Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Projeto Matemática 1. Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Projeto Matemática 1. Matrizes, determinantes e sistemas lineares"

Transcrição

1 Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Projeto Matemática 1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares Curitiba 2014

2 PLANO DE AULA DE SISTEMAS LINEARES Dados de Identificação: Instituição: Colégio Estadual Maria Aguiar Teixeira. Professora: Adriana Vaz. Professores estagiários: Bruno Cezar Steinmetz e Murilo Brum Alison. Disciplina: Matemática. Série: 2º Ano Ensino Médio. Turmas: C e D. Período: Matutino. Conteúdos: Equação Linear; Equação Linear Homogênea; Sistemas Lineares; Solução de Sistemas Lineares; Objetivo geral: Introduzir o conceito de equações do primeiro grau e após isso dar sentido ao uso de sistemas lineares, fazendo com que o aluno tenha plena consciência do por que estudar o assunto. Relembrar resolução de equações lineares. Objetivos específicos: Relembrar e associar o conhecimento já adquirido de equações lineares e suas propriedades em séries anteriores. Reformular conceitos e idealizar a forma de um sistema de equações lineares, ou seja, um sistema linear. Ampliar o conhecimento do aluno enquanto receptor de informações novas e contextualizadas, fazendo com que o mesmo seja induzido ao raciocínio matemático de maneira rápida e abrangente. Apresentação de métodos para a solução de um sistema linear, como a adição e substituição. Resolução de problemas contextualizados. Metodologia: A metodologia adotada envolve a resolução de problemas e aulas expositivas, com uso de recursos didáticos que facilitem o andamento das aulas. Além disso, fazer uso de discussões acerca do contexto em que o assunto está inserido, o porquê de se estudar o mesmo. Tema: Equação linear, sistemas lineares, sistemas homogêneos, resolução de sistemas lineares. Desenvolvimento dos temas: Equações Lineares: Definir equação linear e suas características. Segue abaixo o material entregue impresso aos alunos: Consideremos como equação linear toda equação do tipo

3 a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c, onde a 1, a 2, a 3,..., a n : coeficientes reais, não todos nulos x 1, x 2, x 3,..., x n : são as incógnitas c: termo independente Exemplos: a) 2x + y + z = 4 b) x + y = 5 c) 4x + 5y + z = 0 (homogênea) - Uma equação linear homogênea é uma equação que possui os termos independentes iguais a zero. Sistemas de Equações Lineares: Inicialmente, propor aos alunos um exemplo contextualizado de sistemas lineares. Como sendo o primeiro exemplo da sucessão didática, os alunos deveriam interpretar o problema de maneira a o modelar para a linguagem matemática. Feito isso, o aluno é convidado a resolver ou solucionar um sistema de ordem 2x2 utilizando alguma ferramenta já vista em séries anteriores. Dessa forma, o processo de engajamento de conteúdos abordados se dá de maneira simples, onde o próprio aluno deve lembrar em qual tópico da matemática o exercício se aplica. Segue abaixo o exercício proposto I) entregue em material impresso aos alunos: I) Ana e Caio lancharam na cantina da escola. Ana gastou R$10,00 para comprar 2 sucos e 2 chocolates. Com R$7,00, Caio comprou 1 suco e 2 chocolates. Qual o preço do suco e do chocolate? - Solução de Sistemas Lineares Primeiramente explicar que uma solução é um conjunto de valores que satisfazem, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema linear. Como no exemplo a seguir: Exemplo Para o sistema 2x + 3y = 7 x y = 1 Os valores que satisfazem as duas equações são x = 2 e y = 1. Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 1). Após isso, ensinar aos alunos os modos que se pode chegar a solução. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Após a explicação de tudo que veio acima, será dado aos alunos os seguintes exercícios, para, primeiramente, eles tentarem fazer sozinhos, e depois haver a correção juntamente com eles. E assim ver onde houve mais erros, e o que causou esses erros. 1 Resolva, em seu caderno, os sistemas abaixo:

4 a) x + y = 3 b) 3x + y = 4 5x 2y = 1 -x + y = 0 c) 3x + 5y = 3 d) x + z = 4 6x 15y = -4 z = 4 e) a + 3b = 15 2a - b = 5 2 Verifique se cada um dos pares ordenados é solução para este sistema: x y z = 0 a) (0, 0, 0) x 2y 2z = 0 b) (0, 1, -1) 2x + y + z = 0 c) (1, 1, 1) Recursos didáticos: Quadro, giz e material impresso. - Aula de sistemas lineares: No primeiro dia passei a definição de sistemas lineares e o exemplo generalizado. Logo passei o exemplo que o Bruno tinha colocado no material e deixei os alunos tentarem resolver. Depois de alguns minutos, nenhum aluno tinha conseguido encontrar uma resposta, então passei algumas dicas para os alunos tentarem resolver o problema. Um aluno resolveu por raciocínio e os outros não conseguiram, então a professora Adriana resolveu pelo método de adição e eu pelo da subtração, assim eles conseguiram se lembrar do conteúdo. Depois passamos mais um exemplo para eles tentarem resolver, e alguns alunos conseguiram sem ajuda e outros não conseguiram ou nem tentaram fazer. Então corrigi e eles preferiram o método da substituição. E para terminar a aula passei mais uns exercícios que seriam corrigidos no dia seguinte.

5 Plano de Aula Matrizes Instituição: Colégio Estadual Professora Maria Aguiar Teixeira Estagiários: Aline de Fátima Cagorni Lueinne Cristine Cipriano Disciplina: Matemática Série: 2º Ensino Médio - Objetivo Introduzir aos alunos conceitos básicos de matrizes, definições e aplicações. Conteúdos a serem trabalhados Definição de matrizes Classificação de matrizes Adição e subtração de matrizes Multiplicação de matrizes por um número real Procedimentos Metodológicos 1º Realização de pesquisa em grupos, para se obter dados estatísticos da classe de maneira a ser construída uma tabela, no qual será feita a definição de matrizes e representação dos elementos matriciais. (2 aulas) 2 Retomada da atividade e apresentação dos tipos diferentes de matrizes. Aplicação de alguns exemplos e exercícios para fixação. (1 aula) 3 Aplicar as operações que podem ser realizadas com matrizes e algumas propriedades. (1 aula) 4 Realização de exercícios envolvendo operações com matrizes, para melhor fixação do conteúdo, discussão e correção dos exercícios com a classe. (2 aulas) 5 Conclusão da atividade e uma lista de exercícios (com todo o conteúdo), para ser entregue como forma de trabalho. Desenvolvimento Pesquisa: A pesquisa realizada pelos alunos tem como objetivo final introduzir o conceito de matrizes, os dados coletados por eles deverão ser colocados em uma tabela em forma de matriz, sendo esse um exemplo de aplicação do conteúdo. Pesquisa Matemática em Grupo - Coloque na tabela abaixo a quantidade de itens existentes em sua casa. - Cada linha representa um integrante do grupo. - Apresente a média aritmética no final das colunas.

