Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz"

Transcrição

1 setor SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n onde I n é a matriz identidade de ordem n. Observação Pode-se provar que: º-) Se A A = I então A A = I. º-) A é invertível se, e somente se, deta 0. 3º-) det A = deta Exercícios. eterminar x de modo que a matriz A = 0 x 3 0 evemos ter det A 0 0 x x 3 0 x 9 x 9 seja invertível.. Obtenha a matriz inversa da matriz: A = 0 I det. A = ( A ) II seja A a b = c d A A a b 0 = I = 0 c d 0 a c b d 0 = c d 0 a c = b d = 0 c = 0 c = 0 d = d = a 0 = a = b = 0 b = Resposta: A = 0 ALFA ANGLO VESTIBULARES

2 3. Seja A = 5 x. O valor de x tal que det A = é: 3 3 x a) d) 4 b) e) 0 c) 3 det A = det A = x x 5 x det A = = 5 3 x 3 3 Assim: x = 5 3x 4x = 6 x = 4 ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Caderno de Exercícios Unidade III Tarefa Mínima Leia os itens a 5, cap. 3. Resolva os exercícios (a, b),, 3 e 4, série 3. Tarefa Complementar Resolva os exercícios 5 a 7, série 3. Aula 36 SISTEMAS LINEARES NOÇÕES GERAIS E CRAMER I. NOÇÕES GERAIS. EQUAÇÃO LINEAR Chamamos de equação linear nas incógnitas x, x,, x n, toda equação do tipo a x a x a n x n = b onde, a, a,, a n são números quaisquer chamados coeficientes e b também é um número chamado termo independente.. SISTEMA LINEAR É um conjunto de n(n ) equações lineares nas mesmas incógnitas. Exemplos: x y 3z = 4. x y z = 3x z = 7 x y z = 0. x y z = 0 x y z = 0 x y z = 3. 3x y 7z = 4 Chamamos de sistema linear homogêneo aquele onde todos os termos independentes valem zero. É o caso do exemplo. 3. SOLUÇÃO E UM SISTEMA Chamamos de solução de um sistema linear, todo conjunto ordenado de números (α, α,, α n ) que colocados, respectivamente, nos lugares de x, x,, x n fazem com que todas as equações fiquem sentenças verdadeiras (isto é, igualdades numéricas). No sistema x y = 7 x y = 3 O conjunto (5, ) é solução, pois x y 5 = 7 (V) 5 = 3 (V) Porém, o conjunto (3, 4) não é solução, pois 3 4 = 7 (V) 3 4 = 3 (F) 4. CLASSIFICAÇÃO E UM SISTEMA ado um sistema linear, se ele tiver pelo menos uma solução diremos que é possível, caso contrário diremos que é impossível (ou que suas equações são incompatíveis). Se o sistema for possível e tiver uma só solução chamaremos o sistema de determinado. Se o sistema for possível e tiver mais de uma solução chamaremos o sistema de indeterminado. Em resumo: determinado Possível Sistema indeterminado Impossível ALFA ANGLO VESTIBULARES

3 Exemplos:. O sistema x y = 0 x y = é possível e determinado, pois só admite a solução (6, 4).. O sistema x y = 0 3x 3y = 0 é possível e indeterminado, pois admite as soluções (0, 0), (4, 4), ( 7, 7),,, (π, π),, (α, α) α 3. O sistema x y = x y = é claramente impossível. 4. O sistema x y = 3 0 x 0 y = é impossível (a última equação nunca é satisfeita). OBSERVAÇÃO O sistema homogêneo sempre admite solução (pelo menos a nula). Portanto o sistema homogêneo é sempre possível. O sistema 3x y 5z = 0 x y 4z = 0 admite a solução nula (0, 0, 0), pois = 0 (V) = 0 (V) II. TEOREMA E CRAMER Consideremos o sistema linear a x b y = c a x b y = c Sejam, = a b a b o determinante da matriz dos coeficientes. a c = y a c O teorema de Cramer afirma que: Se 0, então o sistema linear é determinado e a solução única (x, y) é dada por x e y x y = =. Justificativa: a x b y = c O sistema linear a x b y = c c a x de I : y = b substituindo em II : a b x b c a b x = b c (a b a b )x = b c b c bc bc x = ab ab b c b c ou ainda: x = ab ab logo: x = x, ( 0) Substituindo em uma das equações teremos que y y = o determinante da matriz de substituição dos termos independentes na ª- coluna. c a x a x b c b =, ( 0) OBSERVAÇÃO: O teorema que acabamos de verificar para sistemas de duas equações a duas incógnitas é válido também para qualquer sistema de n equações a n incógnitas (desde que, 0). O enunciado geral é: Se um sistema de n equações a n incógnitas tiver 0, então ele será determinado e o valor de cada incógnita é dado por uma fração que tem no denominador, e, no numerador, o determinante da matriz dos coeficientes, substituindo-se a coluna dos coeficientes da incógnita, pela coluna dos termos independentes do sistema. I II c b x = c b o determinante da matriz de substituição dos termos independentes na ª- coluna. ALFA ANGLO VESTIBULARES

