Seu pé direito nas melhores faculdades

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1 Seu pé direito nas melhores faculdades IM - maio 006 MTMÁTI 0. a) atore a epressão b) Resolva, em, a inequação a) = (3 ) 6(3 ) = ( 6)(3 ) = ( + 6 )( 6 )(3 ) é a forma fatorada da epressão. b) proveitando a fatoração do item (a), resulta: ( + 6) ( 6) (3 ) S = { IR } 0. Descrição e regras do jogo de dominó m um jogo de dominó, a parte de cima de cada peça tem dois lados e cada lado pode ter nenhum,,, 3, 4, ou 6 pontos marcados. ada combinação de pares de números de pontos aparece uma única vez. Por eemplo: há uma única peça com pontos de um lado e 3 pontos de outro, assim como há uma única peça com pontos de cada lado. ada jogador recebe de início 7 peças. Um deles inicia posicionando uma peça qualquer sobre a mesa. O outro deve colocar uma peça com o mesmo número de pontos que um dos lados da peça que já estiver sobre a mesa, posicionando-a de modo que os lados de mesmo número de pontos fiquem adjacentes. O próimo jogador deve fazer o mesmo, considerando uma das etremidades livres, e assim sucessivamente. aso na sua vez um jogador não tenha alguma peça que se encaie no jogo, deve tomar aleatoriamente uma do monte de peças que eventualmente tenham sobrado. Se não houver peça alguma no monte, então deve passar sua vez. Ganha o jogo o primeiro a ficar sem peças na mão. onsidere, na figura abaio, um jogo de dominó entre duas pessoas, após algumas rodadas. a) Quantas são as peças de um jogo de dominó? b) Suponha que, no momento da situação descrita na figura, nenhum dos dois jogadores tivesse tomado qualquer peça do monte. Sabendo que nenhum deles tem em suas mãos alguma peça que se encaie no jogo, calcule a probabilidade de que o jogador da vez, ao tomar uma peça do monte, encontre uma que se encaie. ibmecnov00

2 IM - /0/006 Seu pé direito nas melhores aculdades a) álculo do número total de peças: De 0 (sem marcação) até 6 pontos consideramos 7 marcações. ) Para os casos de número de pontos iguais, como 0 e 0, e, até 7 e 7, temos 7. = 7 peças 7! ) Para os casos de número de pontos diferentes, temos: 7, =!! = 7. 6 = peças Resposta: O número total de peças do jogo é 7 + = peças. b) Se cada jogador recebe inicialmente 7 peças, jogadores. 7 peças = 4 peças recebidas. Restam, portanto, - 4 = 4 peças no monte. Portanto, para continuar a jogar, as possibilidades de encaie para a peça? são seis: e 0; e ; e ; e 3; e 4 e e. s possibilidades de encaie para a peça? são três: e 0; e 4 e e 6. Portanto = 9 em um espaço amostral de 4 peças. Resposta: probabilidade de que o jogador da vez, ao tomar uma peça do monte, encontre uma que se encaie é 03. tendendo à eigência do estatuto do torcedor, uma federação de futebol designa os árbitros das partidas por meio de sorteio. Numa rodada em que serão realizadas quatro partidas, cinco árbitros (,,, D, ) foram previamente selecionados. Para cada partida, dois desses árbitros participarão do sorteio, com iguais probabilidades de serem escolhidos, sendo o vencedor do sorteio designado para dirigir aquela partida. tabela a seguir mostra detalhadamente como o sorteio será conduzido. a) Qual a probabilidade de que o árbitro dirija uma das quatro partidas? b) penas as partidas e 4 serão realizadas no interior do estado. Qual a probabilidade de que o árbitro dirija uma partida no interior do estado? c) Sabendo que o árbitro foi sorteado para dirigir a partida 4, qual a probabilidade de que o árbitro tenha sido sorteado para dirigir alguma partida desta rodada? Partida Árbitros que participarão do sorteio e Perdedor do sorteio da partida e 3 Perdedor do sorteio da partida e D 4 Perdedor do sorteio da partida 3 e a) probabilidade de que () não seja sorteado em nenhuma partida é = 6 probabilidade de qe dirija uma das quatro partidas será: P = 6 P = 6 a a b) Quadro de possibilidades: não, sim P = 6. ) Não e sim P =. = 4 ) a a a a não, não, 3 não, 4 P = sim... = 6 Resposta: probabilidade de que o árbitro dirija uma partida no interior do estado é P = = 4 + = 6 6. c) omo para a partida só podem disputar os árbitros e, sobram apenas as partidas e 3 para serem disputadas pelo árbitro. Possibilidades: a ou a, 3 a sim não sim Resposta: probabilidade de que o árbitro dirija alguma partida desta rodada é +. = + 4 = + 3 = 4 4. ibmecnov00

