[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo"

Transcrição

1 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n, em que x j são incógnitas (valores desconhecidos) e a ij e b j são constantes reais conhecidas. No exemplo, n é o número de incógnitas e de equações, com i = 1, 2,... n e j = 1, 2,... n. Os sistemas lineares podem ser classificados como possíveis ou impossíveis. Os sistemas possíveis possuem solução para o conjunto de incógnitas; neste caso, podem ter solução única, caso em que são chamados determinados, ou infinitas soluções, caso em que são chamados indeterminados. Os sistemas impossíveis não possuem solução para as incógnitas. Nota: condição necessária, porém não suficiente, para que um sistema de equações (lineares ou não) tenha solução é que o número de equações seja igual ao de incógnitas. 4.2 REGRA DE CRAMER Todo sistema de equações lineares pode ser posto numa forma matricial. O sistema genérico acima equivale a [a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n x 2 a n1 a n2 a nn.[x1 x n= [b1 b 2 n b ou Ax = b, em que A, a matriz n n, é chamada matriz principal do sistema e as matrizes coluna x e b representam, respectivamente, o vetor de incógnitas e o vetor de constantes independentes. O lado esquerdo da igualdade é uma multiplicação de matrizes.

2 A Regra de Cramer determina a solução exata de um sistema de equações lineares a partir de determinantes. Pela regra, a solução para a incógnita x j é dada por x j = A j A, em que A é a matriz principal do sistema e A j é a matriz formada pela substituição da coluna j de A pela matriz coluna b de constantes independentes. Ou seja, a solução é dada por uma divisão de determinantes. Note que se um sistema de equações tem matriz principal singular (isto é, tem determinante nulo) a solução não existe, pois não se admite divisão por zero. Neste caso, o sistema é impossível. Exercício resolvido: Encontre a solução, se existir, do sistema de equações lineares abaixo: x + 3y 2z = 2 Resolução: Devemos primeiramente colocar o sistema na forma matricial equivalente. Se alinharmos as incógnitas x, y e z verticalmente x + 3y 2z = 2 podemos visualizar e obter facilmente a forma matricial: [ [ x [ y = z 2 7 Assim, a matriz principal é A =[ e o vetor de constantes independentes é [ A matriz A x é dada pela substituição da 1a. coluna de A, que é a coluna associada à incógnita x, pelo vetor de constantes independentes:

3 A x = [ A matriz A y é dada pela substituição da 2a. coluna de A, que é a coluna associada à incógnita y, pelo vetor de constantes independentes: =[ A y A matriz A z é dada pela substituição da 3a. coluna de A, que é a coluna associada à incógnita z, pelo vetor de constantes independentes: =[ A z Por meio da Regra de Sarrus obtemos os determinantes das matrizes: A = = ( 1)( 2)( 3) ( 3)3.3 2( 2)2 1.1( 1) = = = = 42 que é diferente de zero, o que nos indica que o sistema é possível; A x = = ( 1)( 2)7 + 3.( 2) ( 2)3 1( 2)( 1) = = = = 42 A y = = 2( 2)1 + 3( 2)( 3) ( 3)( 2)3 7( 2) = = = = 42 A z = = ( 1)( 2)( 3) ( 3)3.3 2( 2)2 7.1( 1) = = = = 84

4 Assim, temos x = A x A = = 1, y = A y A = = 1 e z = A z A = = 2 De fato, esta é a solução pois as equações são satisfeitas quando substituímos os valores encontrados nas expressões: 2( 1) (1) + 3(2) = = 3 ( 1) + 3(1) 2(2) = = 2 3( 1) + 2(1) + (2) = = 7 Se em uma equação uma das incógnitas não é visível, o elemento pelo qual está multiplicada é zero e deverá figurar na matriz principal. 4.3 ESCALONAMENTO (MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS) Outra maneira de determinar a solução de um sistema de equações lineares é o escalonamento de equações, também conhecido como método da eliminação de Gauss. Consiste em substituir o sistema de equações por um outro com a mesma solução no qual as equações estão escalonadas. Para encontrar o sistema escalonado podemos efetuar operações que não afetam o conjunto de soluções. Essas operações são: a) trocar duas equações de posição (equivalente à troca de linhas na matriz principal original) b) multiplicar uma equação por um escalar não nulo c) substituir uma equação pela soma dela com o múltiplo de outra equação, mantendo essa outra equação inalterada Exercício resolvido: Encontre a solução do sistema apresentado no exercício resolvido anterior por meio de escalonamento.

