Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano

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1 Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano

2 Conteúdos do 8º Ano Teorema de Pitágoras Funções Semelhança de triângulos Ainda os números Lugares geométricos Estatística

3 Conteúdos do 7º Ano Do Espaço ao Plano Semelhança de Figuras ( está abordado nos conteúdos do 8º ano) Conhecer melhor os números Conjuntos e operações Equações Proporcionalidade direta Estatística (está abordado nos conteúdos do 8º ano)

4 Teorema de Pitágoras Teorema: Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Determinação da hipotenusa C = a +b a b Determinação de um cateto c 1 cm h h = h = h = 169 h = 13 cm c 15 cm 15 = c = c = c C = 144 C = 1 5 cm 9 cm

5 Semelhança de triângulos Critérios de semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se: Tiverem dois ângulos geometricamente iguais Tiverem os três lados correspondentes diretamente proporcionais Tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual

6 Semelhança de triângulos Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos 1. Determina a altura da árvore. Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes? Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB. Determinação da altura da árvore. 5, = h h = 5, x 0,8 : 1,6 1,6 0,8 h = 5, x 0,8 : 1,6 h =,6 m A altura da árvore é de,6 metros. 3,6 + 1,6 = 5, m

7 Semelhança de triângulos Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então: A razão entre os perímetros de A e B é r. A Razão entre as áreas de A e B é r. P B :P A = r A B :A A =r

8 Funções Definição : Uma função é uma correspondência entre A e B Formas de definir uma função: Por um diagrama Por uma tabela Por uma expressão analítica Por um gráfico

9 Funções definidas por um diagrama Ex. Funções A 1 3 f B Ex. Não são funções D f = {1;,3} A Conjunto de Partida D f = {-1;-,-3} B Conjunto de chegada 1-1 Objetos: 1;,3 Imagens: -1;-;-3 f ( ) = - f ( x ) = -x

10 Funções definidas por uma Tabela Seja a função f definida pela tabela seguinte Lado de um quadrado (L) Perímetro do quadrado (P) D f = {1;,3;4} D f = {4;8;1;16} Objetos: 1;,3;4 Imagens: 4;8;1;16 Variável independente: Lado do quadrado Variável dependente: Perímetro do quadrado f ( ) = 8 f ( x ) = 4x

11 Funções definidas por uma expressão analítica Seja a função f definida pela seguinte expressão analítica f(x ) = x -1 Calcular a imagem sendo dado o objeto f(3) = x 3-1 f(3) = 5 Calcular o objeto sendo dada a imagem (3;5) e (8;15) pertencem á reta que é gráfico da função f. f(x) = 15 x 1 = 15 x = x = 16 x = 8

12 Funções definidas por um gráfico Variável independente: Peso Variável dependente: Custo F( ) = 1 F(1) =.. Tipo de função: Linear Expressão analítica: f(x) = 6x

13 Ainda os Números omúltiplos e divisores opotências onotação cientifica

14 Múltiplos e divisores ( m.m.c) 1º processo M 1 = {0;1;4;36;48;60 } M 30 = {0;30;60 } m.m.c = {60} Determina o m.m.c(1;30) º processo = x 3 30 = x 3 x 5 m.m.c = x 3 x5 = 60 Produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados ao maior expoente

15 Múltiplos e divisores ( M.d.c) 1º processo D 1 = {1;;3;4;6;1} D 30 = {1;;3;5;6;10;15;30} M.d.c = {6} Determina o m.d.c(1;30) º processo = x 3 30 = x 3 x 5 M.d.c = x 3 = 6 Produto dos fatores primos comuns elevados ao menor expoente

16 Potências Regras operatórias das potências Multiplicação Com a mesma base - x 7 = 5 Com o mesmo expoente (-) 3 x (-7) 3 = 14 3 ()3 Divisão Com a mesma base - : 7 = -9 = Com o mesmo expoente (-4) 3 : (-6) 3 = 4 3 Potencia de potência ( 3 ) 5 = 15 Potencia de expoente inteiro negativo 5-1 = 1 5 Potencia de expoente nulo 5 0 = 1