4 Exercícios. Resolver, aplicando a regra de Cramer: x y = x 3y 3z = x z = 0 = 3 3 = 0 0 x = 3 3 = _ 0 0 y = 3 = 4 z = 3 = Resolver pela Regra de Cramer: ax y = b bx y = a (a b) a = b = a b b x = a = b a = (a b) a b y = b a = a b = (a b) (a b) (a b) x = x = a b = (a b) (a b) y = y = = a b a b S = {(, a b)} x Logo, x = = y y = = z z = = S = {(,, )}. Para que valores de m o sistema: mx 3y = 7 é possível e determinado? 4x y = 9 a) m 3 b) m 3 c) m 6 d) m = 6 e) m, m IR. evemos ter: 0 m 3 = 0 m 0 4 m 6 ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Caderno de Exercícios Unidade III Tarefa Mínima Leia os itens,, 3, 5 e 6, cap. 4. Resolva os exercícios,, 3 e, série 4. Tarefa Complementar Resolva os exercícios (a), 3, 4 e 5, série 4. ALFA ANGLO VESTIBULARES

5 Aulas 37 e 38 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS ESCALONAOS ESCALONAMENTO SISTEMAS ESCALONAOS. EFINIÇÃO Consideremos um sistema linear onde, em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo. iremos que o sistema está na forma escalonada (ou escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. Exemplos: ) ) 3) x y 3z = y z = 4 z = 5 4x y z t w = z t w = 0 t w = x y z = 5 y z = 0. RESOLUÇÃO E UM SISTEMA ESCALONAO Há dois tipos de sistemas escalonados a considerar, vejamos quais são, e como se resolvem. º- tipo) Número de Equações Igual ao de Incógnitas Nesse caso, o sistema será determinado e cada incógnita é obtida resolvendo-se o sistema de baixo para cima. x y z = 4 3y z = 3z = 6 I II III de III z = em II 3y = y = em I x = 4 x = 0 Solução: (0,, ) º- tipo) Número de Equações é Menor que o de Incógnitas Nesse caso, escolhemos as incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma equação (variáveis livres) e as transpomos para o º- membro. Em seguida, para cada variável livre atribuímos um valor arbitrário e resolvemos o sistema nas incógnitas do º- membro. O fato de atribuirmos valores arbitrários a algumas das incógnitas faz com que o sistema tenha mais do que uma solução e seja, portanto, indeterminado. x y z = 4 y z = A única variável livre é z (não aparece no começo de nenhuma equação). Transpondo z para o º- membro, teremos x y = 4 z y = z atribuindo a z um valor arbitrário α, teremos x y = 4 α y = α então, II y = α em I x ( α) = 4 α x = 6 Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas (6; α; α), onde α é um número qualquer (real ou complexo). Eis algumas: α = (6; 3; ) α = 6 (6; 4; 6) α = 0 (6; ; 0) 3. ESCALONAMENTO E UM SISTEMA A) Sistemas Equivalentes ados dois sistemas lineares S e S, diremos que eles são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução. x y = 3 x y = 3 S e S x y = 3y = 5 são equivalentes, pois ambos são determinados ( 0) e admitem como solução ; I II Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções, o que iremos fazer é transformar um sistema linear qualquer num outro equivalente, porém na forma escalonada. Isto, porque sistemas escalonados são fáceis de se resolverem. Precisamos então saber que recursos usar para transformar um sistema S num outro equivalente S, na forma escalonada. Os recursos são os teoremas que veremos a seguir. ALFA ANGLO VESTIBULARES

