Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Permutação e Arranjo

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1 1. (Uerj 015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C) O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) 6 b) 90 c) 180 d) 70. (Pucrj 015) A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO é: a) 50 b) 5040 c) d) 0160 e) (Fgv 015) Um sistema de código de barras tem extensão de 13cm, e é composto por barras alternadas de cor branca ou preta, começando e terminando sempre por uma barra preta. Cada barra (branca ou preta) mede 1 ou cm. A figura indica uma possibilidade de código nesse sistema. A leitura de código no sistema sempre é feita da esquerda para a direita. a) Pinte, em cada um dos dois conjuntos de barras indicadas a seguir, um código desse sistema que atenda à condição solicitada logo abaixo das barras. b) Calcule o total de códigos diferentes que podem ser formados nesse sistema. 4. (Espcex (Aman) 015) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a a) Página 1 de 9

2 b) c) d) e) (Fgv 014) Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível: (a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7). Quantas senhas diferentes podem ser formadas com quatro letras a, duas letras b e quatro algarismos iguais a 7? a) 10! b) 50 c) d) e) 10! 4!6! 6. (Mackenzie 014) Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas de uma determinada fileira. O número de maneiras que essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, se um dos casais brigou, e eles não podem se sentar lado a lado é 9 9! a) b) 8 9! c) 8 8! d) 10! e) 10! 4 7. (Fgv 014) Considere, no espaço cartesiano bidimensional, os movimentos unitários N, S, L e O definidos a seguir, onde N(a, b) (a, b 1) S(a, b) (a, b 1) L(a, b) (a 1, b) O(a, b) (a 1, b) a,b R é um ponto qualquer: Considere ainda que a notação XY(a,b) significa X(Y(a,b)), isto é, representa a combinação em sequência dos movimentos unitários Xe Y, onde o movimento Y é executado primeiro e, a seguir, o movimento X. a) Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é, NS(a, b) SN(a, b) (a, b). b) Partindo do ponto (1,4), quantos caminhos mínimos (isto é, com a menor quantidade possível de movimentos) diferentes podem ser percorridos, utilizando apenas os movimentos unitários definidos, para se chegar ao ponto ( 1,7)? 8. (Enem 014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. Página de 9

3 De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? a) 0 8! (3!) b) 8! 5! 3! 8! 5! 3! c) 8 8! 5! 3! d) 16! e) 8 9. (Fgv 013) O total de matrizes distintas que possuem apenas os números 1,, 3, 4, 5,..., 15, 16 como elementos, sem repetição, é igual a a) (4!) 4 b) 16.4! c) 5.16! d) (16!) 5 e) (Uerj 013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes vermelha, amarela e verde. Observe a figura: Considere as seguintes informações: cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez; qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. 11. (Fuvest 013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é a) menor que 7%. b) maior que 7%, mas menor que 10%. c) maior que 10%, mas menor que 13%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. e) maior que 16%. 1. (Fgv 013) No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4 livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal. a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos? Página 3 de 9

4 b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1 a 10, e sorteou um livro para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos entre 1 e 10? 13. (Espcex (Aman) 013) A probabilidade de se obter um número divisível por na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1,, 3, 4, 5 é a) 1 5 b) 5 c) 3 4 d) 1 4 e) (Ufmg 013) Permutando-se os algarismos do número 13456, formam-se números de seis algarismos. Supondo-se que todos os números formados com esses seis algarismos tenham sido colocados numa lista em ordem crescente, a) DETERMINE quantos números possui essa lista. b) DETERMINE a posição do primeiro número que começa com o algarismo 4. c) DETERMINE a posição do primeiro número que termina com o algarismo. 15. (Fgv 013) O total de números naturais de 7 algarismos tal que o produto dos seus algarismos seja 14 é a) 14. b) 8. c) 35. d) 4. e) (Fuvest 013) Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas: 1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa; ) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa. a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo? b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo? Página 4 de 9

5 Gabarito: Resposta da questão 1: Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é dado por (,, ) 6! P6 90.!!! Resposta da questão : [C] A palavra CONCURSO possui 8 letras, sendo que as letras C e O aparecem duas vezes cada. Para determinar o número de anagramas desta palavra deveremos usar permutação com repetição., 8! P !! Resposta da questão 3: a) Considere as figuras, que exibem duas possibilidades. b) Sejam u e d, respectivamente, o número de barras de 1cm e cm. Logo, temos u d 13. Além disso, como as barras pretas e brancas se alternam, e cada código começa e termina com uma barra preta, segue que u d só pode ser um número ímpar. Portanto, as soluções são os pares (u, d) {(1, 6), (5, 4), (9, ), (13, 0)}. O resultado pedido corresponde à soma do número de permutações com elementos nem todos distintos de todos os pares (1, 6), (5, 4), (9, ), (13, 0), ou seja, (6) (5, 4) (9, ) (13) 7! 9! 11! 13! P7 P9 P11 P13 6! 5! 4! 9!! 13! Resposta da questão 4: [E] Cada um dos algarismos acima aparecerá 4! 4 vezes em cada ordem decimal. Página 5 de 9