17 Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10 n, com 1 a<10 Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica 53 x , ,9 x 10 5 Operações com números escritos em notação científica Multiplicação (,1 x 10-3 ) x ( x10 8 ) = (,1 x) x (10-3 x 10 8 ) = 4, x 10 5 Divisão (8,04 x 10-7 ) : ( 4,0 x 10 5 ) =,0 x 10-1

18 Lugares geométricos Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência. O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior. exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

19 Lugares geométricos r r 1 Coroa circular: É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r 1 e menor ou igual a r de um ponto C. Mediatriz de um segmento de reta É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de reta [AB]

20 Lugares geométricos Bissetriz de um ângulo A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo. circuncentro Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triangulo. Incentro - Ponto de intersecção das bissetrizes dos lados de um triangulo. Baricentro Ponto de intersecção das medianas de um triângulo

21 Lugares geométricos no espaço Superfície esférica e esfera Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica. A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

22 Lugares geométricos no espaço Plano mediador O plano mediador de um segmento de reta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de reta. O plano mediador é perpendicular ao segmento de reta e contém o ponto médio desse segmento de reta.

23 Estatística orecolha de dados otabelas de frequências ográficos omedidas de tendência CENTRAL

24 Exemplos: Estatística Recolha de dados qualitativos Representam a informação que não suscetível de ser medida, mas de ser classificação. Tipo de dados quantitativos Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua. -Cor dos olhos dos alunos de uma turma. Podem ser castanhos, azuis ou verdes. Exemplo Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP. Exemplo Notas de Matemática, do 7ºF, no final do º período.

25 Estatística - Contagem dos dados Que número calças? 37;41;38;39;4;37; 40;39;41;39;39;40; 39;39;40;39;38; total

26 Estatística - Tabelas de frequências X 100% total Frequência absoluta (f) Frequência relativa (f r ) 1 : 18 = 0,06 : 18 = 0,11 : 18 = 0,11 7 : 18 = 0,39 3 : 18 = 0,16 F r em percentagem 6 % 11 % 11 % 39 % 16 % : 18 = 0,11 11 % 1 : 18 = 0,06 6 % 1, %

27 frequencia absoluta Estatística - Gráficos de barras Número do sapato dos alunos de uma turma nº do sapato

28 = 1 aluno Pictograma Estatística - Pictograma Número do sapato dos alunos do 7º F nº do sapato

29 Estatística - Gráficos circulares total Frequência absoluta (f) Graus º 40º 40º 140º 60º 40º 0º 360º x x x x 360 x x x 70 x x x x7 50 x x x x x x x

30 Estatística - Gráficos circulares Número do sapato dos alunos 17% 11% 6% 6% 38% 11% 11%

31 Estatística Medidas de tendência central Média Frequência absoluta (f) Total 18 X X X X 39,1 18 A média do número do sapato dos alunos é 39,1

32 Estatística Medidas de tendência central Frequência absoluta (f) Total 18 Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos. Neste caso a moda é 39. Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. ( ) : = 39 36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;4

33 Equações EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras. 3x+5=-x+4 3+(5--4) = 3+1 Sou equação Não sou equação 3 x 3x 4 x 1º membro º membro 3 termos: x ; - ; 3x ; - 4 ; - x incógnita: x termos com incógnita: 3x ; - x ; termos independentes: - ; -4 3 x

34 Equações Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira 3x proposição 6 SOLUÇÃO x x 15 verdadeira 5 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO Mesmo conjunto solução Equações equivalentes: x x 15

35 Equações sem parênteses e sem denominadores 5x 6 3x x Conjunto solução 4 5x 3x 6 4 x x 5 5 Resolver uma equação é determinar a sua solução. Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes efetuamos as operações. Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita. Determinamos a solução.

