros
Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 O que é a Análise Numérica? Ramo da Matemática dedicado ao estudo e desenvolvimento de métodos (métodos
Leia maisAs fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:
1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico
Leia maisCAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO
CAP I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0 Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas A obteção de uma solução
Leia maiscomputador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia
Leia maisExplorações de alunos
A partir dos exemplos sugeridos e explorados pelos alunos pretende-se que possam conjecturar que, dadas duas funções reais de variável real f e g, o domínio da função quociente pode ser dado por: f f g
Leia mais2. Representação Numérica
2. Representação Numérica 2.1 Introdução A fim se realizarmos de maneira prática qualquer operação com números, nós precisamos representa-los em uma determinada base numérica. O que isso significa? Vamos
Leia maisAproximações e Erros de Arredondamento. introdução. exactidão e precisão. Aula 2 Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia
Aproximações e Erros de Arredondamento Aula 2 Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia 23/02/07 João Noronha 1 introdução Em muitos problemas de engenharia não é possível a obtenção de soluções analíticas.
Leia maisProva de Aferição de Matemática
PROVA DE AFERIÇÃO DO ENSINO BÁSICO A PREENCHER PELO ALUNO Nome A PREENCHER PELO AGRUPAMENTO Número convencional do Aluno Número convencional do Aluno A PREENCHER PELA U.A. Número convencional do Agrupamento
Leia maisAlguns apontamentos da história da Análise Numérica
Análise Numérica 1 Âmbito da Análise Numérica Determinar boas soluções aproximadas num tempo computacional razoável? Slide 1 Porquê? Porque em muitos problemas matemáticos e respectivas aplicações práticas
Leia maisErros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto
Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados
Leia mais1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos
1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos 1. Introdução O que é cálculo numérico? Corresponde a um conjunto
Leia mais20-10-2014. Sumário. Arquitetura do Universo
Sumário Das Estrelas ao átomo Unidade temática 1 Diferenças entre medir, medição e medida duma grandeza. Modos de exprimir uma medida. Algarismos significativos: Regras de contagem e operações. Esclarecimento
Leia maisPLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 8.º ANO
DE MATEMÁTICA 8.º ANO Ano Letivo 2015 2016 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de relacionar números racionais e dízimas, completar a reta numérica e ordenar números
Leia maisARREDONDAMENTO DE NÚMEROS
ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS Umas das maiores dificuldades, quando lidamos com números, é como devemos ou podemos apresentar esses números para quem vai utiliza-los. Quando a humanidade só conhecia os números
Leia maisPROVA MODELO 2015. Duração da prova: 120 minutos
Página 1 de 8 Provas especialmente adequadas destinadas a avaliar a capacidade para a frequência do ensino superior dos maiores de 3 anos, Decreto-Lei n.º 64/006, de 1 de março AVALIAÇÃO DA CAPACIDADE
Leia maisErros. Cálculo Numérico
Cálculo Numérico Erros Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br MATIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/ Erros - Roteiro Eistência Tipos
Leia maisTeoria dos Números. A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto
Teoria dos Números 1 Noções Básicas A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...}. Ela permite resolver de
Leia maisFaculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
1 Programação Não Linear Aula 25: Programação Não-Linear - Funções de Uma única variável Mínimo; Mínimo Global; Mínimo Local; Optimização Irrestrita; Condições Óptimas; Método da Bissecção; Método de Newton.
Leia maisArquitetura de Rede de Computadores
TCP/IP Roteamento Arquitetura de Rede de Prof. Pedro Neto Aracaju Sergipe - 2011 Ementa da Disciplina 4. Roteamento i. Máscara de Rede ii. Sub-Redes iii. Números Binários e Máscara de Sub-Rede iv. O Roteador
Leia maisMatemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.
Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução
Leia maisMatemática Financeira RECORDANDO CONCEITOS
1 Matemática Financeira RECORDANDO CONCEITOS Propriedades da matemática Prioridades: É importante relembrar e entender alguns conceitos da matemática, que serão muito úteis quando trabalharmos com taxas.
