CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

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1 CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção de uma solução numérica para um problema físico através da aplicação de métodos numéricos nem sempre nos dá valores de acordo com o pretendido. A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exacto é designado por erro. Pretende-se dar uma noção aos utilizadores de métodos numéricos, sobre as fontes de erros, para que se possam eliminar, ou pelo menos, controlar o seu valor. Vamos então descrever o processo de determinação da solução de um problema físico, por meio de métodos numéricos. Problema físico Modelo modelagem resolução Solução Matemático Métodos Numéricos modelagem: obtém-se o modelo matemático que descreve o comportamento do problema físico; resolução: obtém-se a solução numérica do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos. Acetato 1-Erros em cálculo numérico

2 1. Fonte e tipo de erros A resolução de um problema físico utilizando um método numérico produz, em geral, uma solução aproximada do problema. A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários factores. Em função da sua origem, podemos considerar os diferentes tipos de erros: erros iniciais do problema (são exteriores ao processo de cálculo) erros inerentes ao modelo matemático erros inerentes aos dados erros associados ao uso de métodos numéricos (ocorrem no processo de cálculo) erros de arredondamento erros de truncatura Problema Físico Modelo Matemático Erros inerentes ao Modelo Erros Dados e Modelo inerentes Parâmetros Erros de aos Dados do Modelo Numérico Truncatura Cálculo Erros de Arredondamento Solução Acetato 2-Erros em cálculo numérico

3 Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece uma representação exacta dos fenómenos reais. Na grande maioria dos casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos da natureza vemo-nos forçados, regra geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema por forma a torná-lo tratável. Os melhores modelos são os que incluem aquelas características do problema real necessárias para reduzir os erros nesta fase a um nível aceitável. Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas equações e relações, também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, aproximadas. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final. Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efectuados manualmente quer obtidos por computador ou numa calculadora, somos conduzidos a utilizar uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é designado por erro de arredondamento. Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico. Existem 2 tipos de erros associados ao uso de métodos numéricos para resolver um problema num computador ou calculadora: os erros de arredondamento e os erros de truncatura. Como consequência da ocorrência destes erros, as soluções numéricas obtidas são, em geral, soluções aproximadas. Para podermos avaliar quão próxima da solução exacta está a solução aproximada calculada é necessário conhecer o seu erro. Acetato 3-Erros em cálculo numérico

4 Definições de erro O conhecimento de uma aproximação para a solução de um problema só tem qualquer interesse se é acompanhada de informação sobre o seu erro. erro Seja x o valor aproximado duma quantidade cujo valor exacto é x. O erro de x, define-se como: x x - x Há vários critérios para avaliar a qualidade de uma aproximação. erro absoluto O erro absoluto do valor aproximado x, define-se como o valor absoluto de x, i.é, x x = x - x erro relativo Se x 0, o erro relativo do valor aproximado x, define-se como r x x x x - x O erro relativo, como expressa o erro como fracção de x, está relacionado com o erro percentual. Ao produto r x 100 expresso em percentagem dá-se o nome de percentagem de erro ou erro percentual. x 2. Erros de Arredondamento Quase todo o cálculo numérico é realizado num computador ou numa calculadora. Como as máquinas têm capacidade finita para guardar informação conseguem apenas representar exactamente um número finito de números reais, cada um com um número fixo de dígitos (algarismos). Sendo o suporte numérico da maioria dos problemas matemáticos o conjunto dos números reais, que é infinito e contínuo, levantam-se algumas questões, sendo duas delas: Como são representados números reais numa máquina? Quais as consequências dessa representação de IR nos resultados obtidos? Acetato 4-Erros em cálculo numérico

5 Iremos responder, de modo sucinto, a estas duas questões. Começaremos por explicar que a representação de números reais numa máquina é feita por arredondamento, e verificaremos, em seguida, que a consequência é a ocorrência dos chamados erros de arredondamento. Arredondamento Para a maioria dos números reais a representação é feita por arredondamento (à excepção de números demasiado grandes ou demasiado pequenos, em valor absoluto, para poderem ser representados na máquina). Definem-se vários tipos de arredondamento. Aqui faremos apenas referência ao mais conhecido, e iremos apresentá-lo através de um exemplo. Exemplo: Consideremos o número = Vamos definir um processo de representação deste número com 3, 4 e 5 algarismos.. Comecemos por escrever = com 3 algarismos eliminando os dígitos a partir do quarto. Sendo o primeiro algarismo eliminado inferior a 5 consideramos 1= 3.14 como a representação, por arredondamento, de com 3 dígitos.. Vamos agora escrever = com 4 algarismos eliminando os dígitos a partir do quinto. Sendo o primeiro algarismo eliminado igual a 5, consideramos 2 = como a representação, por arredondamento, de com 4 dígitos.. Finalmente escrevemos = com 5 algarismos eliminando os dígitos a partir do sexto. Sendo o primeiro algarismo eliminado superior a 5, consideramos 3 = como a representação, por arredondamento, de com 5 dígitos. O procedimento para representar um real com um nº finito de dígitos por arredondamento é o seguinte: ignoram-se os algarismos à direita do da última ordem decimal que se pretende reter; Acetato 5-Erros em cálculo numérico

