Resolverei neste artigo uma prova da fundação VUNESP realizada em 2010.

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1 Olá pessoal! Resolverei neste artigo uma prova da fundação VUNESP realizada em (Fundação CASA 2010/VUNESP) Em um jogo de basquete, um dos times, muito mais forte, fez 62 pontos a mais que o seu adversário, que fez apenas a terça parte do total de pontos feitos pelo time vencedor. Nesse jogo, o time derrotado marcou (A) 21 pontos. (B) 31 pontos. (C) 32 pontos. (D) 42 pontos. (E) 48 pontos. É sempre bom nomear os entes envolvidos nas questões. O nosso objetivo é calcular os pontos marcados pelas equipes, desta maneira diremos que a equipe vencedora marcou V pontos e a equipe perdedora marcou P pontos. Sabemos que a equipe vencedora (a mais forte) marcou 62 pontos a mais que a equipe perdedora. 62 Além disso, sabemos que a equipe perdedora fez apenas a terça parte do total de pontos feitos pelo time vencedor. Isso quer dizer que a quantidade de pontos da equipe perdedora é igual à quantidade de pontos da equipe vencedora dividida por 3. 3 O número 3 que está dividindo o segundo membro, passa multiplicando para o primeiro membro da equação. Portanto, 3 Vamos substituir esta expressão na primeira equação Atenção! Lembre-se que, em álgebra, significa 1. Assim:

2 A equipe perdedora fez apenas 31 pontos. Letra B Como a equipe vencedora fez 62 pontos a mais, então o vencedor fez. 02. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a (A) 24. (B) 36. (C) 49. (D) 64. (E) 89. Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto? É óbvio que não! E por que não? Porque 10 não é um divisor de 84. Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem que haja resto? Sim! E por que sim? Porque 4 é um divisor de 84, ou seja, 84 dividido por 4 é igual a 21 e resto 0. Seguindo este raciocínio, o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do comprimento de cada rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos querendo calcular deve ser um divisor de 84, 144 e 60. Temos que calcular um número que seja divisor comum destes três números. O problema é que há vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4. O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior possível. Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum de 84, 144 e 60. Vocês conhecem este número como MDC: M de maior, D de divisor e C de comum. Vamos calcular o 84,144,60. Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números. 2

3 Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2? 84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a , 144, , 72, 30 Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente? 42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a , 144, , 72, , 36, 15 Pense em um número que divida 21, 36 e Que tal 3? 21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5. Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar Conclusão: cada pedaço terá 12 metros. O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio X será dividido em: 84 7 ç 12 Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 7 ç. O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Y será dividido em: , 144, , 72, , 36, , 12, 5 12 ç Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 12 ç. 3

4 O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Z será dividido em: 60 5 ç 12 Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 5 ç. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o seguinte raciocínio para calcular o total de pedaços. Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é igual a Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y é igual a Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é igual a O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos: Letra E ç 03. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Para uma prova, 150 candidatos deveriam ser acomodados nas salas A, B, C e D de um colégio, com capacidade para receber 60, 50, 40 e 30 candidatos, respectivamente. A organização decidiu preencher inicialmente todos os lugares da sala menor, e os candidatos restantes foram repartidos entre as demais salas de forma diretamente proporcional à capacidade de cada uma. O número de lugares não ocupados na sala de maior capacidade foi igual a (A) 8. (B) 10. (C) 12. (D) 14. (E) 16. A sala menor tem capacidade para 30 candidatos e será totalmente preenchida. Como são 150 candidatos, sobram candidatos. 4

5 Os candidatos restantes foram repartidos entre as demais salas de forma diretamente proporcional à capacidade de cada uma. Devemos dividir os 120 candidatos restantes em partes diretamente proporcionais a 60, 50 e 40. Vamos considerar que a primeira sala terá candidatos, a segunda sala terá candidatos e a terceira sala terá candidatos. Esses três valores,,, são diretamente proporcionais a 60, 50 e 40. Sabemos que Na teoria das proporções há uma propriedade muito interessante. Toda proporção pode ser prolongada. Ou seja, podemos acrescentar mais uma fração nas igualdades E quem fica no numerador desta fração? E quem fica no denominador? É muito fácil! O novo numerador é a soma dos numeradores e o novo denominador é a soma dos denominadores Ora, mas sabemos que 120, logo: Podemos simplificar a fração resultante por A pergunta feita é em relação à sala de maior capacidade. Ou seja, devemos calcular o valor de. Temos a seguinte igualdade: Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