Leia mais15-11-2013. Sumário. Teoria de erros
Sumário Erros que afetam as medições. Média, desvios e incertezas. As operações com os algarismos significativos exigem o conhecimento da teoria de erros. Mas, algumas regras simples podem ajudar a evitar
Leia maisMedidas e Incertezas
Medidas e Incertezas O que é medição? É o processo empírico e objetivo de designação de números a propriedades de objetos ou eventos do mundo real de forma a descreve-los. Outra forma de explicar este
Leia maisUniversidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros
. Conjuntos numéricos Objetivo: aprender sobre conjuntos numéricos, suas operações e propriedades..1 Conjunto dos números naturais (IN) O conjunto dos números naturais é representado por IN e IΝ{0;1;;;...}.
Leia maisTópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)
Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito
Leia maisRepresentação de Dados
Representação de Dados Introdução Todos sabemos que existem diferentes tipos de números: fraccionários, inteiros positivos e negativos, etc. Torna-se necessária a representação destes dados em sistema
Leia maisProgramas Referenciais do 1º ciclo do Ensino Recorrente. Programa Referencial de MATEMÁTICA INTRODUÇÃO
Programa Referencial de MATEMÁTICA INTRODUÇÃO 1. Finalidades A Matemática intervém, em quase todas as actividades humanas do quotidiano, quer como instrumento para resolução de situações problemáticas,
Leia mais1 Máquina URM, comandos e programas URM
1 Máquina URM, comandos e programas URM Definição 1 : Máquina URM (Unlimited Register Machine) Uma máquina URM é constituída por uma sucessão de registos 2 < R i > i IN. Cada registo pode conter um valor
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia maisA lógica de programação ajuda a facilitar o desenvolvimento dos futuros programas que você desenvolverá.
INTRODUÇÃO A lógica de programação é extremamente necessária para as pessoas que queiram trabalhar na área de programação, seja em qualquer linguagem de programação, como por exemplo: Pascal, Visual Basic,
Leia maisTEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos
1 MATERIAL DE APOIO MATEMÁTICA Turmas 1º AS e 1º PD Profº Carlos Roberto da Silva A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar
Leia maisCapítulo 1 - Erros e Aritmética Computacional
Capítulo 1 - Erros e Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Electrotécnica e Mecânica Carlos Balsa Métodos Numéricos
Leia maisANEXO IV REGRAS DE COMPATIBILIZAÇÃO DE VALORES
ANEXO IV REGRAS DE COMPATIBILIZAÇÃO DE VALORES O resultado de uma medição, envolvendo o resultado base (RB) e a incerteza do resultado (IR), deveo resultado de uma medição, envolvendo o resultado base
Leia maisCapítulo 13. VARIÁVEIS DO TIPO REAL DUPLA
Capítulo 13. VARIÁVEIS DO TIPO REAL DUPLA OBJETIVOS DO CAPÍTULO Conceitos de: variáveis de precisão simples e dupla, variáveis do tipo real simples e dupla, mistura de variáveis do tipo inteiro com real
Leia maisCI202 - Métodos Numéricos
CI202 - Métodos Numéricos Lista de Exercícios 2 Zeros de Funções Obs.: as funções sen(x) e cos(x) devem ser calculadas em radianos. 1. Em geral, os métodos numéricos para encontrar zeros de funções possuem
Leia maisAlgarismos Significativos
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE QUÍMICA DEPARTAMENTO DE QUÍMICA INORGÂNICA QUÍMICA FUNDAMENTAL A - QUI-01-009 Algarismos Significativos ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Os algarismos significativos
Leia maisAnálise de Arredondamento em Ponto Flutuante
Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto
Leia maisMATEMÁTICA BÁSICA E CALCULADORA
DISCIPLINA MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR SILTON JOSÉ DZIADZIO APOSTILA 01 MATEMÁTICA BÁSICA E CALCULADORA A matemática Financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do
Leia maisCapítulo 3. Avaliação de Desempenho. 3.1 Definição de Desempenho
20 Capítulo 3 Avaliação de Desempenho Este capítulo aborda como medir, informar e documentar aspectos relativos ao desempenho de um computador. Além disso, descreve os principais fatores que influenciam
Leia maisCAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES
CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES 3.1 - IDENTIFICADORES Os objetos que usamos no nosso algoritmo são uma representação simbólica de um valor de dado. Assim, quando executamos a seguinte instrução:
Leia maisComo aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos?