5 Resolução: O sistema é x + 3y 2z = 2 Podemos manter a primeira equação intacta e no topo da lista de equações. Eliminamos agora a incógnita x das demais equações. Para substituir a segunda equação escolhemos uma das equações, multiplicamos por um escalar conveniente e então somamos a ela (a segunda equação). Por exemplo, multiplicamos a primeira equação por l/2, x + y/2 3z/2 = 3/2, e somamos à segunda equação, x + y/2 3z/2 + x + 3y 2z = 3/2 2, que após simplificação nos leva a Note que o fator de multiplicação l/2 foi escolhido convenientemente para gerar uma expressão em que o termo com a incógnita x (valor x) possui o mesmo valor do termo presente na segunda equação (valor x), porém com sinal trocado, o que garante a eliminação da incógnita x após a soma. Após a substituição temos o seguinte sistema (com a segunda equação substituída) Para substituir a terceira equação, multiplicamos, por exemplo, a segunda equação original por 3, 3x + 9y 6z = 6, e somamos à terceira equação, 3x + 9y 6z 3x + 2y + z = 6 + 7,

6 que após simplificação nos leva a 11y 5z = 1 Assim, com as duas substituições obtemos um novo sistema equivalente ao original no qual apenas uma das equações explicita a incógnita x: 11y 5z = 1 Este sistema tem a mesma solução do sistema original. Devemos agora eliminar a incógnita y da terceira equação do novo sistema para completar o escalonamento. Para isso, multiplicamos, por exemplo, a segunda (nova) equação por 11, 11y + 11z = 11, e somamos à terceira (nova) equação, 11y + 11z + 11y 5z = , que após simplificação nos dá 6z = 12 Assim, esta última substituição nos leva a mais um sistema de equações, completamente escalonado e também equivalente ao original, pois partilham a mesma solução: 6z = 12 Efetuado o escalonamento, podemos agora obter a solução. A solução da última equação é trivial: z = 12/6 = 2 Para obter x e y, substituímos z = 2 nas outras equações do sistema escalonado: 2x y + 3(2) = 3 y (2) = 1 e obtemos

7 2x y = 3 y = 1 A solução de y também é trivial: y = 1. Substituindo y = 1 na primeira das equações anteriores temos 2x (1) = 3, que nos leva a 2x = 2, ou seja, x = 1 Logo, a solução é x = 1, y = 1 e z = 2, como determinado no exercício anterior.

a 1 x 1 +... + a n x n = b,

a 1 x 1 +... + a n x n = b, Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição

Leia mais

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO

E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO E A D - S I S T E M A S L I N E A R E S INTRODUÇÃO Dizemos que uma equação é linear, ou de primeiro grau, em certa incógnita, se o maior expoente desta variável for igual a um. Ela será quadrática, ou

Leia mais

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação

Leia mais

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2

O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata

Leia mais

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: 2 3 6 a) 5 2 3 7 b) 9 2 3 Resolução de sistemas lineares Metodo da adição 4 100

Leia mais

[a11 a12 a1n 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade

MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade MATRIZES Matriz quadrada matriz quadrada de ordem. diagonal principal matriz quadrada de ordem. - 7 9 diagonal principal diagonal secundária Matriz linha e matriz coluna [ ] colunas). (linha e matriz linha

Leia mais

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n

Leia mais

Sistema de equações lineares

Sistema de equações lineares Sistema de equações lineares Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo ( S) a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução

Leia mais

Equação do 1º Grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

Equação do 1º Grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior Maurício Bezerra Bandeira Junior Introdução às equações de primeiro grau Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que

Leia mais

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/

Leia mais

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/

Leia mais

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por

Leia mais

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas 2 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas Sumário 1 Transformação de Matrizes.............. 3 1.1

Leia mais

Sistemas Lineares. 2. (Ufsj 2013) Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas x, y e z:

Sistemas Lineares. 2. (Ufsj 2013) Considere o seguinte sistema de equações lineares, nas incógnitas x, y e z: Sistemas Lineares 1. (Unesp 2013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há exemplares