6 TEOREMA Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema S, por um número k 0, o novo sistema S será equivalente a S. TEOREMA Se substituirmos uma equação de um sistema S, pela soma membro a membro, dela com uma outra multiplicada por um número obteremos um sistema S equivalente a S. Os sistemas x y = 4 x y = 4 S e S x 3y = 8 4y = são equivalentes, pois S foi obtido a partir de S, substituindo a ª- equação de S, pela soma membro a membro, dela com a ª-. B) Escalonamento de um Sistema Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles baseados nos teoremas e. x y z = 9 ( ) x y z = 3 3x y z = 4 x y z = 9 ( 3) 3y 3z = 5 3x y z = 4 x y z = 9 3y 3z = 5 ( / 3) 7y 5z = 3 x y z = 9 y z = 5 ( 7) 7y 5z = 3 x y z = 9 y z = 5 z = 4 Solução, de baixo para cima z =, y = 3, x = S = {(, 3, )} OBSERVAÇÃO Se durante o escalonamento ocorrer: º-) Uma equação do tipo 0 x 0 x 0 x n = b (b 0) então, o sistema será impossível, pois esta equação nunca será satisfeita. º-) Uma equação do tipo 0 x 0 x 0 x n = 0 esta equação poderá ser suprimida do sistema, pois ela é verificada por quaisquer valores das incógnitas. Exercícios. Classificar e resolver os sistemas: a) O sistema é SP III 3z = 6 z = II y = y = I x = 6 x = 5 S = {(5,, )} x y z = b) y z = O sistema é SPI Variável livre: z = α, α II y α = y = α I x α α = x = 3 3α S = {(3 3α, α, α), α}. Classificar e resolver os sistemas: a) x y z = 6 y z = 3z = 6 x y z = 6 x 3y 4z = 0 x y z = 7 x y z = 6 ( ) () x 3 y 4 z = 0 x y z = 7 x y z = 6 0 y z = 8 ( ) 0 y 3 z = 3 x y z = 6 0 y z = z = 3 (III) z = 3 (II): y 3 = 8 y = (I): x 3 = 6 x = S = {(,, 3)} SP ALFA ANGLO VESTIBULARES

7 x y z = b) x y z = 3x z = 5 x y z = ( ) ( 3) x y z = 3 x 0 y z = 5 x y z = 0 3 y z = 3 ( ) 0 3 y z = x y z = y z = = (falso) SI S = c) x y z = y z = x y = x y z = ( ) 0 y z = x y 0 = x y z = 0 y z = ( ) 0 y z = (I) x y z = (II) 0 y z = = 0 Variável livre: z = α, α (II): y α = y = α (I): x α α = x = α x = α SPI S = {( α, α, α), α} x y = y = ( ) y = x y = y = 0 = 0 Como o número de equações na forma escalonada é igual ao número de incógnitas: SP. II y = I x = x = S = {(, )} b) x y z = ( 3) 3 x y 6 z = 4 x y z = y 0 z = Como o número de equações na forma escalonada é menor que o número de incógnitas: SPI. Variável Livre: z = α, α II y = I x α = x = α S = {( α,, α), α} Livro Unidade IV Caderno de Exercícios Unidade III AULA 37 x y z = 3x y 6z = 4 ORIENTAÇÃO E ESTUO Tarefa Mínima Leia o item 4, cap. 4. Resolva os exercícios 7, 7 e 8, série 4. AULA Classificar e resolver os sistemas: a) x y = x y = 0 4x 3y = x y = ( ) ( 4) x y = 0 4x 3y = Resolva os exercícios a 3, série 4. Tarefa Complementar AULA 37 Resolva os exercícios 8, 9 e 0, série 4. AULA 38 Resolva os exercícios 5, 6, 7, 9 e 30, série 4. ALFA ANGLO VESTIBULARES

