AULA 10 REGRA DE TRÊS. 1. Sabendo-se que x + y + z = 18 e que x/2 = y/3 = z/4, calcule x. x 2. y 3. x 2. z 4

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1 AULA 0 REGRA DE TRÊS. Sabendo-se que y z 8 e que / y/ z/, calcule. Se / y/ z/, temos: y z, como desejamos saber o valor de, vamos isolar: y em função de : y y y z em função de : z z z z Agora que conhecemos y e z em função de, vamos substituí-los em: y z Três números são proporcionais a, e 5. Calcule sua soma, sabendo-se que o seu produto é igual a 960. Vamos por partes... PRIMEIRA ETAPA: Três números são proporcionais a, e 5. Sendo assim, vamos chamar de, y z y z y e z e montar as proporções:, e, ou seja,, e. Como são 5 5 y z proporcionais, temos: 5 Observação: perceba que esse eercício começa a ser parecido com o eercício.

2 SEGUNDA ETAPA: Calcule sua soma. Por enquanto, essa parte não é possível resolver. Vamos deiar para depois. TERCEIRA ETAPA: Como o eercício anterior, temos nesse eercício: y z, como desejamos saber o valor de, vamos isolar: 5 y em função de : y y z em função de : z z 5 5 QUARTA ETAPA: Do enunciado: Sabendo-se que o seu produto é igual a 960. Agora que conhecemos y e z em função de, vamos substituí-los em:.y.z QUINTA ETAPA: Uma vez determinado, vamos encontrar y e z. Sabemos que: y, assim com, temos: y. y z 5, assim com, temos: z 5. z 0

3 SEXTA ETAPA: Voltando a segunda etapa: Calcule sua soma. Vamos somar, y e z. Assim: y z 0 6. Humberto, Aline e Junior possuem uma livraria cujo investimento foi de 9 mil reais. Humberto entrou com mil reais, Aline com mil reais e Nilson com mil reais. O lucro da livraria é dividido em partes proporcionais ao investimento de cada um deles. O lucro do mês de maio foi de.800 reais. Calcule quanto cada um vai receber nesse mês. Novamente outro eercício semelhante ao eercício, porém que eige interpretação e transcodificação para linguagem matemática. Assim, temos que: Humberto Aline y Junior z Humberto R$.000,00 Aline R$.000,00 Nilson R$.000,00 Vamos resolver diferente, onde essa maneira pode ser resolvida no eercício anterior. Vamos somar o total que todos aplicaram: y z Agora vamos ver a proporção do lucro de 800 sobre Assim, temos a proporção de um quinto para cada pessoa (chamado de consciente de proporção), na qual: 000 Humberto reais Aline y reais Júnior z reais 5 5 5

4 PROVA REAL (Não precisa fazer) Se o lucro foi de R$.800,00, Humberto entrou R$ 00,00, Aline entrou com R$ 600,00 e Júnior com R$ 800,00 temos que: Acertamos!!!. Divida 5 em partes inversamente proporcionais a, e 6. Dica: faça esse eercício comparando com o terceiro eercício! Vamos lá... Inversamente proporcional de, e 6 é o mesmo que:, e 6 Vamos somar, e 6, assim temos: 6 9 Não se assuste! Como o eercício, nós somamos, porém aqui está em fração. Temos como consciente de proporção o Agora vamos ver a proporção de 5 sobre Assim, temos como consciente de proporção o 60. Como temos as proporções, e e o consciente de proporção 60, 6 podemos determinar para cada número a sua divisão proporcional. Assim:

5 5. Uma lavoura de grãos com 00 km de área plantada fornece uma produção de 5 toneladas por hectare. Sabe-se que as máquinas usadas colheram.000 toneladas por dia. Qual o tempo gasto para se fazer a colheita dessa lavoura? Nesse eercício será necessário converter quilômetro quadrado em hectare. Não vamos entrar no detalhe da conversão, pois geralmente esse tipo de valor é dado em eercício ou adquirido em diversas calculadoras na internet que realizam conversões de uniddades. Por eemplo, visite: Assim sendo, dado que km 00 hectares, vamos resolver esse eercício. Se km está para 00 hectares, então 00 km estará para. Assim, pela regra de três simples, temos que: hectares Como cada hectare proporciona 5 toneladas, então hectares proporcionará toneladas por hectare, pois 5 toneladas hectares é igual a toneladas. Como as máquinas colhem toneladas por dia, e temos a quantidade total de toneladas por hectare, sendo , temos que: toneladas Tempo toneladas 000 dia Tempo toneladas toneladas dia Tempo dia toneladas. toneladas 50 Tempo dia Tempo 5 dias