6 Grupo A Tv s Celulares Computadores Media: Media: Media: Definição: Sejam m e n dois números inteiros maiores do que ou igual a 1. Denomina-se matriz mxn (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Exemplo: a matriz formada pela pesquisa. Representação geral: Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento a ij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a 32 i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (a ij ) m x n. Tipos de matrizes Matriz quadrada Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo de matriz por A n. Exemplo:

7 Matriz triangular Uma matriz de ondem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos (iguais à zero). Exemplos: Matriz identidade Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a zero). Podemos representar esta matriz por I n. Matriz nula Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma matriz nula m x n por 0 m x n ; caso ela seja quadrada, indica-se por 0 n. Matriz linha É toda matriz que possui apenas uma linha. Numa matriz linha m x n, m = 1. Matriz coluna É toda matriz que possui apenas uma coluna. Numa matriz coluna m x n, n = 1. Matriz transposta: Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por A t a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo:

8 Note que A é do tipo 3 x 2 e A t é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta, a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original. Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(a ij ) e B=(b ij ) são matrizes do tipo m x n, então: Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais Solução: Adição de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B. Solução:

9 Propriedades da adição Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q R, valem as propriedades: - Comutativa: A+B = B+A - Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C - Elemento neuto: A+O = O+A = A Matriz oposta Chama-se matriz oposta de A a matriz A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo: Dada a matriz: A oposta de A será pois: Subtração de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B. Multiplicação de número real por matriz Dada uma matriz A = (a ij ) mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k. Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de

10 Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da multiplicação de numero real por matriz: - 1.A = A - (-1).A = -A - p.o = O - 0.A = 0 - p.(a + B) = p.a + p.b - (p + q).b = p.b + q.b - p.(q.a) = (p.q).a Multiplicação de matrizes Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz: Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo: O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

11 O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (I). Recursos didáticos: Quadro, giz e material impresso -Relatório da aula de matrizes: Comecei aplicando a pesquisa que a Aline e a Lueinne planejaram. Depois que eles terminaram, associei a tabela de pesquisa como uma matriz. Logo mostrei uma matriz generalizada e segui a explicação da folha que estava no material, que consistia em matrizes transpostas, quadradas, soma e subtração de matrizes e outras definições, e fui resolvendo mais exemplos no quadro para facilitar o atendimento deles. Aparentemente eles entenderam a matéria e só não deu tempo de terminar a explicação da folha, que era parte da multiplicação de um escalar pela matriz e de multiplicação de matrizes.

12 Plano de aula de Determinantes Instituição: Colégio Estadual Professora Maria Aguiar Teixeira Período: 1 semana Data prevista para a aplicação do plano: 02/09/14 até 07/10/14 Público- alvo: alunos do 2 ano do ensino médio Conteúdo: determinantes Objetivos: Compreender a definição e a aplicação de determinantes; Apresentar situações-problema aos alunos, com o intuito que desenvolvam um raciocínio lógico mais aguçado. Tópicos do conhecimento: Relembrar algumas propriedades de matrizes; Conceitos e definições de determinantes. Planejamento: Apresentar a definição de determinantes e algumas propriedades. Aplicar alguns exercícios e fazer com que os alunos resolvam sem a ajuda do(a) professor(a). Corrigir os exercícios e tirar as dúvidas. Bibliografia: Ético; Editora Saraiva,vol.4 Acesso DETERMINANTES A toda matriz quadrada (nxn), está associada a um número, que damos o nome de determinantes (det). Ordem 1: dada uma matriz de ordem 1 M = a 11, o seu determinante será o número real a 11. Ex: M = ( 2 ) det M 2 = 2. Ordem 2: dada uma matriz de ordem 2 M = : Det M = 2x3 1x5= 6 5 = 1. Matrizes transpostas: o determinante de uma matriz A, é igual ao determinante de sua transposta. Ex: A= det A= 5x4 1x2 = 18. A t = det A t = 5x4 2x1 = 18. Linha ou coluna nula: Se uma matriz A possuir uma linha ou uma coluna nula, então o seu determinante será nulo. Ex: A= det A= 3x0 2x0 = 0 ou B= det B = 0x5 1x0 = 0. Ordem 3: Dada uma matriz de ordem 3 M = Det M= 1x1x9 + 5x3x1 + 4x7x2 5x7x9 1x3x2 4x1x1 = = = 245. Teorema de Binet: Sendo A e B matrizes quadradas (nxn), então det (AxB) = det A x det B

13 Ex: A= det A = 3x2 0x1 = 6 e B = det B= 3x2 4x1= 2. Assim det A+ det B = 6x2 = 12. AxB ( multiplicação de matrizes) = det AxB = 9x8 12x5 = 12. Exercícios: 1) Resolva os seguintes determinantes: a) M = b) M = c) M = 2) Resolva pelo Teorema de Binet: a) A = e B = det AxB = b) C = e D = det CxD = 3) Resolva os determinantes das seguintes matrizes: a) A =. b) B = c) C = d) D = e D t = e) E = f) F = DESAFIO: (UFPI) Sejam A = e B =. Se det A = 4 e det B = 2, então, x + y é igual a: (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6. RELATÓRIOS DAS AULAS DE DETERMINANTES: - Relatório 1 A aula do dia 01 de outubro de 2014 se procedeu de forma tranquila e abrangente. Iniciamos a aula seguindo o plano de aula de determinantes, o que define o

14 que é determinante e quando podemos calculá-lo. Nesse momento foi preciso relembrar o significado de matriz quadrada nxn que é quando o numero de linhas é igual ao numero de colunas da matriz. Após isso, exemplificamos o caso da matriz de ordem 1, onde o seu determinante é seu único elemento. Até aí os alunos interagiram muito bem. Após isso, fomos para o caso de matrizes de ordem 2. Explicamos como se procederia o cálculo de determinantes de matriz desse tipo. Não fizemos uso de matrizes genéricas, já que poderia ser um problema para os alunos trabalharem com outros termos a não serem propriamente números. Além disso, reforçamos o conceito de diagonal principal e secundária de uma matriz. Como os alunos não tiveram dificuldades até então, demos continuidade à sequência didática do plano de aula. O conceito de determinantes de matrizes transpostas foi bem entendido pelos alunos após termos que retomar e exemplificar transpostas de matrizes. Para verificar se os alunos realmente tinham entendido o conceito, propusemos alguns exemplos onde era pra calcular o determinante de uma matriz transposta dada a matriz original e o determinante da mesma. Essa sucessão não estava no plano de aula, porém foi algo que surgiu durante a aula. Depois disso, apresentamos o determinante de uma matriz que tivesse colunas ou linhas nulas, ou seja, onde todos os coeficientes eram zero. Para que a ideia fosse melhor entendida, passamos um exemplo de matriz de ordem 2 onde uma coluna era nula e a outra eram coeficientes altos ou números irracionais. Deixamos um tempo para os alunos tentarem resolver, alguns entenderam que era zero pela definição, outros efetuaram as contas para descobrir isso. Dando sequência ao assunto, explicamos o procedimento para calcular determinantes de matrizes quadradas de ordem 3. O método aplicado foi a Regra de Sarrus. Tivemos novamente que reforçar a ideia de diagonais primárias e secundárias de uma matriz quadrada de ordem 3. Os alunos compreenderam sem dificuldades. Por ultimo, apresentamos o Teorema de Binet (det(axb) = det(a)xdet(b)). Os alunos não apresentaram dificuldades no entendimento do mesmo. Para que ficasse mais dinâmico, apresentamos dois exemplos de determinantes da multiplicação de duas matrizes quadradas. No primeiro, era proposto o determinante do produto de duas matrizes, onde a primeira tinha uma coluna nula e a segunda apresentava coeficientes irracionais e menores que zero. A ideia era que o aluno utiliza-se o Teorema de Binet e, além disso, a definição de determinante de matriz que possui linha ou coluna nula. Nenhum aluno procedeu como o desejado, todos calcularam o determinante da matriz com coluna nula e o da matriz com coeficientes irracionais negativos. Ao corrigirmos o exemplo no quadro, usamos a definição de determinante da matriz com coluna nula que é zero, e perguntamos se precisaria calcular o determinante da outra para se obter o determinante do produto das duas. Os alunos acharam interessante a proposta e pediram alguns outros exemplos. Vale lembrar que essa ideia não estava descrita no plano de aula e foi algo que surgiu durante a aplicação do mesmo. Por fim, a aplicação foi abrangente, a maioria dos alunos conseguira entender determinantes. No entanto, passamos exercícios para que os alunos praticassem. - Relatório 2 Na turma que eu vou nas segundas- feiras, as definições já tinham sido apresentadas e os exercícios dados para eles resolverem. Mas nenhum aluno tinha resolvido, então