3 Seu pé direito nas melhores aculdades IM - /0/ onsidere um cubo DG, cujas arestas medem cm. Tomam-se os pontos J, K, L e M sobre as arestas,, G e D, respectivamente, de modo que J = K = d cm e GL = M = d cm, em que 0 < d < 4, como mostra a figura. M G L d Seja S a área, em cm, do quadrilátero JKLM. a) alcule S para que d seja igual a. b) alcule S para que d seja igual a 3. c) Determine d para que S seja a menor possível. d J D K a) Marcando K de modo que KK //, se = então KK = O triângulo formado LK K é retângulo, portanto, para d = : = + = + 64 = 9 = 9 Nesse caso, a área S é igual a: S =. S =. 9 cm J M D S K G L K b) Se d for igual a 3, a figura passa a ser a desenhada abaio, onde: = + = 64 + = 6 = 6 Nesse caso, a área S é igual a S =. S =. 6 cm G d M L J K d 6 D c) Para que S seja a menor área possível, ela deverá ser a de um quadrado. Logo, d + d = d = 3 0. onsidere a transformação em diferença de quadrados: a 4 + b 4 = a 4 + a b + b 4 a b = (a + b ) ( ab) a) Resolva em a equação 4 + = 0. b) alcule a área do quadrilátero formado pelas raízes da equação do item (a), quando representadas no plano rgand-gauss. Sabendo que a 4 + b 4 = a 4 + a b + b 4 a b = (a + b ) ( ab) é dado do problema, vamos resolver o item a) a) 4 + = ( + ) (. ) Podemos representar a equação por: L M = (L + M)(L M) Portanto: ( + + )( + ) = 0 (I) (II) (I) + + = 0 = (II) + = 0 = ± i ± i i + i i + i Resposta: S = ; ; ; b) Os vértices são de um quadrado, em que = O lado do quadrado (l) é o dobro de, portanto: l = l =. l = área do quadrado é: S = l S = ( ) S = +i i +i i l ibmecnov00

4 4 IM - /0/006 Seu pé direito nas melhores aculdades + se onsidere a função f() =. se < 0 a) sboce (no plano abaio) os gráficos de f() e de sua função inversa, f (). + se 0 (I) f() = se < 0 (II) Para a função f(), vamos tomar alguns pontos: (I) y (II) y 0 0 0, Para f (), vamos trocar por y, ou seja: se y = + = y + = y + y = para se y = = y y = y = ( ) y = ( ) para < Temos então que f, (I) () = ( ), < (II) Para a função f () = vamos tomar alguns pontos: (I) y (II) y b) Resolva a equação f() 7 = 3 7 f() = 3 é o mesmo que f() = hamando a função acima de g() = , resulta que g(3) = 4 e g( 4) =. Da intersecção dos gráficos y = f() e e y = g() abaio, podemos observar a única solução é = ,4 3 Observe, na figura ao lado, que os gráficos obtidos são simétricos. ibmecnov00