6 Ora, a primeira sala tem capacidade para 60 pessoas e foi ocupada por 48 pessoas. Portanto, teremos 12 lugares vagos na sala de maior capacidade. Letra C 04. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Numa loja, Márcio e Cláudio compraram uma unidade cada de um mesmo produto, com o mesmo preço de tabela. Na negociação com o lojista, Márcio conseguiu um desconto de 15% sobre o preço de tabela, e vai pagar R$ 680,00 num certo prazo. Cláudio, que optou pelo pagamento à vista, conseguiu um desconto maior, e vai pagar R$ 608,00. O desconto sobre o preço de tabela obtido por Cláudio foi de (A) 18%. (B) 21%. (C) 22%. (D) 24%. (E) 25%. Se Márcio conseguiu um desconto de 15%, então ele não vai pagar o preço total. Na linguagem percentual, ele não vai pagar os 100%. Ele pagará apenas 85% do valor da mercadoria (100% 15% 85%. Desta maneira, o valor pago por Márcio corresponde a 85% do preço da mercadoria. Vamos chamar o preço da mercadoria de M. 85% ç % 680 Lembre-se que a expressão % significa / A mercadoria, sem desconto, vale 800 reais. Cláudio pagou apenas 608 reais. O desconto, em reais, foi de reais. Para calcular o desconto em termos percentuais, devemos dividir o desconto pelo valor original da mercadoria e, em seguida, multiplicar por 100% % % 24% O desconto obtido por Cláudio foi de 24%. Letra D 6

7 05. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Numa obra de um edifício, 2 elevadores de carga transportam lajotas do solo até um determinado andar. Enquanto um deles, menor, leva 40 peças por vez e demora 15 minutos para ir e voltar, o outro, maior, leva 60 peças por vez e demora 21 minutos para ir e voltar. Dessa maneira, pode-se afirmar que, no mesmo tempo que o elevador menor gasta para levar 280 peças, o elevador maior leva (A) 270 peças. (B) 300 peças. (C) 310 peças. (D) 320 peças. (E) 330 peças. O elevador menor levará 280 peças, levando 40 peças por vez. Portanto, ele vai e volta 7 vezes. Como ele demora 15 minutos em cada vez, ele demorará no total. Queremos saber quantas peças o elevador maior leva no mesmo tempo de 105 minutos. Este elevador maior demora 21 minutos para ir e voltar. Portanto, ele fará o mesmo percurso 105/21 = 5 vezes. Como ele leva 60 peças por vez, ele levará 5 x 60 = 300 peças. Poderíamos resolver esta questão com uma regra de três composta. Número de peças Peças por vez Tempo para ir e voltar Podemos simplificar a segunda coluna por dividido por 20 é igual a 2 e 60 dividido por 20 é igual a 3. Podemos simplificar a terceira coluna por dividido por 3 é igual a 5 e 21 dividido por 3 é igual a 7. Número de peças Peças por vez Tempo para ir e voltar Aumentando a quantidade de peças levadas em cada vez, o número de peças levadas aumentará. As grandezas são diretamente proporcionais. Aumentando o tempo para ir e voltar, o número de peças levadas diminuirá. As grandezas são inversamente proporcionais. Devemos inverter a terceira coluna na proporção. 7

8 Número de peças Peças por vez Tempo para ir e voltar Perceba que 280 dividido por 14 é igual a 20. Letra B ç 06. (Fundação CASA 2010/VUNESP) A altura média das 5 vendedoras de uma loja era 1,64 m. Mas uma dessas vendedoras entrou em licença maternidade, e para substituí-la foram contratadas 2 vendedoras temporárias, de alturas iguais a 1,64 m e 1,66 m. Assim, a altura média das vendedoras dessa loja passou a ser 1,65 m. A altura da vendedora que entrou em licença é (A) 1,59 m. (B) 1,60 m. (C) 1,61 m. (D) 1,62 m (E) 1,63 m. Vamos chamar de,,,, as alturas das 5 vendedoras. Vamos considerar que é a altura da vendedora que vai entrar em licença maternidade. Para calcular a altura média, devemos somar esses 5 valores e dividir o resultado por ,64 1,64 5 8,2 A vendedora de altura entra em licença maternidade. Ficamos com as vendedoras de alturas,,,. Em seguida entram duas vendedoras com alturas 1,64m e 1,66. Para calcular a média das alturas, devemos somar as 8

9 alturas das 6 vendedoras e dividir o resultado por 6. O enunciado nos informou que está nova média é igual a 1,65m. 1,64 1,66 6 3,3 6 1,65 1,65 3,3 1,65 6 3,3 9,9 9,9 3,3 6,6 Ora, mas sabemos que 8,2. Vamos substituir por 6,6. 6,6 8,2 1,60 A altura da vendedora que entrou em licença é 1,60m. Letra B 07. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um capital foi aplicado no sistema de juros simples durante 20 meses, e o montante recebido ao final da aplicação foi igual a 5/4 do capital inicial. A taxa anual de juros simples dessa aplicação foi (A) 15%. (B) 18%. (C) 20%. (D) 22%. (E) 25%. Em qualquer tipo de capitalização, seja ela simples ou composta, o montante é igual ao capital mais o juro obtido. O juro na capitalização simples é calculado a partir da seguinte fórmula: J é o juro, C é o capital, i é a taxa e n é o tempo de aplicação. O enunciado informou que o montante é igual a 5/4 do capital inicial. 9