6 Se o primeiro dígito desprezado é inferior a 5, o número obtido é a representação desse real por arredondamento; Se o primeiro dígito eliminado é superior ou igual a 5 adiciona-se uma unidade na ordem decimal do último dígito conservado para obter a representação desse real por arredondamento. Observe-se, que se um número x é obtido de x por este procedimento (arredondamento), então todos os números de x são significativos. Algarismos significativos Outra maneira de conhecer a precisão de um valor aproximado é ter informação sobre o número de algarismos significativos dessa aproximação, i. é, número de algarismos da esquerda para a direita e a partir do primeiro dígito diferente de zero. Exemplos:. O valor aproximado 3.14 para = tem 3 algarismos significativos;. A aproximação para 1/3 = tem 3 dígitos significativos;. O valor aproximado para e -3 significativos. = tem 3 algarismos Erros de arredondamento A distância entre um número real e uma sua aproximação obtida por arredondamento é chamada erro de arredondamento. Erro absoluto de arredondamento Se x é um valor obtido por arredondamento de x então chama-se erro absoluto de arredondamento a x x. Erro relativo de arredondamento Acetato 6-Erros em cálculo numérico

7 Se x 0 e x é um valor obtido por arredondamento de x então chama-se erro relativo de arredondamento a x - x x. Exemplo: Calculemos os erros (absolutos) de arredondamento das aproximações obtidas para = no exemplo anterior. Tem-se = - = = < = = - = = < = = - = = < = Note-se que em cada um dos casos todos os algarismos do valor aproximado são significativos. Em geral, dizemos que x é o valor aproximado de x, arredondado para k casas decimais correctas sse: k x x - x Mas os erros de arredondamento não ocorrem apenas na representação de dados. Ocorrem também na representação de resultados de operações aritméticas. Isto porque o resultado de uma operação aritmética entre dois números representados com um número fixo de algarismos pode não ser um número com o mesmo número de algarismos. Exemplo: O resultado da divisão de por 9, números que têm no máximo 5 dígitos, é uma dízima infinita. O resultado da divisão arredondado para 5 9 dígitos é Erros de Truncatura Acetato 7-Erros em cálculo numérico

8 Há problemas que não podem ser resolvidos exactamente realizando apenas um número finito de operações aritméticas, mas que podem, ser aproximados por problemas cuja solução é obtida executando uma sequência finita de operações aritméticas. São assim gerados os erros de truncatura. Apresentamos dois exemplos. 1. Cálculo numérico da soma de uma série Seja S a soma de uma série convergente de termo geral a j, S = j 0 a. j Quando aproximamos S por S n = n a j j 0, o erro R n = S - S n é um erro de truncatura. É originado pela substituição do cálculo exacto da soma de uma série, pelo cálculo da soma de n+1 termos dessa série. 2. Cálculo de valores de funções transcendentes Funções racionais (polinómios e quocientes de polinómios) são as únicas cujos valores podem ser calculados usando apenas um número finito de operações aritméticas. Para calcular numericamente valores de uma função transcendente podemos aproximá-la por uma função racional. Aproximação de funções A aproximação de funções é um tema central da análise numérica. A razão disso é a ocorrência de um grande número de problemas matemáticos, envolvendo funções, cuja solução não é possível (ou é muito difícil) determinar por métodos analíticos. São exemplos de tais problemas o cálculo do valor de um integral definido quando se desconhece uma primitiva da função integranda, a determinação de zeros de uma função quando não existe uma fórmula explícita para o fazer, o desenho do gráfico de uma função da qual se conhecem apenas alguns dos seus valores determinados numérica ou experimentalmente,... A estratégia no desenvolvimento de métodos numéricos para resolver estes problemas é baseada na substituição da função dada por uma função aproximante, considerada mais "simples", cujo comportamento é muito semelhante ao da função dada. Acetato 8-Erros em cálculo numérico

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