8 Aulas 39 e 40 SISTEMAS LINEARES ISCUSSÃO. ISCUSSÃO E UM SISTEMA LINEAR iscutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer para que valores do(s) parâmetro(s) o sistema é a) determinado b) indeterminado c) impossível Exemplos: a) Número de equações igual ao número de incógnitas. Vamos discutir em função de m o sistema mx y = x my = = m = m Sabemos pelo Teorema de Cramer que se 0, então o sistema é possível e determinado. Logo: 0 m 0 m e m Resta analisar o que acontece com o sistema para m = e m =. Temos: x y = m = o sistema será x y = Escalonando-o obteremos {x y = que é um sistema indeterminado. m = o sistema será Escalonando-o obteremos que é um sistema impossível. x y = x y = x y = 0 x 0 y = Em resumo m e m sistema determinado m = sistema indeterminado m = sistema impossível b) Número de equações diferentes do número de incógnitas. ) iscutir segundo m o sistema: x my z = 3x y 3z = 4 Resolução: x my z = ( 3) 3x y 3z = 4 x my z = 0 ( 3m)y 0z = m (raízes ou ) a ª- equação temos: 3m 0 sistema possível indeterminado 3m = 0 sistema impossível isto é: m sistema possível indeterminado 3 m = sistema impossível 3 ) iscutir segundo m o sistema: Resolução: x y = 3 x y = mx y = x y = 3 ( ) ( m) x y = mx y = x y = 3 0 5y = 5 0 (m )y = 3m x y = 3 x = 0 y = y = 0 (m ) y = 3m Substituindo y = na última equação temos: (m ) ( ) = 3m m = isto é: m = sistema possível determinado m sistema impossível Exercícios. iscutir em função de k o sistema kx y = x y = 3 k 0 (SP) 0 k Se k SP x y = ( ) Se k = x y = 3 x y = k SP Resposta: 0 0 = (falso) k = SI ALFA ANGLO VESTIBULARES

9 . iscutir em função de k o sistema: k 0 k (SP) k e k k = 0 k 0 x y = ( ) x y = x y = 0 = 0 x y = ( ) k = x y = x y = 0 0 = SI k e k SP Resposta: k = SPI k = SI 3. iscutir em função de m: 0 m m 0 (SP) m m m m m 0 m x y z = ( ) ( ) Se m = x y z = 0 x y z = x y z = = (falso) SI 0 0 z = 0 Resposta: m SP m = SI 4. iscutir em função de a o sistema: kx y = x ky = x y z = mx y mz = 0 x my z = x y = x y = 5 x y = a x y = ( ) ( ) x y = 5 x y = a SPI () x y = x y = () 0 y = ( ) y = (3) 0 y = a 0 = a 4 Resposta: a = 4 SP a 4 SI. SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Sistemas lineares homogêneos são aqueles onde todos os termos independentes valem zero. Isto é: a x a x a n x n = 0 S a x a x a n x n = 0 a m x a m x a mn x n = 0 Este tipo de sistema admite sempre a solução (α, α,., α n ) onde α i = 0 i {,,, n} chamada solução nula, trivial ou imprópria. PORTANTO OS SISTEMAS HOMOGÊNEOS SÃO SEMPRE POSSÍVEIS. Se o sistema for determinado, apresentará apenas uma solução (a nula); se for indeterminado apresentará, além da solução nula, outras soluções diferentes da nula, que são chamadas próprias. OBSERVAÇÃO (VÁLIA SOMENTE PARA SISTEMAS HOMOGÊNEOS) Se o sistema homogêneo tiver n equações e n incógnitas, então, usando o teorema de Cramer, teremos 0 sistema possível e determinado = 0 sistema possível e indeterminado Exercícios 5. iscutir em função de k o sistema: x y z = 0 x 3y z = 0 kx y z = 0 O sistema é homogêneo 3 k 3 k 3k 4 6 k 4 = 6 k 4 3k 4 = 4k Então: 4k = 0 k = 3 Resposta: k 3 SP (isto é, somente sol. trivial) k = 3 SPI (além do trivial, outras soluções chamadas próprias) ALFA ANGLO VESTIBULARES

10 6. (FUVEST) O sistema linear é indeterminado para: a) todo m real b) nenhum m real c) m = d) m = e) m = 0 Como o sistema é homogêneo, basta = 0 x y z = 0 x z = 0 y mz = m = 0 m = 0 m = 0 Livro Unidade IV Caderno de Exercícios Unidade III AULA 39 Leia o item 7, cap. 4. Resolva os exercícios 34 a 37, série 4. AULA 40 Leia o item 8, cap. 4. Resolva os exercícios 43 a 45, série 4. AULA 39 ORIENTAÇÃO E ESTUO Tarefa Mínima Tarefa Complementar Resolva os exercícios 38, 40, 4 e 4, série 4. AULA 40 Resolva os exercícios 46 a 48, série 4. ALFA ANGLO VESTIBULARES