5 Seu pé direito nas melhores aculdades IM - /0/ primeira quadratura rigorosa de uma área curvilínea, conhecida como Lunas de ipócrates, feita por volta de 430 a.. pelo filósofo e geômetra de mesmo nome, está descrita na construção abaio. Os arcos, e são semi-circunferências. a) Se as medidas dos diâmetros e são, respectivamente, iguais a 3 e 3 3, calcule a soma das áreas das regiões sombreadas. b) hamando de c a medida do segmento e de h a medida da altura do triângulo com relação ao lado, determine a soma das áreas das regiões sombreadas em termos de c e h. a) Vamos considerar as seguintes áreas parciais: é a área do semi-círculo de raio ; é a área do semi-círculo de raio ; 3 é a área do triângulo ; 4 é a área do semi-círculo de raio. área total () pedida é = , portanto: = π ( 3) + π π 3 = 3 π 7π 69π = 39 soma das áreas das regiões sombreadas é 39. b) Seja = e = y. plicando Pitágoras, resulta: c = + y Substituindo em = π + π y + c. h π c h y π = π + y + ch π c = π ( + y c ) + ch c Substituindo o valor de c = + y na equação acima, resulta = π ( + y y ) + ch = 0 + ch soma das áreas das regiões sombreadas em termos de c e h é = ch. ibmecnov00

6 6 IM - /0/006 Seu pé direito nas melhores aculdades 0. Um professor decidiu dividir os alunos de uma classe em grupos para realizar um trabalho. o tentar dividílos em grupos de 4 componentes, constatou que restaria um aluno sem grupo. Quando tentou dividir a sala em grupos de componentes, novamente sobrou um aluno sem grupo. Por fim, o professor percebeu que, formando iguais quantidade de grupos de 4 e componentes, nenhum aluno ficaria sem grupo. alcule o número de alunos dessa classe, sabendo que esse número é menor do que 00. Seja T o total de alunos desta classe. omo sobrou aluno, se subtrairmos de T resulta (T ), e este número restante passa a ser múltiplo de 4 e e, portanto, múltiplo de 0. T {0; 0; 40; 60; 0} omo o número de alunos da classe é menor que 00, ou seja, T < 00, temos então que: T {; ; 4; 6; } omo o professor conseguiu formar igual número de grupos () de 4 e de alunos, temos que T = 4 + T = 9 T é múltiplo de 9. O único elemento do conjunto T múltiplo de 9 é o. Portanto, do número de alunos dessa classe é. 09. onsidere o sistema linear abaio = = = = = = 3 a) alcule b) Resolva o sistema linear dado. a) Observando o sistema, notamos que a soma, membro a membro, de todas as equações resulta: = 60 Simplificando, obtemos = 3 b) Se subtrairmos do resultado obtido no item (a) as equações do sistema dado, resulta: = ; = ; 3 = 3; 4 = ; = ; 6 = 3 Portanto, a solução do sistema é S = {; ; 3; ; ; 3} 0. Um programa de computador associa, a cada um dos seis números inteiros de a 6, sempre uma mesma figura, dentre as quatro apresentadas abaio: polígonos quadrado claro : triângulo escuro : coração claro : curvas círculo escuro : ssim, o usuário deve digitar um número inteiro de a 6, aparecendo na tela, em seguida, a figura associada àquele número. Das regras que o programa segue para fazer as associações, as 3 a seguir foram descobertas por um usuário: se o número digitado é par, desenhe um polígono; se o número digitado é múltiplo de 3, desenhe uma figura clara; se o número digitado é menor do que 3, desenhe uma figura escura. Sabe-se ainda que um usuário desse programa que digitou 3 números distintos obteve a seguinte seqüência de figuras: a) Qual a seqüência obtida por um usuário que digite, nessa ordem, os números, 6 e? b) Outro usuário do programa digitou quatro números consecutivos e obteve quatro figuras diferentes entre si. Qual a figura associada ao número 4? Justifique sua resposta. a) Substituindo valores às condições dadas no enunciado, temos: ) Se digitarmos ; 4 ou 6 ou ) Se digitarmos 3 ou 6 ou 3) Se digitarmos ou ou 4) Se digitarmos 3 números distintos olocando os dados acima em seqüência, resulta: ou 3 6 ou 4 ou ou ou ou omo 3 3 Portanto, ficamos com as seguintes associações ; ; 3 ; ; 6 Portanto 3 O usuário que digitar, nesta sequência, os números, 6 e obterá os símbolos ; e. b) Os quatro números consecutivos digitados podem estar dispostos das seguintes maneiras: a) ; ; 3; 4 ; ; ; b) ; 3; 4; ; ; ; c) 3; 4; ; 6 ; ; ; primeira sequência é a única que pode ter quatro figuras distintas e, para isso, devemos associadar ao número 4 o. ibmecnov00