6 6. Um trem, com velocidade de 8 km/h, gasta hora e 0 minutos para percorrer certa distância. Para fazer o mesmo percurso a 60 km/h, quanto tempo o trem gastaria? Perceba que temos a unidade km/h e h 0min. Temos que transformar 0min em horas para que todas as unidades sejam idênticas. Pela regra três: se hora vale 60 minutos, então Quantas horas () valerá 0 minutos 0 Assim: hora. 60 De fato, 0 minutos equivale a um terço da hora. 0min 0min 0min 60min h Obs.: Daqui por diante, se desejar, pode utilizar decimal, onde 0,... Assim, hora mais de hora, ou,... Voltando ao eercício, utilizando a fração... Um trem, com velocidade de 8 km/h, gasta hora e 0 minutos para percorrer certa distância. Para fazer o mesmo percurso a 60 km/h, quanto tempo o trem gastaria? Pela regra de três simples e inversamente proporcional, pois: quanto maior minha velocidade, menor será meu tempo, temos: Velocidade (km/h) 8 Tempo (horas) 60 t Invertendo uma das duas grandezas, pois é inversamente proporcional: Velocidade (km/h) 60 Tempo (horas) 8 t

7 9 6 Assim: 60t t 60t 6 t t, t, não significa h6min!!! Vamos converter 0, em minutos, pois temos hora 0, hora Se hora vale 60 minutos, então 0, hora vale z minutos. Assim, temos: z 0, z, ou seja, z minutos Resposta: Tempo de hora e 0 minutos 7. Numa fábrica, operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 86 caias de papelão. Quantas caias serão feitas por 5 operários que trabalham 0 horas por dia? As grandezas são: operários, horas e caias. Assim, temos uma regra de três composta, sendo estruturada da seguinte forma: Operários Horas Caia Fiando a grandeza que possui a incógnita, vamos realizar as perguntas para saber se temos diretamente ou inversamente proporcional. Quanto mais horas trabalhar, mais caias serão produzidas. Diretamente proporcional. Assim: Operários Horas Caia Agora a relação entre caia e operários: Quanto mais operários, mais caias serão produzidas.

8 Diretamente proporcional. Assim: Operários Horas Caia Dessa forma, não será necessário inverter as proporções, podendo ser colocado na estrutura operatória, na qual a proporção com a incógnita será posta antes do sinal de igual e as demais proporções serão multiplicadas, após o sinal de igual. Veja: Assim, serão feitas 50 caias Vinte máquinas, trabalhando 6 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para eecutar o mesmo serviço se trabalharem 0 horas por dia, durante dias? Grandezas: máquinas, horas por dia e dias Máquinas Horas por dia Dias Quanto mais máquinas, menos horas por dia serão necessários. Inversamente proporcional. Assim: Máquinas Horas por dia Dias Agora a relação entre máquinas e dias:

9 Quanto mais máquinas, menos dias serão necessários. Inversamente proporcional. Assim: Máquinas Horas por dia Dias Vamos converter as proporções inversas para diretas, invertendo as proporções horas por dia e dias e mantendo máquinas. Poderia ser a inversão de máquina, desde que não invertesse horas por dia e dias. Máquinas Horas por dia Dias Estruturando: Assim, serão necessárias 8 máquinas. 9. Numa indústria têtil, 8 alfaiates fazem 60 camisas em dias. Quantos alfaiates serão necessários para que sejam feitas.080 camisas em dias? Grandezas: alfaiates, camisas e dias Alfaiates Camisas Dias Quanto mais alfaiates, mais camisas serão produzidas. Diretamente proporcional. Assim:

10 Alfaiates Camisas Dias Agora a relação entre alfaiates e dias: Quanto mais alfaiates, menos dias serão necessários. Inversamente proporcional. Assim: Alfaiates Camisas Dias Vamos converter as proporções inversas para diretas. Alfaiates Camisas Dias Estruturando: Assim, serão necessários 6 alfaiates. 0. Em 8 horas, 0 caminhões descarregam 60 m de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 5 m? Ver a resolução na própria folha de questão.

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