6 A soma dos algarismos é 5. Portanto, a soma dos algarismos em cada ordem decimal será Concluímos então que a soma S pedida é: 4 3 S Resposta da questão 5: [C] O resultado é dado por (4,, 4) 10! P !! 4! Resposta da questão 6: As 10 pessoas podem se sentar de P10 10! maneiras. Por outro lado, o casal que está brigado pode se sentar lado a lado de P9 P 9! modos. Em consequência, o resultado pedido é 10! 9! 10 9! 9! 8 9!. Resposta da questão 7: a) Tem-se que NS(a, b) N(a, b 1) (a, b 11) (a, b) e SN(a, b) S(a, b 1) (a, b 11) (a, b). Portanto, é verdade que NS(a, b) SN(a, b) (a, b). b) Observando que qualquer caminho mínimo possui apenas dois movimentos O e três movimentos N, segue-se que o resultado pedido é igual a (, 3) 5! P5 10.! 3! Resposta da questão 8: Considere 16 posições consecutivas de uma fila, em que as posições de ordem ímpar serão ocupadas pelos 8 filmes de ação, as 5 primeiras posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de comédia, e as 3 últimas posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de drama. Daí, os filmes de ação podem ser dispostos de P8 8! modos, os de comédia de P5 5! maneiras e os de drama de P3 3! possibilidades. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que o resultado é 8! 5! 3!. Resposta da questão 9: [C] Página 6 de 9

7 Existem 5 matrizes com 16 elementos: 116, 8, 4 4, 8 e Logo, como em cada uma dessas matrizes podemos dispor os elementos, sem repetição, de P16 16! modos, segue-se que o resultado é 5 16!. Resposta da questão 10: 1ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por ! 5! 3! 3 1 3! 5!! 3! 1!! ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, verdes, 1 amarela e apagadas, ou seja, P (3,, ) 8 8! 3!!! Resposta da questão 11: O número total de jogos disputados é dado por 0! A0, ! Logo, como o número de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é 6! A6, , 4! segue que a porcentagem pedida é igual a % 7,9%. 380 Resposta da questão 1: a) Temos maneiras de dispor os blocos de livros grandes e pequenos, e maneiras de escolher onde ficará o exemplar de Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandes podem ser dispostos de 5! maneiras, e os livros pequenos de 4! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado é 5! 4! b) Os primos compreendidos entre 1 e 10 são:, 3, 5 e 7. Logo, os casos favoráveis são: (média aritmética de e ), 3 (média aritmética de 3 e 3), 4 (média aritmética de 3 e 5), 5 (média aritmética de 3 e 7), 6 (média aritmética de 5 e 7) e 7 (média aritmética de 7 e 7). Página 7 de 9

8 Portanto, como podem ser sorteados 10 números, segue que a probabilidade pedida é 6 100% 60%. 10 Resposta da questão 13: As permutações dos algarismos 1,, 3, 4 e 5 que terminam em ou 4 são divisíveis por. Logo, existem P4 4! permutações nessas condições. Por outro lado, existem P5 5! permutações dos algarismos 1,, 3, 4 e 5. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por 4! 4!. 5! 5 4! 5 Resposta da questão 14: a) = 70. b) Começando com 1: 5! = 10 Começando com : 5! = 10 Começando com 3: 5! = 10 Logo, o primeiro número que começa por quatro ocupa a 361ª posição. c) A posição do primeiro número que termina em é a trigésima quarta, pois Resposta da questão 15: [D] Como 14 7, segue-se que os números naturais de 7 algarismos cujo produto de seus algarismos é igual a 14, apresentam, necessariamente, cinco algarismos iguais a 1, o algarismo e o algarismo 7. Portanto, o resultado procurado é igual a (5) 7! P7 4. 5! Resposta da questão 16: a) Sócrates deve obter pelo menos seis. Página 8 de 9

9 Portanto, a probabilidade será P = 16/16 = /7. b) Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item a) ou um único 6 e pelo menos um 5. Logo, a probabilidade será P = 43/16. Página 9 de 9

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