Leia mais

Título: Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica e Gráfica

Título: Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica e Gráfica Autor Letícia Guimarães Rangel Co-autor(es): Fernando Celso Villar Marinho Lílian Káram Parente Cury Spiller Rita Maria Cardoso Meirelles Tipo de Pesquisa Ensino Médio Números e Operações Componente Curricular

Leia mais

Sistemas Lineares e Escalonamento

Sistemas Lineares e Escalonamento Capítulo 1 Sistemas Lineares e Escalonamento Antes de iniciarmos nos assuntos geométricos da Geometria Analítica, vamos recordar algumas técnicas sobre escalonamento de matrizes com aplicações na solução

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012 NIVELAMENTO MATEMÁTICA 202 Monitor: Alexandre Rodrigues Loures Monitor: Alexandre Rodrigues Loures SUMÁRIO. LOGARITMOS... 3.. Mudança de base... 3.2. Propriedades dos logaritmos... 4 2. DERIVADAS... 4

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT

UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS CCT DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT Professora Graciela Moro Exercícios sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \.

[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV Å 1Ro}HV *HUDLV Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. [\ [\ É fácil verificar

Leia mais

Resolução de sistemas lineares

Resolução de sistemas lineares Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Primeiro grau Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de

Leia mais

A equação do 2º grau

A equação do 2º grau A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.

Leia mais

Unidade II - Sistemas de Equações Lineares

Unidade II - Sistemas de Equações Lineares Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 1- Situando a Temática Discutiremos agora um dos mais importantes temas da matemática: Sistemas de Equações Lineares Trata-se de um tema que tem aplicações dentro

Leia mais

EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14 EQUAÇÃO DO 1º GRAU EQUAÇÃO: Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau

13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau MATEMATICA 13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR OBJETIVO O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes

Leia mais

Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Aula 11 Equações e sistemas lineares. Francisco A. M. Gomes. Março de 2015

Roteiro da aula. MA091 Matemática básica. Aula 11 Equações e sistemas lineares. Francisco A. M. Gomes. Março de 2015 Roteiro da aula MA091 Matemática básica Aula 11 Equações e sistemas lineares 1 Francisco A. M. Gomes 2 UNICAMP - IMECC Março de 2015 3 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC) MA091 Matemática básica Março

Leia mais

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 1. (alternativa C) Os números 0,01 e 0,119 são menores que 0,12. Por outro lado, 0,1 e 0,7 são maiores que 0,. Finalmente, 0,29 é maior que 0,12 e menor

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª

Leia mais

CURSO DE. Álgebra Linear Aplicada

CURSO DE. Álgebra Linear Aplicada CURSO DE Álgebra Linear Aplicada Antonio Cândido Faleiros Centro de Matemática, Computação e Cognição Universidade Federal do ABC Santo André, SP 6 de abril de 2009 Sumário 1 Equações lineares 1 1.1 Equaçãoalgébricalinear...

Leia mais

SISTEMAS LINEARES CONCEITOS

SISTEMAS LINEARES CONCEITOS SISTEMAS LINEARES CONCEITOS Observemos a equação. Podemos perceber que ela possui duas incógnitas que são representadas pelas letras x e y. Podemos também notar que se e, a igualdade se torna verdadeira,

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática

Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Ministério da Educação Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Plano de Aula 1- IDENTIFICAÇÃO Secretaria

Leia mais

Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli

Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Discussão de Sistemas Teorema de Rouché Capelli Introdução: Apresentamos esse artigo para mostrar como utilizar a técnica desenvolvida a partir do Teorema

Leia mais

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,

Leia mais

Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES

Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES Formulação A programação linear lida com problemas nos quais uma função objectivo linear deve ser optimizada (maximizada ou minimizada)

Leia mais

Expansão linear e geradores

Expansão linear e geradores Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;

Leia mais

RESUMO TEÓRICO. Operações Elementares não alteram a solução de um sistema e fazem parte dos processos de busca de tal solução.