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: 2 3 6 a) 5 2 3 7 b) 9 2 3 Resolução de sistemas lineares Metodo da adição 4 100

Leia mais

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou

Leia mais

Sistema de equações lineares

Sistema de equações lineares Sistema de equações lineares Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo ( S) a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1

Leia mais

Unidade II - Sistemas de Equações Lineares

Unidade II - Sistemas de Equações Lineares Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 1- Situando a Temática Discutiremos agora um dos mais importantes temas da matemática: Sistemas de Equações Lineares Trata-se de um tema que tem aplicações dentro

Leia mais

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução

Leia mais

Sistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática

Sistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática Módulo 3 Unidade 10 Sistemas Lineares Para início de conversa... Diversos problemas interessantes em matemática são resolvidos utilizando sistemas lineares. A seguir, encontraremos exemplos de alguns desses

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares

Leia mais

Carga horária: 60 horas Créditos: 04. Matrizes, Determinantes, Sistemas de Equações Lineares e Geometria Analítica.

Carga horária: 60 horas Créditos: 04. Matrizes, Determinantes, Sistemas de Equações Lineares e Geometria Analítica. Disciplina: Matemática para o Ensino Básico IV Prof Ms José Elias Dos Santos Filho Curso de Licenciatura em Matemática UFPBVIRTUAL elias@ccaeufpbbr Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle wwweadufpbbr

Leia mais

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/

Leia mais

MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade

MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade MATRIZES Matriz quadrada matriz quadrada de ordem. diagonal principal matriz quadrada de ordem. - 7 9 diagonal principal diagonal secundária Matriz linha e matriz coluna [ ] colunas). (linha e matriz linha

Leia mais

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

Roteiro de Estudos do 1ª Trimestre 2ªSérie Disciplina: Matemática Professor: Hugo P.

Roteiro de Estudos do 1ª Trimestre 2ªSérie Disciplina: Matemática Professor: Hugo P. Roteiro de Estudos do 1ª Trimestre ªSérie Disciplina: Matemática Professor: Hugo P. Conteúdos para Avaliação Trimestral: Matrizes o Definição; lei de formação de uma Matriz; o Operações com matrizes (soma,

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação

Leia mais

Resolução de sistemas lineares

Resolução de sistemas lineares Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)

Leia mais

Matemática. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss.

Matemática. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss. Matemática Jacob Palis Álgebra 1 Euclides Roxo David Hilbert George F. B. Riemann George Boole Niels Henrik Abel Karl Friedrich Gauss René Descartes Gottfried Wilhelm von Leibniz Nicolaus Bernoulli II

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas

Leia mais

RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO

RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 1. ESTRUTURAS LÓGICAS LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO DIAGRAMAS LÓGICOS... 03 2. ÁLGEBRA LINEAR... 13 3. PROBABILIDADES... 27 4. COMBINAÇÕES... 29 5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES... 32

Leia mais

4 Sistemas de Equações Lineares

4 Sistemas de Equações Lineares Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 4 Sistemas de Equações Lineares 1 Definição Rank ou característica de uma matriz ( ) Número máximo de linhas de que formam um conjunto

Leia mais

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma Equações Diferenciais de Ordem Superior Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma ou então d 2 y ( dt = f t, y, dy ) 2 dt y = f(t, y, y ). (1) Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f for linear

Leia mais

Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli

Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli Introdução: Apresentamos esse artigo para mostrar como utilizar a técnica desenvolvida a partir do Teorema

Leia mais

esse determinante se anula. Tomemos a matriz ampliada do sistema, com a 2 :

esse determinante se anula. Tomemos a matriz ampliada do sistema, com a 2 : 1. Sobre o sistema de equações lineares apresentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo a um parâmetro real. x y z x ay z 1 x y z 3 ( ) Se a, então o sistema admite infinitas soluções. ( ) O

Leia mais

Eduardo. Matemática Sistemas Lineares

Eduardo. Matemática Sistemas Lineares Matemática Sistemas Lineares Eduardo Sistema de Equações Lineares Definição: Um sistema de equações lineares consiste num conjunto de m equações lineares onde m 1. Solução do Sistema Par ordenado - S =

Leia mais

[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \.