&DStWXOR±5HSUHVHQWDomRGH1~PHURVH(UURV,QWURGXomR Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? 7LSRVGH(UURV Erros inerentes à matematização do fenómeno físico: os sistemas
Leia maisCálculo Numérico. ECA / 4 créditos / 60 h Introdução, Erros e Matlab. Ricardo Antonello. www.antonello.com.br
Cálculo Numérico ECA / 4 créditos / 60 h Introdução, Erros e Matlab Ricardo Antonello www.antonello.com.br Conteúdo Erros na fase de modelagem Erros na fase de resolução Erros de arredondamento Erros de
Leia maisCálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s
Representação numérica Cálculo numérico Professor Walter Cunha Um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam
Leia maisCapítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias
Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Departamento de Matemática balsa@ipb.pt Mestrados em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação em Engenharia 1 o
Leia maisAula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante.
Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante. MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Leia maisCÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em
Leia maisIntrodução à Lógica de Programação
Sistemas Operacionais e Introdução à Programação Introdução à Lógica de Programação 1 Estruturas de dados Representação computacional das informações do problema ser resolvido Informações podem ser de
Leia maisBases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15
Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2013-7-31 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Organizado Definições Definição: um enunciado que descreve o significado de um termo.
Leia maisCAPÍTULO 1 MEDIÇÃO E O ERRO DE MEDIÇÃO
CAPÍTULO 1 MEDIÇÃO E O ERRO DE MEDIÇÃO 1.1. Definições do Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM) Metrologia: Ciência das medições [VIM 2.2]. Medição: Conjunto de operações que têm por objectivo
Leia maisUnidade 5: Sistemas de Representação
Arquitetura e Organização de Computadores Atualização: 9/8/ Unidade 5: Sistemas de Representação Números de Ponto Flutuante IEEE 754/8 e Caracteres ASCII Prof. Daniel Caetano Objetivo: Compreender a representação
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia maisNOTA DE ESCLARECIMENTO
NOTA DE ESCLARECIMENTO SOBRE A UTILIZAÇÃO DE NUMERAÇÃO GEOGRÁFICA EM REDES PRIVATIVAS MULTI-SITE I ENQUADRAMENTO O ICP-ANACOM ao acompanhar a evolução tecnológica e tendo sido confrontado com um pedido
Leia maisProtocolo TCP/IP. Neste caso cada computador da rede precisa de, pelo menos, dois parâmetros configurados:
Protocolo TCP/IP Neste caso cada computador da rede precisa de, pelo menos, dois parâmetros configurados: Número IP Máscara de sub-rede O Número IP é um número no seguinte formato: x.y.z.w Não podem existir
Leia maisApostila de Fundamentos de Programação I. Prof.: André Luiz Montevecchi
Apostila de Fundamentos de Programação I Prof: André Luiz Montevecchi Introdução O mundo atual é dependente da tecnologia O uso intenso de diversos aparatos tecnológicos é parte integrante do nosso dia-a-dia
Leia maisPLANIFICAÇÃO ANUAL DO NOVO PROGRAMA DE MATEMÁTICA
PLANIFICAÇÃO ANUAL DO NOVO PROGRAMA DE MATEMÁTICA 5º ano 2012/2013 UNIDADE: Números e Operações 1 - NÚMEROS NATURAIS OBJECTIVOS GERAIS: - Compreender e ser capaz de usar propriedades dos números inteiros
Leia maisRESUMO 2 - FÍSICA III
RESUMO 2 - FÍSICA III CAMPO ELÉTRICO Assim como a Terra tem um campo gravitacional, uma carga Q também tem um campo que pode influenciar as cargas de prova q nele colocadas. E usando esta analogia, podemos
Leia maisAlgoritmos e Programação (Prática) Profa. Andreza Leite andreza.leite@univasf.edu.br
(Prática) Profa. Andreza Leite andreza.leite@univasf.edu.br Introdução O computador como ferramenta indispensável: Faz parte das nossas vidas; Por si só não faz nada de útil; Grande capacidade de resolução
Leia maisDepartamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Leia maisModelagem no Domínio do Tempo. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1
Carlos Alexandre Mello 1 Modelagem no Domínio da Frequência A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona
Leia maisEscola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro. Curso Profissional de Nível Secundário. Componente Técnica. Disciplina de
Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro Curso Profissional de Nível Secundário Componente Técnica Disciplina de Sistemas Digitais e Arquitectura de Computadores 29/21 Módulo 1: Sistemas de Numeração
Leia maisA classificação final da prova será calculada de acordo com os seguintes critérios:
ANEXO II Estrutura e Referenciais da Prova de Ingresso Curso Técnico Superior Profissional em Climatização e Refrigeração da Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Viseu 1. Introdução Relativamente
Leia mais1. Sistemas de numeração
1. Sistemas de numeração Quando mencionamos sistemas de numeração estamos nos referindo à utilização de um sistema para representar uma numeração, ou seja, uma quantidade. Sistematizar algo seria organizar,
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares
Leia maisb : nas representações gráficas de funções do tipo
do as suas escolhas a partir daí. Nesta situação, tendem a identificar as assímptotas verticais, as assímptotas horizontais e a associar as representações analítica e gráfica que têm estas características
Leia mais1. Introdução ao uso da calculadora
1. Introdução ao uso da calculadora O uso da calculadora científica no curso de Estatística é fundamental pois será necessário o cálculo de diversas fórmulas com operações que uma calculadora com apenas
Leia maisAula 6 Aritmética Computacional
Aula 6 Aritmética Computacional Introdução à Computação ADS - IFBA Representação de Números Inteiros Vírgula fixa (Fixed Point) Ponto Flutuante Para todos, a quantidade de valores possíveis depende do
Leia mais6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D
6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também
Leia maisQUADRADO MÁGICO - ORDEM 4
CONCEITO Partindo da definição original, os QUADRADOS MÁGICOS devem satisfazer três condições: a) tabela ou matriz quadrada (número de igual ao número de ); b) domínio: com elementos assumindo valores
Leia mais3º Trimestre TRABALHO DE MATEMÁTICA - 2012 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C Profs. Marcelo/Fernando Nome:, nº Data de entrega: 09/ 11/12
3º Trimestre TRABALHO DE MATEMÁTICA - 2012 Ensino Fundamental 9º ano classe: A-B-C Profs. Marcelo/Fernando Nome:, nº Data de entrega: 09/ 11/12 NOTA:. Nota: Toda resolução deve ser feita no seu devido
Leia maisSociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1
Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras
Leia maisI. MATEMÁTICA FINANCEIRA - ANDRÉ ARRUDA TAXAS DE JUROS. Taxas Proporcionais
1º BLOCO...2 I. Matemática Financeira - André Arruda...2 2º BLOCO...6 I. Matemática - Daniel Lustosa...6 3º BLOCO... 10 I. Tabela de Acumulação de Capital... 10 I. MATEMÁTICA FINANCEIRA - ANDRÉ ARRUDA
Leia maisLIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x
LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES Noções prévias 1. Valor absoluto de um número real: Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número x tal que: x se x 0 x = x se x < 0 Está assim denida
Leia mais2. ALGORITMOS. Unesp Campus de Guaratinguetá. Curso de Programação Computadores Prof. Aníbal Tavares Profa. Cassilda Ribeiro
2. ALGORITMOS Unesp Campus de Guaratinguetá Curso de Programação Computadores Prof. Aníbal Tavares Profa. Cassilda Ribeiro 2 - Algoritmo 2.1: Introdução Antes de se utilizar uma linguagem de computador,
Leia mais[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
Leia maisAutómatos Finitos Determinísticos
Ficha 2 Autómatos Finitos Determinísticos 2.1 Introdução Se olharmos, de forma simplificada, para um computador encontramos três componentes principais: a) A unidade de processamento central b) As unidades
Leia maisAula 9 ESCALA GRÁFICA. Antônio Carlos Campos
Aula 9 ESCALA GRÁFICA META Apresentar as formas de medição da proporcionalidade entre o mundo real e os mapas através das escalas gráficas. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deverá: estabelecer formas
Leia maisARQUITETURA DE COMPUTADORES. Sistemas de Numeração. 1 Arquitetura de Computadores
ARQUITETURA DE COMPUTADORES Sistemas de Numeração 1 Sistemas de Numeração e Conversão de Base Sistema Decimal É o nosso sistema natural. Dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Números superiores a 9; convencionamos
Leia maisPlano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo
Plano Curricular de Matemática 9º ano - 2014 /2015-3º Ciclo Tema/Subtema Conteúdos Metas Nº de Aulas Previstas Org.Trat.Dados / Planeamento Estatístico Especificação do problema Recolha de dados População
Leia maisMATEMÁTICA Abril 2015
152547 - Agrupamento de Escolas D. António Ferreira Gomes 342592 - Escola E.B. 2,3 D. António Ferreira Gomes INFORMAÇÃO - PROVA FINAL A NÍVEL DE ESCOLA MATEMÁTICA Abril 2015 3.º Ciclo do Ensino Básico
Leia maisA função do primeiro grau
Módulo 1 Unidade 9 A função do primeiro grau Para início de conversa... Já abordamos anteriormente o conceito de função. Mas, a fim de facilitar e aprofundar o seu entendimento, vamos estudar algumas funções
Leia maisÍndice de conteúdos. Índice de conteúdos. Capítulo 2. Representação de Números e Erros...1. 1.Representação de números em diferentes bases...