10 Ora, na capitalização simples. 4 1 Podemos cancelar C que multiplica os dois membros. 4 1 Como o tempo de aplicação foi de 20 meses, então Como o tempo foi dado em meses, então a taxa calculada é mensal. O problema pede a taxa anual. Sabemos que um ano equivale a 12 meses, então para calcular a taxa anual, devemos multiplicar a taxa mensal por 12. Letra A ,15 15% (Fundação CASA 2010/VUNESP) Paulo consultou a tabela de classificação e constatou que o seu time, que é o 1.º colocado de um determinado campeonato, tem 4 pontos a mais que o 2.º, e este tem 4 pontos a mais que o 3.º colocado. Sabendo-se que o 3.º colocado tem exatamente a metade do número de pontos do 1.º, pode-se concluir que a soma dos pontos obtidos pelos três primeiros colocados nesse campeonato, até esse momento, é igual a (A) 20. (B) 24. (C) 28. (D) 30. (E)

11 Vamos considerar que o terceiro colocado tem pontos. O segundo colocado tem 4 pontos a mais que o terceiro, portanto ele tem 4 pontos. O primeiro colocado tem 4 pontos a mais que o segundo, portanto ele tem pontos. Resumindo: o primeiro colocado tem 8 pontos, o segundo colocado tem 4 pontos e o terceiro colocado tem pontos. O terceiro colocado tem exatamente a metade do número de pontos do primeiro O terceiro colocado tem 8 pontos. Logo, o segundo tem 12 pontos (4 a mais que o terceiro) e o primeiro tem 16 pontos (4 a mais que o segundo). Pode-se concluir que a soma dos pontos obtidos pelos três primeiros colocados nesse campeonato, até esse momento, é igual a pontos. Letra E 09. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Mariana gastou um total de R$ 125,00 na compra de um cartucho de tinta para sua impressora, um pen drive e um livro. Sabe-se que o cartucho de tinta custou R$ 12,00 a menos que o pen drive e R$ 19,00 a mais que o livro. Nesse caso, pode-se afirmar que o item mais caro custou (A) R$ 56,00. (B) R$ 52,00. (C) R$ 46,00. (D) R$ 44,00. (E) R$ 42,00. Vamos considerar que Mariana gastou reais na compra do cartucho de tinta para sua impressora, reais na compra do pen drive e reais na compra do livro. Mariana gastou um total de R$ 125,00 com essas mercadorias, logo: 11

12 125 O cartucho de tinta custou R$ 12,00 a menos que o pen drive O cartucho de tinta custou R$ 19,00 a mais que o livro Vamos substituir as duas expressões que estão nas caixas na primeira equação. O cartucho de tinta custou 44 reais. O pen drive custou 56 reais. O livro custou 25 reais Pode-se afirmar que o item mais caro é o pen drive e custou R$ 56,00. Letra A 12

13 10. (Fundação CASA 2010/VUNESP) A tabela mostra dados obtidos em uma pesquisa com um grupo de empresas sobre o fator que deve representar o maior obstáculo no processo de crescimento em 2010: Sabe-se que todas as empresas responderam a pesquisa. De acordo com a tabela, as empresas que acreditam que o maior obstáculo ao crescimento será a carga tributária excessiva representam, do total pesquisado, (A) 48%. (B) 55%. (C) 58%. (D) 60%. (E) 65%. Vamos colocar letras para representar os valores desconhecidos da coluna porcentagem. Fator Nºde Empresas Porcentagem Tributos Excessivos 120 a Taxa de Juros Câmbio 28 b Infra-Estrutura... 5 Não tem opinião 6 c O somatório de todas as porcentagens deve ser igual a 100. Logo: Ou seja, 77% das empresas que responderam a pesquisa acreditam que o maior obstáculo ao crescimento são os tributos excessivos (120 empresas), câmbio (28 empresas) e 6 empresas não têm opinião. Portanto, estas 154 empresas ( representam 77% do universo das empresas entrevistadas. 13

14 Queremos calcular o percentual que acredita que o maior obstáculo ao crescimento será a carga tributária excessiva. São 120 empresas que acreditam nisto. Ora, se 154 empresas correspondem a 77% do total, as 120 empresas que acreditam que o maior obstáculo ao crescimento é a carga tributária representam que porcentagem? Número de Empresas Porcentagem Diminuindo a quantidade de empresas, diminui o percentual. As grandezas são diretamente proporcionais. Número de Empresas Porcentagem Observe que 154 é o dobro de Conclusão: 60% das empresas acreditam que o maior obstáculo ao crescimento será a carga tributária excessiva. Letra D Um abraço e até o próximo ponto! Prof. Guilherme Neves 14

