Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma?

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1 GUIÃO REVISÕES Equações e Inequações Equações Numa turma de 6 alunos, o número de raparigas ecede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? O objectivo do problema é determinar o número de rapazes da turma, comecemos por designar este valor por. O número de raparigas ecede em o número dos rapazes o que significa em linguagem matemática que o número de raparigas é. A turma tem no total alunos, logo. É necessário descobrir o valor de que transforma esta epressão em. Podemos sugerir vários valores para. Se então eistem alunos, o que é falso. Logo não eistem apenas rapazes. Se então. Logo não eistem apenas 10 rapazes. Se então. Logo eistem 11 rapazes. Este procedimento poderá ser moroso quanto mais complicado for o problema. Eiste um método que nos permite encontrar soluções para incógnitas de um modo mais simples e prático. Trata-se da resolução de equações. O que é uma equação? No tema anterior estudamos a simplificação de epressões com e sem incógnitas no entanto se igualarmos duas epressões que envolvam incógnitas ficamos perante uma equação. Assim, uma equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma incógnita. Página 1 de 1

2 O significa resolver uma equação? Resolver uma equação não é nada mais do que um processo para encontrar um valor (ou valores) desconhecido (s), uma incógnita. Sempre que estiver perante um problema onde precisar de saber determinado valor deve designa-lo por uma letra (incógnita) e recorrer a um conjunto de regras para o encontrar Uma equação pode ser comparada a uma balança como a da figura ao lado. Numa balança o equilíbrio consegue-se quando os dois pratos têm a mesma massa. Cada alteração que seja feita num dos pratos terá que ser feita no outro, caso contrário, a balança entra em situação de desequilíbrio. Então, ao resolver uma equação cada operação que se realize no primeiro membro terá que ser realizada no segundo. Equações equivalentes Duas equações dizem-se equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. Obtemos equações equivalentes ao procedermos à simplificação desta. O que é a solução da equação? A solução de uma equação é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira. Quando estamos a resolver uma equação que traduz um problema é necessário ter em atenção a validade desta. Por eemplo, se num problema a nossa incógnita representa uma medida de comprimento e a solução é um número negativo é importante verificar que esta solução não é válida no conteto do problema pois não eistem comprimentos negativos. Página de 1

3 .. z.. Equações do 1º grau Princípio da adição e da multiplicação Para isolar o é necessário eliminar o -1, para tal, vamos adicionar o simétrico de -1 a cada um dos membros Para isolar o é necessário eliminar o 1, para tal, vamos adicionar o simétrico de 1 a cada um dos membros. 1 1 Para isolar o é necessário eliminar o, para tal, vamos multiplicar pelo inverso de cada um dos membros Para isolar o é necessário eliminar o, para tal, vamos multiplicar pelo inverso de cada um dos membros. Resolva a equação do problema inicial, 1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no º membro e reduza os termos semelhantes; º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita; 3º Identifique o conjunto solução. Página 3 de 1

4 Resolva a equação. 1º Comece desembaraçar de parênteses; º Reduza as parcelas ao mesmo denominador; 3º Elimine os denominadores; 4º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no º membro e reduza os termos semelhantes; 5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita; 6º Identifique o conjunto solução. Página 4 de 1

5 Teste os seus conhecimentos 1) Resolva as seguintes equações: a) b) c) ) Resolva os seguintes problemas: a) O dono de uma oficina apresentou um orçamento de 4,5 para reparar um automóvel. O carro precisa de uma peça nova de 80 e o mecânico ganha 5 à hora. Quantas horas levam o mecânico a reparar o carro? b) A Marta foi ao bar da escola e gastou metade do dinheiro que tinha num sumo, dois terços do restante num bolo e ainda lhe sobrou 50 cêntimos. Quanto dinheiro tinha a Marta? c) O automóvel do Vítor é mais novo três anos do que o automóvel da Sara. Daqui a dois anos, a soma das idades dos dois carros será igual ao triplo da idade actual do carro do Paulo que é mais novo dois anos que o carro do Vítor. Qual a idade dos três carros? Até agora. Definição de equação Resolução de equações do 1º grau Resolução de equações do º grau Página 5 de 1

6 Equações do º grau Um tapete rectangular tem de área. O comprimento ecede em metro a medida da largura. Qual o comprimento do tapete? Dado que o tapete é rectangular, a sua área é dada pela multiplicação do comprimento pela largura. Se considerar que o tapete tem metros de largura terá metros de comprimento logo, Como o tapete tem de área então, É possível determinar o valor de representada? analiticamente? Que tipo de equação está aqui forma Uma equação diz-se do º grau se depois de simplificada se escreve na com e. Esta forma denomina-se forma canónica. são os coeficientes da equação do º grau. Se e/ou a equação chama-se equação de º grau incompleta. Antes de resolvermos o problema vamos resolver alguns eercícios que nos permitem fazer uma breve revisão das equações do º grau. Resolva as seguintes equações: a) b) c) a) A equação é uma equação do º grau incompleta do tipo pois. Página 6 de 1