[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV Å 1Ro}HV *HUDLV Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. [\ [\ É fácil verificar

Leia mais

Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Projeto Matemática 1. Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Projeto Matemática 1. Matrizes, determinantes e sistemas lineares Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Projeto Matemática 1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares Curitiba 2014 PLANO DE AULA DE SISTEMAS LINEARES Dados de Identificação: Instituição:

Leia mais

A equação do 2º grau

A equação do 2º grau A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.

Leia mais

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são

Leia mais

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1 setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) III Resolução de sistemas lineares por métodos numéricos. Objetivos: Veremos

Leia mais

Gobooks.com.br. PucQuePariu.com.br

Gobooks.com.br. PucQuePariu.com.br ÁLGEBRA LINEAR todos os conceitos, gráficos e fórmulas necessárias, em um só lugar. Gobooks.com.br PucQuePariu.com.br e te salvando de novo. Agora com o: RESUMO ÁLGEBRA LINEAR POR: Giovanni Tramontin 1.

Leia mais

Corpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade

Corpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA

Leia mais

Cálculo. Álgebra Linear. Programação Computacional. Metodologia Científica

Cálculo. Álgebra Linear. Programação Computacional. Metodologia Científica UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL Cálculo Álgebra Linear Programação Computacional Metodologia Científica Realização: Fortaleza, Fevereiro/2012 UNIVERSIDADE

Leia mais

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Valores e Vectores Próprios Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 24/25 Conteúdo Definição de Valor e Vector Próprios 2 2 Um Eemplo de Aplicação 8 3

Leia mais

. Determine os valores de P(1) e P(22).

. Determine os valores de P(1) e P(22). Resolução das atividades complementares Matemática M Polinômios p. 68 Considere o polinômio P(x) x x. Determine os valores de P() e P(). x x P() 0; P() P(x) (x x)? x (x ) x x x P()? 0 P() ()? () () 8 Seja

Leia mais

Uma expressão matemática que apresenta números e letras ou somente letras, é denominada expressão algébrica

Uma expressão matemática que apresenta números e letras ou somente letras, é denominada expressão algébrica Trabalho de Reforço Matemática 8º ano A, 8º ano B e 8º ano C Ensino Fundamental Professor André Data de entrega: 05 de agosto de 2013. Exercícios de revisão de conteúdo Objetivo: fazer com que o aluno

Leia mais

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear

Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Maio de Índice Parte I (Aulas teóricas e chas de exercícios) Matrizes e sistemas de equações

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +

Leia mais

FUNÇÃO DE 1º GRAU. = mx + n, sendo m e n números reais. Questão 01 Dadas as funções f de IR em IR, identifique com um X, aquelas que são do 1º grau.

FUNÇÃO DE 1º GRAU. = mx + n, sendo m e n números reais. Questão 01 Dadas as funções f de IR em IR, identifique com um X, aquelas que são do 1º grau. FUNÇÃO DE 1º GRAU Veremos, a partir daqui algumas funções elementares, a primeira delas é a função de 1º grau, que estabelece uma relação de proporcionalidade. Podemos então, definir a função de 1º grau

Leia mais

Revisão para a Bimestral 8º ano

Revisão para a Bimestral 8º ano Revisão para a Bimestral 8º ano 1- Quadrado da soma de dois termos Observe: (a + b)² = ( a + b). (a + b) = a² + ab+ ab + b² = a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo). (segundo termo)

Leia mais

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5 Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar

Leia mais

Fundamentos Tecnológicos

Fundamentos Tecnológicos 1 2 Potenciação Fundamentos Tecnológicos Potenciação, radiciação e operações algébricas básicas Prof. Flavio Fernandes Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se

Leia mais

R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).

R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores

Leia mais

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase 36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e

Leia mais

Função do 2º Grau. Alex Oliveira

Função do 2º Grau. Alex Oliveira Função do 2º Grau Alex Oliveira Apresentação A função do 2º grau, também chamada de função quadrática é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a 0. Exemplos:

Leia mais

SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT

SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT GABARITO da 3 a Avaliação Nacional de Aritmética - MA14-21/12/2013 Questão 1. (pontuação: 2) (1,0) a) Enuncie e demonstre

Leia mais

A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática

A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática I. O jogo A Torre de Hanói consiste de uma base com três pinos e um certo número n de discos de diâmetros diferentes, colocados um sobre o outro em

Leia mais

ITA - 2004 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

ITA - 2004 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR ITA - 2004 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} I. U e n(u) = 10 III. 5 U e {5}

Leia mais

8 8 (mod 17) e 3 34 = (3 17 ) 2 9 (mod 17). Daí que 2 67 + 3 34 8 + 9 0 (mod 17), o que significa que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 17.