Índice de conteúdos Índice de conteúdos Capítulo 2. Representação de Números e Erros...1 1.Representação de números em diferentes bases...1 1.1.Representação de números inteiros e conversões de base...1
Leia maisAula 1 Estatística e Probabilidade
Aula 1 Estatística e Probabilidade Anamaria Teodora Coelho Rios da Silva O QUE É ESTATÍSTICA? No nosso cotidiano, precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas. A Estatística fornece métodos
Leia maisEm um sistema de numeração de base b qualquer, um número positivo é representado pelo polinômio:
ELETRÔNICA DIGITAl I 1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO INTRODUÇÃO A base dos sistemas digitais são os circuitos de chaveamento (switching) nos quais o componente principal é o transistor que, sob o ponto de vista
Leia maisSeqüências, Limite e Continuidade
Módulo Seqüências, Limite e Continuidade A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, ites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque indicadas e também junto
Leia maisDadas a base e a altura de um triangulo, determinar sua área.
Disciplina Lógica de Programação Visual Ana Rita Dutra dos Santos Especialista em Novas Tecnologias aplicadas a Educação Mestranda em Informática aplicada a Educação ana.santos@qi.edu.br Conceitos Preliminares
Leia maisCapítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante
Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante 7.1 Números em ponto fixo Observação inicial: os termos ponto fixo e ponto flutuante são traduções diretas dos termos ingleses fixed point e floating
Leia maisExemplo de Subtração Binária
Exemplo de Subtração Binária Exercícios Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) 37 10 30 10 b) 83 10 82 10 c) 63 8 34 8 d) 77 8 11 8 e) BB 16 AA 16 f) C43 16 195 16 3.5.3 Divisão binária:
Leia maisIntrodução. A Informação e sua Representação (Parte III) Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação
Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação Introdução à Computação A Informação e sua Representação (Parte III) Prof.a Joseana Macêdo Fechine Régis de Araújo joseana@computacao.ufcg.edu.br
Leia maisIntrodução ao estudo de equações diferenciais
Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações
Leia maisUniversidade Federal de São João Del Rei - UFSJ
Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Instituída pela Lei 0.45, de 9/04/00 - D.O.U. de /04/00 Pró-Reitoria de Ensino de Graduação - PROEN Disciplina: Cálculo Numérico Ano: 03 Prof: Natã Goulart
Leia maisConversão de Bases e Aritmética Binária
Conversão de Bases e Aritmética Binária Prof. Glauco Amorim Sistema de Numeração Decimal Dígitos Decimais: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 Potências de base 0 0 0 2 0 0 3 4 0 0 00 000 0 000 Sistema de Numeração Binário
Leia maisquociente razão. mesma área a partes de um tablete de chocolate
1 As sequências de atividades Vamos relembrar, Como lemos os números racionais?, Como escrevemos os números racionais?, As partes das tiras de papel, Comparando e ordenando números racionais na forma decimal
Leia maisA equação do 2º grau
A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.
Leia maisANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97
ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se
Leia mais2aula TEORIA DE ERROS I: ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS, ARREDONDAMENTOS E INCERTEZAS. 2.1 Algarismos Corretos e Avaliados
2aula Janeiro de 2012 TEORIA DE ERROS I: ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS, ARREDONDAMENTOS E INCERTEZAS Objetivos: Familiarizar o aluno com os algarismos significativos, com as regras de arredondamento e as incertezas
Leia maisDICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 07
DICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 07 Este é o 7º artigo da série de dicas para facilitar / agilizar os cálculos matemáticos envolvidos em questões de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira
Leia maisAnálise de Regressão Linear Simples e Múltipla
Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Carla Henriques Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Carla Henriques (DepMAT ESTV) Análise de Regres. Linear Simples e Múltipla
Leia maisLógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO
5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e
Leia mais