7 1º Comece por factorizar o 1º membro, isto é, transforme o 1º membro num produto de factores. Neste caso basta colocar o evidência em Lei do anulamento O produto de dois factores é zero º Aplique a lei do anulamento do produto quando pelo menos um deles é zero. Note que 3º Simplifique Logo, Se então Se então. 4º Identifique o conjunto solução. b) Note que a equação é uma equação do º grau incompleta do tipo pois. 1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e os termos sem incógnita no º membro; º Simplifique; 3º Identifique o conjunto solução. c) 1º Comece desembaraçar de parênteses e escrever a equação na forma canónica; Página 7 de 1

8 A equação de zero. é do º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes Para resolver uma equação do segundo grau completa devemos aplicar a fórmula resolvente Fórmula resolvente As equações do º grau incompletas também podem ser resolvidas através da fórmula resolvente. Poderá optar pelo processo que considerar mais adequado. º Identifique os coeficientes da equação,, e aplique a fórmula resolvente; 3º Identifique o conjunto solução. Teste os seus conhecimentos 1) Resolva as seguintes equações: a) 1 3 b) 4 c) d) e) Página 8 de 1

9 ) Se ao quadrado da idade do Joaquim adicionarmos o triplo da idade dele, e em seguida subtrairmos trinta anos, obtemos o dobro da idade do Joaquim. Qual é a idade do Joaquim? 3) Uma piscina rectangular, com dimensões de por, tem a toda a volta uma parte com relva de largura, como mostra a figura. Sabendo que a área total ocupada pela piscina e pela relva é igual parte com relva., calcule a largura da Inequações Inequações do 1º grau Qual dos seguintes rectângulos representados na figura ao lado, tem maior perímetro? A B Os rectângulos têm o mesmo comprimento, logo, terá maior perímetro o que tiver maior largura. Suponhamos que pretendemos determinar os valores de de modo a que o perímetro do rectângulo B seja maior que o do rectângulo A. Traduzindo o problema em linguagem matemática vem, Página 9 de 1

10 Estamos perante uma inequação! Mais à frente iremos ver como a podemos resolver. Mas facilmente conseguimos tirar as seguintes conclusões: Se Se Se, o rectângulo B tem o maior perímetro., o rectângulo A tem maior perímetro., os dois rectângulos têm igual perímetro. O que é uma inequação? Uma inequação é uma desigualdade onde figura pelo menos uma incógnita. Como tal, numa inequação está sempre presente um dos símbolos,, ou. Resolve-se uma inequação do 1º grau do mesmo modo que se resolve uma equação? A resposta a esta pergunta é sim com uma única diferença. Quando numa inequação é necessário multiplicar ou dividir os dois membros por um número negativo, é necessário inverter o sinal da desigualdade. Verifique a diferença no seguinte eemplo, Equação Inequação Verdadeiro Falso Verdadeiro Ao multiplicar os dois membros por inverte-se o sinal da desigualdade. Voltando a problema inicial, Concluímos assim que o rectângulo B é maior que o rectângulo A para todos os valores de maiores do que. Página 10 de 1

11 Indique o conjunto que verifica a condição 1º Comece desembaraçar de parênteses; º Reduza as parcelas ao mesmo denominador; 3º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no º membro e reduza os termos semelhantes; 4º Multiplique ambos os membros por e inverta o sinal da desigualdade 5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita; 5º Identifique o conjunto solução. Página 11 de 1

12 Teste os seus conhecimentos 1) Represente, utilizando intervalos de números reais, o conjunto solução de cada uma das seguintes condições: a) b) c) ) Determine os valores inteiros que C pode tomar de modo que a fracção seja menor do que 10 e menor do que 9. 3) As dimensões de um rectângulo são por. Determine de modo que o perímetro esteja compreendido entre e. 4) Pretende-se transportar num camião um certo número de sacos de mercadoria A (pesando 100Kg cada saco) e o dobro desse número de sacos de uma mercadoria B (pesando 75Kg cada saco). A carga do camião tem que ser inferior a 3 toneladas mas não é rentável transportar menos de toneladas de carga. Qual o número mínimo e o número máimo de sacos que podem ser transportados? Página 1 de 1

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