15 corrigi alguns e passei outros exercícios de determinantes do livro da professora Adriana e deixei eles tentarem resolver. O resultado foi bom, a turma demonstrou interesse e tiraram dúvidas. - Relatório 3 Na aula de determinantes dada para o segundo C foi passado a teoria no quadro e foi explicado o conteúdo utilizando exemplos. Logo após foi passado exercícios para eles resolverem e todos conseguiram resolver. A teoria foi bem compreendida aparentemente os alunos não ficaram com dúvidas. Além disso observou-se alguns alunos começaram a fazer perguntas interessantes. O conteúdo foi terminado em duas aulas apenas a correção dos exércitos que não foi concluída. - Relatório 4 Participei de uma aula realizada pelo Bruno no 2ºD sobre determinantes. Primeiramente o Bruno passou a definição de determinante e suas propriedades, depois passou exemplos de exercícios resolvidos e após passou exercícios para os alunos resolverem tanto de matrizes 2x2 quanto de matrizes 3x3. Nessa aula os alunos entenderam muito bem a matéria, se interessaram pelo assunto, e conseguiram resolver os exercícios. Um fato interessante que aconteceu foi que, dado duas matrizes 3x3 era pedido o resultado do produto delas, porém uma matriz possuía uma coluna nula. Todos os alunos calcularam os determinantes das duas matrizes, mesmo uma sendo nula e tínhamos acabado de passar uma propriedade para eles que nos mostrava que ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero, logo eles não precisariam calcular o determinante das duas matrizes pois se um determinante era nulo, qualquer que fosse o outro determinante multiplicado pelo determinante nulo daria zero. O Bruno deixou todos os alunos resolverem e após resolveu no quadro explicando novamente essa propriedade.

16 PLANO DE AULA DE ESCALONADO DE SISTEMA LINEAR E MATRIZES Dados de identificação: Instituição: Colégio Estadual Professora Maria Aguiar Teixeira. Professora Supervisora: Adriana Vaz. Professora / Bolsista: Juliana Rodrigues de Araújo. Disciplina: Matemática. Publico Alvo: Alunos do 2 ano do Ensino Médio. Turmas: C e D. Turno: Manhã. Tempo Estimado: Quatro aulas. Recursos Didáticos: Quadro, Giz e a utilização da Metodologia de Resolução de Problemas. Conteúdos: Sistemas Lineares Escalonados. Escalonamento de um sistema linear. Resolução de um sistema linear na forma escalonada. Objetivo Geral: Passar ao aluno a definição de um sistema escalonado através de exemplos. Mostrar que um sistema escalonado é constituído por equações que se iniciam conforme a posição correspondente de cada equação. Apresentar técnicas para solução de um sistema linear escalonado. Apresentar técnicas para transformar um sistema linear não escalonado em um sistema escalonado. Metodologia: A metodologia abordada envolve a resolução de problemas e aulas expositivas, com uso de recursos didáticos que facilitem o andamento das aulas. Além disso, fazer uso de discussões acerca do contexto em que o assunto está inserido. Tema: Sistemas Lineares Escalonados. Desenvolvimento do tema: Inicialmente, retomar com o aluno o exemplo contextualizado já visto em sistemas de equações lineares. Feito isto, propor que eles escalonem este sistema sem interferência do professor, ao final discutir essa solução com todos e convidá-los a resolver este sistema linear utilizando a definição abaixo. Dizemos que um sistema linear S está na forma escalonada (ou, simplesmente, é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. Vejamos alguns exemplos para melhor entendermos:

17 Com isso, ler e através do diálogo interpretar o conteúdo do material entregue a cada aluno. Segue abaixo o material a ser distribuído. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA NA FORMA ESCALONADA 1 Número de equações igual ao número de variáveis, ou seja, neste caso o sistema terá três equações e três variáveis (ou incógnitas). Vamos encontrar o valor de cada variável (ou incógnitas), partindo da terceira equação do sistema acima, encontraremos o valor de z: 3z = - 6, então, z = - 2 Substituindo o valor encontrado na segunda equação temos: y + 2 (- 2) = - 3 y - 4 = - 3 y = 1 E finalmente, para encontrarmos o valor de x, basta substituir o valor de y e z na primeira equação e: x - 2y + z = - 5 x - 2 (1) + (- 2) = - 5 x - 4 = - 5 x = - 1. Assim, encontramos a solução do sistema que é (- 1, 1, - 2). E podemos classificá-lo de (SPD), pois apresenta sempre uma única solução. 2 Número de equações menor que o número de variáveis ( ou incógnitas). (i) Vamos identificar a variável que não aparece no inicio de nenhuma das equações, chamada de variável livre. Neste caso a variável livre é z. (ii) Transpomos a variável livre z para o segundo membro em cada equação e obtemos: (iii) Se atribuímos valores para z, encontraremos um sistema determinado. E assim, notaremos que o sistema dado tem infinitas soluções. (iv) Então, façamos z = b ( b é um número real qualquer) e substituindo-o no nosso sistema linear, encontraremos o valor de x = - 2b + 6 e y = 1 + b de tal forma que a solução do sistema é (- 2b + 6, 1 + b, b). ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA 1 Passo: Para a primeira equação o coeficiente da primeira incógnita não pode ser nulo. 2 Passo: Anular o coeficiente da primeira incógnita, de tal forma que a equação comece a partir do segundo coeficiente. 3 Passo: Para a terceira equação, devemos anular o coeficiente da primeira incógnita e o da segunda, podendo então observar o que diz a definição: "...o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação". EXEMPLO:

18 Escalone e resolva o sistema Em primeiro lugar, precisamos anular os coeficientes de x na segunda e terceira equação. Para isso, vamos multiplicar a primeira equação por (2), assim obtemos uma nova equação: -2x + 2y - 4z = -18. Agora, vamos somar essa nova equação com a segunda equação do sistema: -2x + 2y - 4z = -18 (1 equação) 2x + y + z = 6 (2 equação) Solução: 3y - 3z = -12 ( soma das duas) Então o sistema passou por uma transformação, e agora ele ficou da seguinte forma: Obs: Note que ainda temos que anular a primeira incógnita e a segunda da terceira equação. Vamos multiplicar a primeira equação por (-2) e assim obter: 2x - 2y + 4z = +18. Somaremos com a terceira equação para obter: 2x - 2y + 4z = 18 (1 equação multiplicada por -2) -2x - 2y + z = 1 (3 equação) Solução: -4y + 5z = 19 ( soma das duas) Obs: Note que anulamos a incógnita x da segunda e terceira equação. Vamos agora repetir o processo para anular o coeficiente da incógnita y. Divida a segunda equação do sistema que acabamos de encontrar por (3). Equação encontrada:. Multiplique-a por (4). Então teremos. Por fim, some com a ultima equação do sistema acima: 4y - 4z = -16-4y + 5z = 19 Solução: z = 3 ( soma das duas) Portanto, o sistema na forma escalonada é Próximo passo é resolver este sistema já escalonado. Como já sabemos o valor da incógnita z = 3, vamos substituir na segunda equação para encontrar o valor de y: y - 3 = -4 y = y = - 1 Agora vamos substituir o valor de y = -1 e z = 3 na primeira equação e encontrar o valor de x: - x + y - 2z = x + (-1) - 2(3) = x - 7 = x = - 2 ( multiplicando por (-1)

19 x = 2 Logo, a solução do sistema é (2, -1, 3 ). O tempo utilizado para a discussão de todo o conteúdo acima será de duas aulas, e a outra parte desse tempo será utilizada para a discussão e resolução dos exercícios propostos abaixo. 1) Verifique se cada um dos sistemas abaixo está escalonado e resolva-os. a) b) c) 2) Resolva e classifique cada um dos sistemas escalonados: a) b) RELATÓRIOS DAS AULAS DE ESCALONAMENTO: - Relatório 1: Iniciamos a aula do dia 18 de setembro de 2014 com a definição de sistema escalonado, dando aos alunos uma explicação do por que se estudar esse tipo de sistema, dizendo que seria necessário para desenvolver sistemas em que o método da adição ou substituição não funcionasse. Citando alguns exemplos, os alunos disseram ter compreendido o conceito principal e, a partir disso, escalonamos um sistema de ordem 3x3 seguindo os passos do escalonamento. Vale lembrar que antes disso, tivemos que retomar o conceito de linhas e incógnitas de um sistema linear. Não seguimos o roteiro estabelecido no plano de aula. Por convenção da professora supervisora e pela falta de tempo, primeiro escalonamos um sistema linear 3x3 e feito isso explicamos como se procederia a solução do mesmo. No plano didático, a ideia era solucionar um sistema já escalonado primeiro e depois escalonar um sistema e solucioná-lo. Ao iniciarmos o processo de escalonamento, os alunos até respondiam algumas perguntas que fazíamos, como por exemplo: o resultado da multiplicação de 2 por 2. Ao longo do processo, os alunos ficaram perdidos e confusos, e até questionavam se não poderiam resolver o sistema por adição ou substituição, métodos já vistos em aulas anteriores. Novamente respondíamos que nem sempre seria possível, e que escalonar poderia algo mais prático. Como essa aula era a ultima da manhã, então os alunos começaram a ficar agitados querendo ir pra casa, o que dificultou ainda mais o processo de escalonamento. E como este se deu de forma lenta, a aula terminou sem que tivéssemos conseguido terminar o mesmo. -Relatório 2: Participei de duas aulas realizadas pela Lueinne sobre sistemas lineares, uma no 2ºD e outra no 2ºC. No 2ºD a Lueinne começou apresentando a definição e resolução de

20 sistemas lineares através do modo de escalonamento, e após passou alguns exemplos. A Lueinne foi bem didática mas infelizmente o resultado esperado não foi alcançado, os alunos tiveram muitas dificuldades, não entenderam o motivo de se escalonar um sistema linear, pois achavam mais fácil resolver pelo modo de substituição. Além de não entenderem o motivo de se escalonar um sistema, também tinham dificuldades em saber as operações que precisavam ser feitas para o sistema ficar escalonado, e cometiam muitos erros relacionados a jogo de sinal. A professora Adriana achou que os exercícios propostos no plano de aula eram muito difíceis para os alunos, e pediu para procurarmos alguns exercícios mais fáceis para serem aplicados no 2ºC, porém, aconteceu a mesma dificuldade. Nas duas salas foram passados exercícios para os alunos tentarem resolver. Alguns alunos não tentaram fazer, outros resolveram com a nossa ajuda e poucos conseguiram fazer sozinhos os exercícios.

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n

Leia mais

Unidade II - Sistemas de Equações Lineares

Unidade II - Sistemas de Equações Lineares Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 1- Situando a Temática Discutiremos agora um dos mais importantes temas da matemática: Sistemas de Equações Lineares Trata-se de um tema que tem aplicações dentro

Leia mais

Resolução de sistemas lineares

Resolução de sistemas lineares Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)

Leia mais

Carga horária: 60 horas Créditos: 04. Matrizes, Determinantes, Sistemas de Equações Lineares e Geometria Analítica.

Carga horária: 60 horas Créditos: 04. Matrizes, Determinantes, Sistemas de Equações Lineares e Geometria Analítica. Disciplina: Matemática para o Ensino Básico IV Prof Ms José Elias Dos Santos Filho Curso de Licenciatura em Matemática UFPBVIRTUAL elias@ccaeufpbbr Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle wwweadufpbbr

Leia mais

Sistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática

Sistemas Lineares. Módulo 3 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e suas Tecnologias Matemática Módulo 3 Unidade 10 Sistemas Lineares Para início de conversa... Diversos problemas interessantes em matemática são resolvidos utilizando sistemas lineares. A seguir, encontraremos exemplos de alguns desses

Leia mais

MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade

MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade MATRIZES Matriz quadrada matriz quadrada de ordem. diagonal principal matriz quadrada de ordem. - 7 9 diagonal principal diagonal secundária Matriz linha e matriz coluna [ ] colunas). (linha e matriz linha

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) III Resolução de sistemas lineares por métodos numéricos. Objetivos: Veremos

Leia mais

COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE BOM RETIRO. Plano de aula 05 junho de 2015. Bolsistas: Guimara Bulegon, Maiara Ghiggi e Viviane Polachini

COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE BOM RETIRO. Plano de aula 05 junho de 2015. Bolsistas: Guimara Bulegon, Maiara Ghiggi e Viviane Polachini COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE BOM RETIRO Plano de aula 05 junho de 2015 Bolsistas: Guimara Bulegon, Maiara Ghiggi e Viviane Polachini Supervisora: Raquel Marchetto Série: 2º ano do Ensino Médio Politécnico

Leia mais

UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE AS DIFICULDADES DOS ALUNOS DAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO MÉDIO ENVOLVENDO FRAÇÕES

UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE AS DIFICULDADES DOS ALUNOS DAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO MÉDIO ENVOLVENDO FRAÇÕES UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE AS DIFICULDADES DOS ALUNOS DAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO MÉDIO ENVOLVENDO FRAÇÕES Taciany da Silva Pereira¹, Nora Olinda Cabrera Zúñiga² ¹Universidade Federal de Minas Gerais / Departamento

Leia mais

Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli

Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli Introdução: Apresentamos esse artigo para mostrar como utilizar a técnica desenvolvida a partir do Teorema

Leia mais

Resolvendo problemas com logaritmos

Resolvendo problemas com logaritmos A UA UL LA Resolvendo problemas com logaritmos Introdução Na aula anterior descobrimos as propriedades dos logaritmos e tivemos um primeiro contato com a tábua de logarítmos. Agora você deverá aplicar

Leia mais

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: 2 3 6 a) 5 2 3 7 b) 9 2 3 Resolução de sistemas lineares Metodo da adição 4 100

Leia mais

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima.

Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima. Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima. 1 /2013 Para calcular Hom(G 1,G 2 ) ou Aut(G) vocês vão precisar ter em

Leia mais

RECURSOS DIDÁTICOS E SUA UTILIZAÇÃO NO ENSINO DE MATEMÁTICA

RECURSOS DIDÁTICOS E SUA UTILIZAÇÃO NO ENSINO DE MATEMÁTICA RECURSOS DIDÁTICOS E SUA UTILIZAÇÃO NO ENSINO DE MATEMÁTICA Resumo: Com o enfoque na metodologia de resolução de problemas, nós, bolsistas do PIBID Matemática da UFPR, elaboramos algumas atividades destinadas

Leia mais

PROVA BRASIL E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS

PROVA BRASIL E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS PROVA BRASIL E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS Josiane Bernz Siqueira (FURB) 1 professoramat_josiane@hotmail.com Ana Paula Poffo (FURB) 2 annapaulapoffo@hotmail.com Jéssica Sabel (FURB) 2 jessicasabel@terra.com.br

Leia mais

TÍTULO: TRABALHANDO SISTEMAS LINEARES ATRAVÉS DE SITUAÇÕES PROBLEMA CATEGORIA: EM ANDAMENTO ÁREA: CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA SUBÁREA: MATEMÁTICA

TÍTULO: TRABALHANDO SISTEMAS LINEARES ATRAVÉS DE SITUAÇÕES PROBLEMA CATEGORIA: EM ANDAMENTO ÁREA: CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA SUBÁREA: MATEMÁTICA Anais do Conic-Semesp. Volume 1, 2013 - Faculdade Anhanguera de Campinas - Unidade 3. ISSN 2357-8904 TÍTULO: TRABALHANDO SISTEMAS LINEARES ATRAVÉS DE SITUAÇÕES PROBLEMA CATEGORIA: EM ANDAMENTO ÁREA: CIÊNCIAS

Leia mais

PIBID: DESCOBRINDO METODOLOGIAS DE ENSINO E RECURSOS DIDÁTICOS QUE PODEM FACILITAR O ENSINO DA MATEMÁTICA

PIBID: DESCOBRINDO METODOLOGIAS DE ENSINO E RECURSOS DIDÁTICOS QUE PODEM FACILITAR O ENSINO DA MATEMÁTICA PIBID: DESCOBRINDO METODOLOGIAS DE ENSINO E RECURSOS DIDÁTICOS QUE PODEM FACILITAR O ENSINO DA MATEMÁTICA Naiane Novaes Nogueira 1 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia UESB n_n_nai@hotmail.com José

Leia mais

REFLEXÕES SOBRE A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO NA MATEMÁTICA ESCOLAR

REFLEXÕES SOBRE A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO NA MATEMÁTICA ESCOLAR REFLEXÕES SOBRE A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO NA MATEMÁTICA ESCOLAR Patrícia Lima da Silva¹ Brunna Sordi Stock² RESUMO No segundo semestre do ano de 2009, em uma das disciplinas obrigatórias do currículo de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

Preparatório para Colégio Naval, EPCAr, Colégio Militar (ensino médio) e parcial (ver conteúdo abaixo) para Pré-IME, Pré-ITA, EsPCEx, EEAer, ENEM.

Preparatório para Colégio Naval, EPCAr, Colégio Militar (ensino médio) e parcial (ver conteúdo abaixo) para Pré-IME, Pré-ITA, EsPCEx, EEAer, ENEM. O ALGEBRISTA Autor: Laércio Vasconcelos www.laercio.com.br Livro de ÁLGEBRA do ensino fundamental (6º ao 9º ano) Preparatório para Colégio Naval, EPCAr, Colégio Militar (ensino médio) e parcial (ver conteúdo

Leia mais

Aula 1: Demonstrações e atividades experimentais tradicionais e inovadoras

Aula 1: Demonstrações e atividades experimentais tradicionais e inovadoras Aula 1: Demonstrações e atividades experimentais tradicionais e inovadoras Nesta aula trataremos de demonstrações e atividades experimentais tradicionais e inovadoras. Vamos começar a aula retomando questões

Leia mais

4Distribuição de. freqüência

4Distribuição de. freqüência 4Distribuição de freqüência O objetivo desta Unidade é partir dos dados brutos, isto é, desorganizados, para uma apresentação formal. Nesse percurso, seção 1, destacaremos a diferença entre tabela primitiva

Leia mais

DICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 06

DICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 06 DICAS PARA CÁLCULOS MAIS RÁPIDOS ARTIGO 06 Este é o 6º artigo da série de dicas para facilitar / agilizar os cálculos matemáticos envolvidos em questões de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira

Leia mais

Guia do Professor Introdução

Guia do Professor Introdução Guia do Professor Introdução Pesquisas realizadas pelo SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica) mostram as dificuldades dos estudantes em resolver situações problemas. Essa situação é decorrente

Leia mais

POR QUE INVERTER O SINAL DA DESIGUALDADE EM UMA INEQUAÇÃO? GT 02 Educação matemática no ensino médio e ensino superior.

POR QUE INVERTER O SINAL DA DESIGUALDADE EM UMA INEQUAÇÃO? GT 02 Educação matemática no ensino médio e ensino superior. POR QUE INVERTER O SINAL DA DESIGUALDADE EM UMA INEQUAÇÃO? GT 02 Educação matemática no ensino médio e ensino superior. Bruno Marques Collares, UFRGS, collares.bruno@hotmail.com Diego Fontoura Lima, UFRGS,

Leia mais

MATRIZES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

MATRIZES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES MATRIZES O Excel possui uma notação especial que permite que as operações que envolvem matrizes sejam feitas rapidamente. Nesta aula, no entanto, nos focaremos no procedimento usual das operações matriciais.