8 8 (mod 17) e 3 34 = (3 17 ) 2 9 (mod 17). Daí que 2 67 + 3 34 8 + 9 0 (mod 17), o que significa que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 17. Prova Teoria de Números 23/04/203 Nome: RA: Escolha 5 questões.. Mostre que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 7. Solução: Pelo teorema de Fermat 2 6 (mod 7 e 3 7 3 (mod 7. Portanto, 2 67 = 2 64+3 = ( 2 6 4 8 8

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Apontamentos: Curso de Conhecimentos Básicos de Matemática Cursos do Departamento de Gestão Maria Cristina

Leia mais

a 1 x 1 +... + a n x n = b,

a 1 x 1 +... + a n x n = b, Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição

Leia mais

2.2 Subespaços Vetoriais

2.2 Subespaços Vetoriais 32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:

Leia mais

Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R. Pinto http://www.math.ist.utl.pt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011

Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R. Pinto http://www.math.ist.utl.pt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011 Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R Pinto http://wwwmathistutlpt/ ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011 Conteúdo 1 Matrizes e sistemas lineares 1 11 Álgebra das Matrizes 1 12 Operações

Leia mais

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA E N A D E 005 LICENCIATURA MATEMÁTICA QUESTÕES RESOLVIDAS I N T R O D U Ç Ã O Estamos apresentando a prova do ENADE aplicada em 005 para os cursos de Licenciatura em Matemática. Este trabalho tem o objetivo

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

Prof. Márcio Nascimento. 22 de julho de 2015

Prof. Márcio Nascimento. 22 de julho de 2015 Núcleo e Imagem Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Linear

Leia mais

Figura 2.1: Carro-mola

Figura 2.1: Carro-mola Capítulo 2 EDO de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 2.1 Introdução - O Problema Carro-Mola Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Colocase o carro

Leia mais

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata

Leia mais

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Objetivos

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:

Leia mais

Prova 3 - Matemática

Prova 3 - Matemática Prova 3 - QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: N ọ DE INSCRIÇÃO: NOME DO CANDIDATO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, que constam na etiqueta

Leia mais

PSAEN 2007/08 Primeira Fase - Matemática

PSAEN 2007/08 Primeira Fase - Matemática PSAEN 007/08 Primeira Fase - Matemática : Caio Guimarães, Rodolpho Castro, Victor Faria, Paulo Soares, Iuri Lima Digitação: Caio Guimarães, Júlio Sousa. Comentário da Prova: A prova de matemática desse

Leia mais

Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano

Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano Conteúdos do 8º Ano Teorema de Pitágoras Funções Semelhança de triângulos Ainda os números Lugares geométricos

Leia mais

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço Retas e lanos Equações de Retas Equação aramétrica da Reta no Espaço Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional Um vetor v = (a, b, c) determina uma direção no espaço Dado um ponto 0 = (x

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

Sistemas Lineares e Escalonamento

Sistemas Lineares e Escalonamento Capítulo 1 Sistemas Lineares e Escalonamento Antes de iniciarmos nos assuntos geométricos da Geometria Analítica, vamos recordar algumas técnicas sobre escalonamento de matrizes com aplicações na solução

Leia mais

13 a Aula 2004.10.13 AMIV LEAN, LEC Apontamentos

13 a Aula 2004.10.13 AMIV LEAN, LEC Apontamentos 3 a Aula 2004.0.3 AMIV LEAN, LEC Apontamentos (Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt) 3. Singularidades isoladas Para na prática podermos aplicar o teorema dos resíduos com eficiência, precisamos de conhecer

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Preliminares No estudo de sistemas de controle, e comum usar-se diagramas de blocos, como o da figura 1. Diagramas de blocos podem ser utilizados

Leia mais

EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14 EQUAÇÃO DO 1º GRAU EQUAÇÃO: Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta

Leia mais

Lista 1 para a P2. Operações com subespaços

Lista 1 para a P2. Operações com subespaços Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº10 Prof. Daniel Szente

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº10 Prof. Daniel Szente Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº10 Prof. Daniel Szente Assunto: Função exponencial e logarítmica 1. Potenciação e suas propriedades Definição: Potenciação é a operação

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações

Leia mais

Sua interface é semelhante a de um processador de textos do tipo WYSIWYG, ou seja, What you see is what you get (o que você vê é o que você faz).