15 Relação das questões comentadas 01. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Em um jogo de basquete, um dos times, muito mais forte, fez 62 pontos a mais que o seu adversário, que fez apenas a terça parte do total de pontos feitos pelo time vencedor. Nesse jogo, o time derrotado marcou (A) 21 pontos. (B) 31 pontos. (C) 32 pontos. (D) 42 pontos. (E) 48 pontos. 02. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a (A) 24. (B) 36. (C) 49. (D) 64. (E) (Fundação CASA 2010/VUNESP) Para uma prova, 150 candidatos deveriam ser acomodados nas salas A, B, C e D de um colégio, com capacidade para receber 60, 50, 40 e 30 candidatos, respectivamente. A organização decidiu preencher inicialmente todos os lugares da sala menor, e os candidatos restantes foram repartidos entre as demais salas de forma diretamente proporcional à capacidade de cada uma. O número de lugares não ocupados na sala de maior capacidade foi igual a (A) 8. (B) 10. (C) 12. (D) 14. (E) (Fundação CASA 2010/VUNESP) Numa loja, Márcio e Cláudio compraram uma unidade cada de um mesmo produto, com o mesmo preço de tabela. Na negociação com o lojista, Márcio conseguiu um desconto de 15% sobre o preço de tabela, e vai pagar R$ 680,00 num certo prazo. Cláudio, que optou pelo pagamento à vista, conseguiu um desconto maior, e vai pagar R$ 608,00. O desconto sobre o preço de tabela obtido por Cláudio foi de (A) 18%. (B) 21%. (C) 22%. (D) 24%. (E) 25%. 15

16 05. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Numa obra de um edifício, 2 elevadores de carga transportam lajotas do solo até um determinado andar. Enquanto um deles, menor, leva 40 peças por vez e demora 15 minutos para ir e voltar, o outro, maior, leva 60 peças por vez e demora 21 minutos para ir e voltar. Dessa maneira, pode-se afirmar que, no mesmo tempo que o elevador menor gasta para levar 280 peças, o elevador maior leva (A) 270 peças. (B) 300 peças. (C) 310 peças. (D) 320 peças. (E) 330 peças. 06. (Fundação CASA 2010/VUNESP) A altura média das 5 vendedoras de uma loja era 1,64 m. Mas uma dessas vendedoras entrou em licença maternidade, e para substituí-la foram contratadas 2 vendedoras temporárias, de alturas iguais a 1,64 m e 1,66 m. Assim, a altura média das vendedoras dessa loja passou a ser 1,65 m. A altura da vendedora que entrou em licença é (A) 1,59 m. (B) 1,60 m. (C) 1,61 m. (D) 1,62 m (E) 1,63 m. 07. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um capital foi aplicado no sistema de juros simples durante 20 meses, e o montante recebido ao final da aplicação foi igual a 5/4 do capital inicial. A taxa anual de juros simples dessa aplicação foi (A) 15%. (B) 18%. (C) 20%. (D) 22%. (E) 25%. 08. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Paulo consultou a tabela de classificação e constatou que o seu time, que é o 1.º colocado de um determinado campeonato, tem 4 pontos a mais que o 2.º, e este tem 4 pontos a mais que o 3.º colocado. Sabendo-se que o 3.º colocado tem exatamente a metade do número de pontos do 1.º, pode-se concluir que a soma dos pontos obtidos pelos três primeiros colocados nesse campeonato, até esse momento, é igual a (A) 20. (B) 24. (C) 28. (D) 30. (E) (Fundação CASA 2010/VUNESP) Mariana gastou um total de R$ 125,00 na compra de um cartucho de tinta para sua impressora, um pen drive e um livro. Sabe-se que o cartucho de tinta custou R$ 12,00 a menos que o pen drive e R$ 19,00 a mais que o livro. Nesse caso, pode-se afirmar que o item mais caro custou (A) R$ 56,00. (B) R$ 52,00. 16

17 (C) R$ 46,00. (D) R$ 44,00. (E) R$ 42, (Fundação CASA 2010/VUNESP) A tabela mostra dados obtidos em uma pesquisa com um grupo de empresas sobre o fator que deve representar o maior obstáculo no processo de crescimento em 2010: Sabe-se que todas as empresas responderam a pesquisa. De acordo com a tabela, as empresas que acreditam que o maior obstáculo ao crescimento será a carga tributária excessiva representam, do total pesquisado, (A) 48%. (B) 55%. (C) 58%. (D) 60%. (E) 65%. 17

18 Gabaritos 01. Letra B 02. Letra E 03. Letra C 04. Letra D 05. Letra B 06. Letra B 07. Letra A 08. Letra E 09. Letra A 10. Letra D 18

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