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

PROJETO DE RECUPERAÇÃO EM MATEMÁTICA Manual do Professor Módulo 2 Números Racionais, Operações e Resolução de Problemas

PROJETO DE RECUPERAÇÃO EM MATEMÁTICA Manual do Professor Módulo 2 Números Racionais, Operações e Resolução de Problemas PROJETO DE RECUPERAÇÃO EM MATEMÁTICA Manual do Professor Módulo 2 Números Racionais, Operações e Resolução de Problemas Prezado(a) Professor(a) Este manual de orientações tem a finalidade de sugerir um

Leia mais

PROPOSTA PARA ESTÁGIO SUPERVISIONADO II ENSINO DE CIÊNCIAS 2010

PROPOSTA PARA ESTÁGIO SUPERVISIONADO II ENSINO DE CIÊNCIAS 2010 PROPOSTA PARA ESTÁGIO SUPERVISIONADO II ENSINO DE CIÊNCIAS 2010 OBSERVAÇÃO NA ESCOLA Localização da Escola 29/03 16/04 Espaço Físico PPP e o Ensino de Ciências OBSERVAÇÃO NA SALA Relação Professor/Alunos

Leia mais

Aula 1: Conhecendo a Calculadora

Aula 1: Conhecendo a Calculadora Nome completo do(a) aluno(a): Nº Ano: Turma: Data: / / Aula 1: Conhecendo a Calculadora Nosso objetivo é que vocês consigam identificar os conteúdos matemáticos já aprendidos na sala de aula de uma forma

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

A inclusão das Línguas Estrangeiras Modernas no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) Por Ana Paula Seixas Vial e Jonathan Zotti da Silva

A inclusão das Línguas Estrangeiras Modernas no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) Por Ana Paula Seixas Vial e Jonathan Zotti da Silva A inclusão das Línguas Estrangeiras Modernas no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) Por Ana Paula Seixas Vial e Jonathan Zotti da Silva Pela primeira vez, o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD)

Leia mais

André Ito ROTEIRO DE ESTUDOS DE RECUPERAÇÃO E REVISÃO

André Ito ROTEIRO DE ESTUDOS DE RECUPERAÇÃO E REVISÃO Pág. 1 de 7 Aluno (: Disciplina Matemática Curso Professor Ensino Fundamental II André Ito ROTEIRO DE ESTUDOS DE RECUPERAÇÃO E REVISÃO Série 8º ANO Número: 1 - Conteúdo: Equações de 1º grau (Operações,

Leia mais

A MATEMÁTICA NO CARTÃO DE CRÉDITO

A MATEMÁTICA NO CARTÃO DE CRÉDITO A MATEMÁTICA NO CARTÃO DE CRÉDITO VIANA, Waldiléria Silva ENDLICH, Rafaela Saloméa de Oliveira Araki Resuno: Trata-se de um relato de experiência com uma atividade sugerida por alunas do programa PIBID/Ifes/Vitória/matemática.

Leia mais

UMA PROPOSTA DE ENSINO DA PROBABILIDADE A PARTIR DO MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E DA LUDICIDADE EM SALA DE AULA

UMA PROPOSTA DE ENSINO DA PROBABILIDADE A PARTIR DO MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E DA LUDICIDADE EM SALA DE AULA UMA PROPOSTA DE ENSINO DA PROBABILIDADE A PARTIR DO MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E DA LUDICIDADE EM SALA DE AULA RESUMO José Jorge de Sousa; Francisco Aureliano Vidal Instituto Federal de Educação,

Leia mais

FRAÇÕES DE UMA QUANTIDADE

FRAÇÕES DE UMA QUANTIDADE FRAÇÕES DE UMA QUANTIDADE FRAÇÕES DE UMA QUANTIDADE PREPARANDO O BOLO DICAS Helena comprou 4 ovos. Ela precisa de dessa quantidade para fazer o bolo de aniversário de Mariana. De quantos ovos Helena vai

Leia mais

*Doutora em Lingüística (UNICAMP), Professora da Universidade Federal de Viçosa (UFV).

*Doutora em Lingüística (UNICAMP), Professora da Universidade Federal de Viçosa (UFV). PRÁTICAS DE LEITURA EM SALA DE AULA: O USO DE FILMES E DEMAIS PRODUÇÕES CINEMATOGRÁFICAS EM AULAS DE LÍNGUA - PORTUGUESA 52 - Adriana da Silva* adria.silva@ufv.br Alex Caldas Simões** axbr1@yahoo.com.br

Leia mais

Fração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M.

Fração como porcentagem. Sexto Ano do Ensino Fundamental. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Material Teórico - Módulo de FRAÇÕES COMO PORCENTAGEM E PROBABILIDADE Fração como porcentagem Sexto Ano do Ensino Fundamental Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto

Leia mais

Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática

Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Ministério da Educação Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Plano de Aula 1- IDENTIFICAÇÃO Secretaria

Leia mais

OLIMPIADAS DE MATEMÁTICA E O DESPERTAR PELO PRAZER DE ESTUDAR MATEMÁTICA

OLIMPIADAS DE MATEMÁTICA E O DESPERTAR PELO PRAZER DE ESTUDAR MATEMÁTICA OLIMPIADAS DE MATEMÁTICA E O DESPERTAR PELO PRAZER DE ESTUDAR MATEMÁTICA Luiz Cleber Soares Padilha Secretaria Municipal de Educação de Campo Grande lcspadilha@hotmail.com Resumo: Neste relato apresentaremos

Leia mais

5 Equacionando os problemas

5 Equacionando os problemas A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar

Leia mais

3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Introdução É o conjunto de todos os números que estão ou podem ser colocados em forma de fração. Fração Quando dividimos um todo em partes iguais e queremos representar

Leia mais

Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes

Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes Módulo 3 Unidade 29 Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes Para início de conversa... Frequentemente em jornais, revistas e também na Internet encontramos informações numéricas organizadas na

Leia mais

X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010 GESTÃO DA APRENDIZAGEM ESCOLAR EM MATEMÁTICA RELATO DE EXPERIÊNCIA NO PROGRAMA GESTAR II Sidnei Luís da Silva Escola Municipal Vereador Benedito Batista Congatem - MG sidneiluisdasilva@yahoo.com.br Camila

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura. (Números Complexos)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura. (Números Complexos) UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura (Números Complexos) Jéssica Roldão de Oliveira Assis RA 160332 Campinas 2014 1 HISTÓRIA

Leia mais

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w).

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w). Produto Interno INTRODUÇÃO Galera, vamos aprender agora as definições e as aplicações de Produto Interno. Essa matéria não é difícil, mas para ter segurança nela é necessário que o aluno tenha certa bagagem

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares

Leia mais

www.pontodosconcursos.com.br

www.pontodosconcursos.com.br Olá pessoal! Resolverei neste artigo as primeiras questões da prova do Banco do Brasil realizado em 010 pela FCC. Estamos lançando no Ponto um curso de exercícios específico para este concurso de 011 (edital

Leia mais

Segredos dos Psicotécnicos para quem não quer ser surpreendido neste volume:

Segredos dos Psicotécnicos para quem não quer ser surpreendido neste volume: Segredos dos Psicotécnicos para quem não quer ser surpreendido www.psicotecnicos.navig8.to www.psicotecnicos.prv.co.il www.psicotecnicos.ezdn.cc www.psicotecnicos.135.it www.psicotecnicos.has.it www.psicotecnicos.hit.to

Leia mais

AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM E ÉTICA. Cipriano Carlos Luckesi 1

AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM E ÉTICA. Cipriano Carlos Luckesi 1 AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM E ÉTICA Cipriano Carlos Luckesi 1 Artigo publicado na Revista ABC EDUCATIO, nº 54, março de 2006, páginas 20 e 21. Estamos iniciando um novo ano letivo. Vale a pena olhar um pouco

Leia mais

Aula 4 Conceitos Básicos de Estatística. Aula 4 Conceitos básicos de estatística

Aula 4 Conceitos Básicos de Estatística. Aula 4 Conceitos básicos de estatística Aula 4 Conceitos Básicos de Estatística Aula 4 Conceitos básicos de estatística A Estatística é a ciência de aprendizagem a partir de dados. Trata-se de uma disciplina estratégica, que coleta, analisa

Leia mais

Objetivo principal: aprender como definir e chamar funções.