36 EQUAÇÕES COM PARÊNTESES simplificação de expressões com parênteses: Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos 3x 5 x 3x termos que estão dentro x 5 Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que 5x 1 3x 5x estão dentro. 3x 1 Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva. 3x 3 x 1 6x 6 x

37 Como resolver uma equação com parênteses. x 1 35 x 6 x 8 x 115x 6 6 x 8 x 15x x x 3 1x 1 x C.S = 1 4 Eliminar parênteses. Agrupar os termos com incógnita. Efetuar as operações Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita Determinar a solução, de forma simplificada.

38 EQUAÇÕES COM DENOMINADORES 1 x 3 x x 1 4x x 1 4x x 1 4x x 18 6x 4x x 9 Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador. Duas frações com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.

39 3x 5x 3 Sinal menos antes de uma fração Esta fração pode ser apresentada da 3x 5x 3 seguinte forma O sinal menos que se encontra antes da fração afeta todos os termos do numerador. 1 x 1 x x 1 x 8 3 () 4x 1 3x (6) (3) (3) 4x x x 43 x x 7 Começamos por desdobrar a fração que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!) Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores. 43 7

40 EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores 3 x 1 x x 1 3 3x 3 x x (3) (3) (3) () () 9x 93x 4x 9x 3x 4x 9 x 11 x 11 x 11 C.S.= 11

41 Proporcionalidade direta Razão Dados dois números a e b (com b 0 b representa-se por: ), a razão entre a e a: b ou a b (ler: razão de a para b ). Termos a b antecedente consequente

42 GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS Exemplo 3 A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo. Número de iogurtes Preço (em ) 0,50 1 1,50... Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc. Número de iogurtes Custo (em ) 0,50 1 1, Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes. 3

43 PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE Número de iogurtes Custo (em ) 0,50 1 1,50... Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade directa? Observa a tabela e completa: 0,5 1 0,5 ; 1 0,5 ; 1,5 3 0,5 ; 4 0,5 ;... Logo, Custo 0,5 1 1,5... Número de iogurtes = ou seja, o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a. 0,5 0,5

44 Sendo assim, diz-se que: O custo é directamente proporcional ao número de iogurtes. Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade e representa o preço de 1 iogurte. De um modo geral, A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x Se numa tabela cada valor de uma linha se obtém multiplicando (ou dividindo) o valor correspondente da outra linha sempre pelo mesmo número, então as grandezas nela representadas são directamente proporcionais. se existe um número k, de modo que: y x k ou y kx ; se y é zero, x também é zero. Ao número k chama-se constante de proporcionalidade.

45 PROPORCIONALIDADE DIRECTA E GRÁFICOS CARTESIANOS Número de iogurtes Custo (em ) 0,50 1 1,50... Exercício 1 de iogurtes. Com base na tabela, constrói um gráfico cartesiano que relacione o preço com a quantidade Preço (em ) 1 O,5 1,5 1 3 n.º iogurtes

46 Percentagens 5 % de 10 chocolates são 0,05 x 10 = 6 6 chocolates em 50 são % % x = 6 x 100 : x 150 acrescidos de 10% são % de 150 = = com um desconto de 0% 500-0% de 500 = = 400

47 Resolução de problemas envolvendo Percentagens 1- O preço de um sofá é de 300, sem IVA. Sabendo que o IVA é 1%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá? 1% de 300 = 300 x 1% = = 363 O preço final do sofá é 363 euros. - Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 4 euros. Qual foi a percentagem de desconto? Euros % x x = 4 x 100 : 56 = 75% % = 5 % O desconto foi de 5%.

48 Conjuntos numéricos IN IN IN - Conjunto dos números Naturais IN = {1;;3;4;5;6 } IN 0 - Conjunto dos números Inteiros IN 0 ={0;1;;3;4;5;6 } Z - Conjunto dos números Inteiros relativos Q Z Z= { -3;-;-1;0;1;;3; } Q- Conjunto dos números racionais Q = z U { números fracionários} Completa com os símbolos ; ; ; -1.. N 1,4.. Z -3 Z- 0 N 3 N 4 Z- N Z,3 Q

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