Sua interface é semelhante a de um processador de textos do tipo WYSIWYG, ou seja, What you see is what you get (o que você vê é o que você faz). Mathcad COMANDOS BÁSICOS O software Mathcad é um ambiente de trabalho baseado em Álgebra Computacional, dirigido a profissionais técnicos, educadores e estudantes. Permite a escrita de epressões matemáticas

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA PARA OS CANDIDATOS MAIORES DE 23 ANOS

PROVA DE MATEMÁTICA PARA OS CANDIDATOS MAIORES DE 23 ANOS PROVA DE MATEMÁTICA PARA OS CANDIDATOS MAIORES DE ANOS Duração: 60 minutos Nome: 1ª Parte Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta com um círculo de entre

Leia mais

36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase 36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 1 Segunda Fase Parte A CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Na parte A serão atribuídos 5 pontos para cada resposta correta e a pontuação

Leia mais

UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT

UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS CCT DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT Professora Graciela Moro Exercícios sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp. Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Transformações Lineares 1 Definição e Exemplos 2 Núcleo e Imagem

Leia mais

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas 2 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas Sumário 1 Transformação de Matrizes.............. 3 1.1

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10.

TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10. TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10. Caro aluno (a): No livro texto (Halliday) cap.01 - Medidas alguns conceitos muito importantes são apresentados. Por exemplo, é muito importante

Leia mais

2) A área da parte mostarda dos 100 padrões é 6. 9. 2. 3) A área total bordada com a cor mostarda é (5400 + 3700) cm 2 = 9100 cm 2

2) A área da parte mostarda dos 100 padrões é 6. 9. 2. 3) A área total bordada com a cor mostarda é (5400 + 3700) cm 2 = 9100 cm 2 MATEMÁTICA 1 Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado abaio, será repetido

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

UFV Universidade Federal de Viçosa DMA Departamento de Matemática MAT 138 Noções de Álgebra Linear

UFV Universidade Federal de Viçosa DMA Departamento de Matemática MAT 138 Noções de Álgebra Linear UFV Universidade Federal de Viçosa DMA Departamento de Matemática MAT 138 Noções de Álgebra Linear 1 2 a LISTA DE EERCÍCIOS - 2005/I 1. Resolva os sistemas abaixo e classifique-os quanto ao número de soluções:

Leia mais

por séries de potências

por séries de potências Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio

Leia mais

CPV 82% de aprovação dos nossos alunos na ESPM

CPV 82% de aprovação dos nossos alunos na ESPM CPV 8% de aprovação dos nossos alunos na ESPM ESPM Resolvida Prova E 11/novembro/01 MATEMÁTICA 1. A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de 4 5 apartamentos é dada pela matriz 1 y, 6 y + 1

Leia mais

Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender. (Albert Einstein) Estudante: Turma: Semestre:

Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender. (Albert Einstein) Estudante: Turma: Semestre: Material Básico de Estudo Sistemas de Equações Lineares Fractal Veneza Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender. (Albert Einstein) Estudante: Turma: Semestre:

Leia mais

A otimização é o processo de

A otimização é o processo de A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Eiste um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento de otimização.

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas

MATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Exercícios de exames e testes intermédios 1. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = + i19 cis θ Determine os valores de θ pertencentes

Leia mais

CURSO DE. Álgebra Linear Aplicada

CURSO DE. Álgebra Linear Aplicada CURSO DE Álgebra Linear Aplicada Antonio Cândido Faleiros Centro de Matemática, Computação e Cognição Universidade Federal do ABC Santo André, SP 6 de abril de 2009 Sumário 1 Equações lineares 1 1.1 Equaçãoalgébricalinear...

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma?

Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? GUIÃO REVISÕES Equações e Inequações Equações Numa turma de 6 alunos, o número de raparigas ecede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? O objectivo do problema é determinar o número

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação

Leia mais

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia

Leia mais

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por

Leia mais

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/1/011 pelo CEPERJ 59. O cartão de crédito que João utiliza cobra 10% de juros ao mês,

Leia mais