Objetivo principal: aprender como definir e chamar funções. 12 NOME DA AULA: Escrevendo músicas Duração da aula: 45 60 minutos de músicas durante vários dias) Preparação: 5 minutos (se possível com introduções Objetivo principal: aprender como definir e chamar

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução

Leia mais

ESTATÍSTICA BÁSICA NO CURSO DE TÉCNICO INTEGRADO DE SEGURANÇA DO TRABALHO

ESTATÍSTICA BÁSICA NO CURSO DE TÉCNICO INTEGRADO DE SEGURANÇA DO TRABALHO ESTATÍSTICA BÁSICA NO CURSO DE TÉCNICO INTEGRADO DE SEGURANÇA DO TRABALHO Fabíola Nascimento dos Santos Paes Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco fabiola.paes@gmail.com Dorghisllany

Leia mais

Aula 4 Estatística Conceitos básicos

Aula 4 Estatística Conceitos básicos Aula 4 Estatística Conceitos básicos Plano de Aula Amostra e universo Média Variância / desvio-padrão / erro-padrão Intervalo de confiança Teste de hipótese Amostra e Universo A estatística nos ajuda a

Leia mais

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação

Leia mais

Exercícios Adicionais

Exercícios Adicionais Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos

Leia mais

COMO ENSINEI MATEMÁTICA

COMO ENSINEI MATEMÁTICA COMO ENSINEI MATEMÁTICA Mário Maturo Coutinho COMO ENSINEI MATEMÁTICA.ª edição 511 9 AGRADECIMENTOS À Deus À minha família Aos mestres da matemática do C.E.Visconde de Cairu APRESENTAÇÃO O objetivo deste

Leia mais

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Objetivos

Leia mais

por séries de potências

por séries de potências Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES

PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES PROGRAMAS COM CURSOS ACADÊMICO E PROFISSIONAL... 2 PROPOSTA DE PROGRAMA... 2 COMO COPIAR E COLAR... 2 INSTALAÇÃO DAS VERSÕES ANTERIORES DO COLETA DE DADOS:... 2 EXCLUSÃO DE UMA

Leia mais

Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma?

Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? GUIÃO REVISÕES Equações e Inequações Equações Numa turma de 6 alunos, o número de raparigas ecede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? O objectivo do problema é determinar o número

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Como escrever um estudo de caso que é um estudo de caso? Um estudo so é um quebra-cabeça que tem de ser resolvido. A primeira coisa a

Como escrever um estudo de caso que é um estudo de caso? Um estudo so é um quebra-cabeça que tem de ser resolvido. A primeira coisa a Página 1 1 Como escrever um Estudo de Caso O que é um estudo de caso? Um estudo de caso é um quebra-cabeça que tem de ser resolvido. A primeira coisa a lembre-se de escrever um estudo de caso é que o caso

Leia mais

A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática

A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática A Torre de Hanói e o Princípio da Indução Matemática I. O jogo A Torre de Hanói consiste de uma base com três pinos e um certo número n de discos de diâmetros diferentes, colocados um sobre o outro em

Leia mais

ÁGORA, Porto Alegre, Ano 4, Dez.2013. ISSN 2175-37 EDUCAR-SE PARA O TRÂNSITO: UMA QUESTÃO DE RESPEITO À VIDA

ÁGORA, Porto Alegre, Ano 4, Dez.2013. ISSN 2175-37 EDUCAR-SE PARA O TRÂNSITO: UMA QUESTÃO DE RESPEITO À VIDA ÁGORA, Porto Alegre, Ano 4, Dez.2013. ISSN 2175-37 EDUCAR-SE PARA O TRÂNSITO: UMA QUESTÃO DE RESPEITO À VIDA Luciane de Oliveira Machado 1 INTRODUÇÃO Este artigo apresenta o projeto de educação para o

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem. Princípio das Casas dos Pombos. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem. Princípio das Casas dos Pombos. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem Princípio das Casas dos Pombos Segundo Ano do Ensino Médio Prof. Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof. Antonio Caminha Muniz Neto Em Combinatória,

Leia mais

OFICINA DE JOGOS APOSTILA DO PROFESSOR

OFICINA DE JOGOS APOSTILA DO PROFESSOR OFICINA DE JOGOS APOSTILA DO PROFESSOR APRESENTAÇÃO Olá professor, Essa apostila apresenta jogos matemáticos que foram doados a uma escola de Blumenau como parte de uma ação do Movimento Nós Podemos Blumenau.

Leia mais

OBJETIVO VISÃO GERAL SUAS ANOTAÇÕES

OBJETIVO VISÃO GERAL SUAS ANOTAÇÕES OBJETIVO Assegurar a satisfação do cliente no pós-venda, desenvolvendo um relacionamento duradouro entre o vendedor e o cliente, além de conseguir indicações através de um sistema de follow-up (acompanhamento).

Leia mais

EDUCAÇÃO ALGÉBRICA, DIÁLOGOS E APRENDIZAGEM: UM RELATO DO TRABALHO COM UMA PROPOSTA DIDÁTICA 1

EDUCAÇÃO ALGÉBRICA, DIÁLOGOS E APRENDIZAGEM: UM RELATO DO TRABALHO COM UMA PROPOSTA DIDÁTICA 1 EDUCAÇÃO ALGÉBRICA, DIÁLOGOS E APRENDIZAGEM: UM RELATO DO TRABALHO COM UMA PROPOSTA DIDÁTICA 1 Claudemir Monteiro Lima Secretária de Educação do Estado de São Paulo claudemirmonteiro@terra.com.br João

Leia mais

NIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase

NIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase NIVELAMENTO 00/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica ÍNDICE. Regras dos Sinais.... Operações com frações.... Adição e Subtração....

Leia mais

Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br. Aula Gratuita PORCENTAGEM

Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br. Aula Gratuita PORCENTAGEM MATEMÁTICA FINANCEIRA ON LINE Aula Gratuita PORCENTAGEM Introdução (Clique aqui para assistir à aula gravada) A porcentagem é o estudo da matemática financeira mais aplicado ao nosso dia-a-dia. É freqüente

Leia mais

Introdução MATRIZES. O que vocês acham? Onde podemos usar Matrizes além dos estudos de matemática?

Introdução MATRIZES. O que vocês acham? Onde podemos usar Matrizes além dos estudos de matemática? PROBBILIDDES Professora Rosana Relva Números Inteiros e Racionais Introdução rrelva@globo.com O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada. Onde

Leia mais

Redação do Enem deve conter no mínimo sete linhas

Redação do Enem deve conter no mínimo sete linhas Redação do Enem deve conter no mínimo sete linhas Texto pode ser anulado pelos corretores mesmo que apresente conteúdo relacionado ao tema proposto. A redação do Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) deve

Leia mais

9 Como o aluno (pré)adolescente vê o livro didático de inglês

9 Como o aluno (pré)adolescente vê o livro didático de inglês Cap. 9 Como o aluno (pré)adolescente vê o livro didático de inglês 92 9 Como o aluno (pré)adolescente vê o livro didático de inglês Nesta parte do trabalho, analisarei alguns resultados da análise dos

Leia mais

A calculadora na construção das regras dos números inteiros

A calculadora na construção das regras dos números inteiros A calculadora na construção das regras dos números inteiros Pedro Franco de Sá Universidade do Estado do Pará/Universidade da Amazônia Brasil pedro.franco.sa@gmail.com Rosângela Cruz da Silva Salgado Programa

Leia mais

Matemática. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss.

Matemática. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss. Matemática Jacob Palis Álgebra 1 Euclides Roxo David Hilbert George F. B. Riemann George Boole Niels Henrik Abel Karl Friedrich Gauss René Descartes Gottfried Wilhelm von Leibniz Nicolaus Bernoulli II

Leia mais

0,999... OU COMO COLOCAR UM BLOCO QUADRADO EM UM BURACO REDONDO Pablo Emanuel

0,999... OU COMO COLOCAR UM BLOCO QUADRADO EM UM BURACO REDONDO Pablo Emanuel Nível Intermediário 0,999... OU COMO COLOCAR UM BLOCO QUADRADO EM UM BURACO REDONDO Pablo Emanuel Quando um jovem estudante de matemática começa a estudar os números reais, é difícil não sentir certo desconforto

Leia mais

ANALISANDO O USO DE JOGOS COMO AUXÍLIO NAS DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA

ANALISANDO O USO DE JOGOS COMO AUXÍLIO NAS DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA ANALISANDO O USO DE JOGOS COMO AUXÍLIO NAS DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA Amanda dos Santos Souza (Licencianda em Matemática/UFPB - amanda.souza13@hotmail.com) Carla Manuelle Silva de Almeida

Leia mais

Oficina - Álgebra 1. Oficina de CNI EM / Álgebra 1 Material do Monitor. Setor de Educação de Jovens e Adultos. Caro monitor,

Oficina - Álgebra 1. Oficina de CNI EM / Álgebra 1 Material do Monitor. Setor de Educação de Jovens e Adultos. Caro monitor, Oficina - Álgebra 1 Caro monitor, As situações de aprendizagem apresentadas nessa atividade têm como objetivo desenvolver o raciocínio algébrico, e assim, proporcionar que o educando realize a representação

Leia mais

Raciocínio Lógico para o INSS Resolução de questões Prof. Adeilson de melo REVISÃO 01 - conjuntos e porcentagens

Raciocínio Lógico para o INSS Resolução de questões Prof. Adeilson de melo REVISÃO 01 - conjuntos e porcentagens APRESENTAÇÃO Olá, prezados concursandos! Sejam bem-vindos à resolução de questões de Raciocínio Lógico preparatório para o INSS. Mais uma vez, agradeço ao convite do prof. Francisco Júnior pela oportunidade

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum

Leia mais

Usando o do-file editor Automatizando o Stata

Usando o do-file editor Automatizando o Stata Usando o do-file editor Automatizando o Stata 1 O QUE É O EDITOR DE DO-FILE O Stata vem com um editor de texto integrado, o do-file editor (editor de do-files, em português), que pode ser usado para executar

Leia mais

5 Considerações finais

5 Considerações finais 5 Considerações finais 5.1. Conclusões A presente dissertação teve o objetivo principal de investigar a visão dos alunos que se formam em Administração sobre RSC e o seu ensino. Para alcançar esse objetivo,

Leia mais

Contribuições do Uso de Representações Semióticas no Ensino de Sistemas de Equações no Ensino Fundamental

Contribuições do Uso de Representações Semióticas no Ensino de Sistemas de Equações no Ensino Fundamental Contribuições do Uso de Representações Semióticas no Ensino de Sistemas de Equações no Ensino Fundamental Michelsch João da Silva 1 GD2 Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental Resumo

Leia mais

Papo com a Especialista

Papo com a Especialista Papo com a Especialista Silvie Cristina (Facebook) - Que expectativas posso ter com relação à inclusão da minha filha portadora da Síndrome de Down na Educação Infantil em escola pública? Quando colocamos

Leia mais

Sumário. Introdução - O novo hábito... 1. Capítulo 1 - Pra que serve tudo isso?... 3. Sobre o vocabulário... 4. Benefícios... 7

Sumário. Introdução - O novo hábito... 1. Capítulo 1 - Pra que serve tudo isso?... 3. Sobre o vocabulário... 4. Benefícios... 7 Sumário Introdução - O novo hábito... 1 Capítulo 1 - Pra que serve tudo isso?... 3 Sobre o vocabulário... 4 Benefícios... 7 Perguntas Frequentes sobre o Orçamento Doméstico... 10 Capítulo 2 - Partindo

Leia mais

MÓDULO 5 O SENSO COMUM

MÓDULO 5 O SENSO COMUM MÓDULO 5 O SENSO COMUM Uma das principais metas de alguém que quer escrever boas redações é fugir do senso comum. Basicamente, o senso comum é um julgamento feito com base em ideias simples, ingênuas e,

Leia mais

Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com)

Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) Poliminós e o Tabuleiro de Xadrez Prof. Onofre Campos (onofrecampos@secrel.com.br) Prof. Carlos Shine (cyshine@yahoo.com) 1. O dominó Você já deve conhecer o dominó. Não vamos pensar no jogo de dominós

Leia mais

Lógica para a Programação - 1º semestre AULA 01 Prof. André Moraes

Lógica para a Programação - 1º semestre AULA 01 Prof. André Moraes Pág 4 Lógica para a Programação - 1º semestre AULA 01 Prof. André Moraes 1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE CURRICULAR A unidade curricular de Lógica para a programação tem como objetivo promover o estudo dos principais

Leia mais

Faculdade Sagrada Família

Faculdade Sagrada Família AULA 12 - AJUSTAMENTO DE CURVAS E O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Ajustamento de Curvas Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra, fazemos uma análise de regressão. Podemos dizer

Leia mais

Sistema de equações lineares

Sistema de equações lineares Sistema de equações lineares Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo ( S) a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1

Leia mais

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/1/011 pelo CEPERJ 59. O cartão de crédito que João utiliza cobra 10% de juros ao mês,

Leia mais

13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau

13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau MATEMATICA 13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR OBJETIVO O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes

Leia mais

Gabriela Zilioti, graduanda de Licenciatura e Bacharelado em Geografia na Universidade Estadual de Campinas.

Gabriela Zilioti, graduanda de Licenciatura e Bacharelado em Geografia na Universidade Estadual de Campinas. Relato de Experiência Eixo temático: Direitos Humanos - inclusão Gabriela Zilioti, graduanda de Licenciatura e Bacharelado em Geografia na Universidade Estadual de Campinas. A importância de maquetes para

Leia mais