RESUMO TEÓRICO. Operações Elementares não alteram a solução de um sistema e fazem parte dos processos de busca de tal solução. RESUMO TEÓRICO IDÉIAS DOS CONCEITOS: Sistemas Lineares como composição de várias equações lineares, que devem ser satisfeitas simultaneamente. De um modo geral, tais equações modelam restrições encontradas

Leia mais

Gabarito da Prova de Oficinas dos Velhos Ano 2008

Gabarito da Prova de Oficinas dos Velhos Ano 2008 Gabarito da Prova de Oficinas dos Velhos Ano 2008 12 de maio de 2008 1 (a) O objetivo principal da oficina de espectroscopia é que os aprendizes aprendessem, rápido, a interpretar espectros e linhas espectrais,

Leia mais

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim

FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares; Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso,

Leia mais

5 Equacionando os problemas

5 Equacionando os problemas A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar

Leia mais

Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes

Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes Módulo 3 Unidade 29 Conhecendo um pouco de matrizes e determinantes Para início de conversa... Frequentemente em jornais, revistas e também na Internet encontramos informações numéricas organizadas na

Leia mais

ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVO DC (03/12/2013)

ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVO DC (03/12/2013) Governo do Estado de Pernambuco Secretaria de Educação Secretaria Executiva de Educação Profissional Escola Técnica Estadual Professor Agamemnon Magalhães ETEPAM Aluno: Avaliação do Prof. (N5): ANÁLISE

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Equações do 2º grau

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Equações do 2º grau AMEI Escolar Matemática 9º Ano Equações do 2º grau Operações com polinómios. Casos notáveis da multiplicação de polinómios. Decomposição em factores (revisões) Na escrita de polinómios as letras representam

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) III Resolução de sistemas lineares por métodos numéricos. Objetivos: Veremos

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU 1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais,

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA E CALCULADORA

MATEMÁTICA BÁSICA E CALCULADORA DISCIPLINA MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR SILTON JOSÉ DZIADZIO APOSTILA 01 MATEMÁTICA BÁSICA E CALCULADORA A matemática Financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do

Leia mais

CI202 - Métodos Numéricos

CI202 - Métodos Numéricos CI202 - Métodos Numéricos Lista de Exercícios 2 Zeros de Funções Obs.: as funções sen(x) e cos(x) devem ser calculadas em radianos. 1. Em geral, os métodos numéricos para encontrar zeros de funções possuem

Leia mais

MATEMÁTICA. Aula 1 Revisão. Prof. Anderson

MATEMÁTICA. Aula 1 Revisão. Prof. Anderson MATEMÁTICA Aula 1 Revisão Prof. Anderson Assuntos Equação do 1º grau com uma variável. Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis. Equação do º grau com uma variável. Equação do 1º grau com uma

Leia mais

Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Resolvendo Equações Matriciais no Excel

Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Resolvendo Equações Matriciais no Excel Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Resolvendo Equações Matriciais no Excel O que o aluno poderá aprender com esta aula Escrever um sistema linear que corresponda a uma situação-problema. Interpretar um sistema

Leia mais

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w).

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w). Produto Interno INTRODUÇÃO Galera, vamos aprender agora as definições e as aplicações de Produto Interno. Essa matéria não é difícil, mas para ter segurança nela é necessário que o aluno tenha certa bagagem

Leia mais

Conceitos Fundamentais

Conceitos Fundamentais Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;

Leia mais

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária

Leia mais

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS Capítulo II INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS A Análise Factorial de Correspondências é uma técnica simples do ponto de vista matemático e computacional. Porém, devido ao elevado suporte geométrico desta

Leia mais

Matriz de Admitância e Cálculo de Redes. Joinville, 8 de Abril de 2013

Matriz de Admitância e Cálculo de Redes. Joinville, 8 de Abril de 2013 Matriz de Admitância e Cálculo de Redes Matriz de Admitância e Cálculo de Redes Joinville, 8 de Abril de 2013 Escopo dos Tópicos Abordados Matriz de Admitância e Cálculo de Redes Matriz de Admitância;

Leia mais

4 Sistemas de Equações Lineares

4 Sistemas de Equações Lineares Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 4 Sistemas de Equações Lineares 1 Definição Rank ou característica de uma matriz ( ) Número máximo de linhas de que formam um conjunto

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA. Operações

MATEMÁTICA BÁSICA. Operações MATEMÁTICA BÁSICA Regras dos Sinais a) Adição (+) Soma (+) + (+) = (+) (-) + (-) = (-) (+) + (-) = Sinal do Maior (-) + (+) = Sinal do Maior (+6) + (+3) = +6 +3 = 9 (-6) + (-3) = -6-3 = -9 (+6) + (-3)

Leia mais

Pesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof.

Pesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof. Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Prof. José Luiz Função Linear - Introdução O conceito de função é encontrado em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Paralelismo e Perpendicularismo. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Paralelismo e Perpendicularismo. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Paralelismo e Perpendicularismo 3 a série EM Geometria Analítica 1 Paralelismo e Perpendicularismo 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1 Determine se as retas de equações

Leia mais

MATERIAL MATEMÁTICA I

MATERIAL MATEMÁTICA I MATERIAL DE MATEMÁTICA I CAPÍTULO I REVISÃO Curso: Administração 1 1. Revisão 1.1 Potência de Epoente Inteiro Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as seguintes propriedades

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

2 Matrizes. 3 Definição Soma de duas matrizes, e ( ) 4 Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( )

2 Matrizes. 3 Definição Soma de duas matrizes, e ( ) 4 Propriedades Propriedades da soma de matrizes ( ) Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Matriz ( ) Conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. Ex.: 0 1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas. 2 Definição

Leia mais

Aceleração Constante

Aceleração Constante Objetivos: Aceleração Constante Encontrar as equações do movimento a aceleração constante e traçar uma metodologia para resolução destes problemas; Detalhar o movimento de Queda Livre para um corpo próximo

Leia mais

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS A RTIGO PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS Fábio Marson Ferreira e Walter Spinelli Professores do Colégio Móbile, São Paulo Recentemente nos desafiamos

Leia mais

Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo 2 - Problemas de Valores Fronteira para Equações Diferenciais Ordinárias Departamento de Matemática balsa@ipb.pt Mestrados em Engenharia da Construção Métodos de Aproximação em Engenharia 1 o

Leia mais

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Equações do primeiro grau

Equações do primeiro grau Módulo 1 Unidade 3 Equações do primeiro grau Para início de conversa... Você tem um telefone celular ou conhece alguém que tenha? Você sabia que o telefone celular é um dos meios de comunicação que mais

Leia mais

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia

Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia ENG 1403 Circuitos Elétricos e Eletrônicos Resposta Transitória de Circuitos com Elementos Armazenadores de Energia Guilherme P. Temporão 1. Introdução Nas últimas duas aulas, vimos como circuitos com

Leia mais

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário.

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. 10. NÚMEROS COMPLEXOS 10.1 INTRODUÇÃO Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. O número a é denominado parte real do número complexo

Leia mais

R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).

R é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores

Leia mais

Equações do segundo grau

Equações do segundo grau Módulo 1 Unidade 4 Equações do segundo grau Para início de conversa... Nesta unidade, vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Na unidade anterior, você estudou sobre as equações de primeiro

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

Currículo da Disciplina de Matemática - 7º ano. Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Organização e Tratamento de Dados (OTD)

Currículo da Disciplina de Matemática - 7º ano. Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Organização e Tratamento de Dados (OTD) Domínios de conteúdos: Números e Operações (NO) Geometria e Medida (GM) Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Álgebra (ALG) Organização e Tratamento de Dados (OTD) Domínio NO7 9 GM7 33 Números racionais

Leia mais

b) A quantidade mínima de peças que a empresa precisa vender para obter lucro.

b) A quantidade mínima de peças que a empresa precisa vender para obter lucro. Avaliação Trimestral Amanda Marques Adm-Manhã 1. Uma empresa produz um tipo de peça para automóveis. O custo de produção destas peças é dado por um custo fixo de R$10,00 mais R$5,00 por peça produzida.

Leia mais

Calcular o montante de um capital de $1.000,00, aplicado à taxa de 4 % ao mês, durante 5 meses.

Calcular o montante de um capital de $1.000,00, aplicado à taxa de 4 % ao mês, durante 5 meses. JUROS COMPOSTOS Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período de montante anterior. Neste regime de capitalização a

Leia mais

6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto

6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto Capítulo 6. Autômatos com Pilha 6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto Nos exemplos da seção anterior, vimos que os autômatos com pilha existem para

Leia mais

COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES

COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES COLÉGIO ETIP NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO INTEGRADO À INFORMÁTICA PROFESSOR RUBENS SOARES SANTO ANDRÉ 2012 MEDIDAS DE SUPERFÍCIES (ÁREA): No sistema métrico decimal, devemos lembrar que,

Leia mais

EXPERIMENTO N o 6 LENTES CONVERGENTES INTRODUÇÃO

EXPERIMENTO N o 6 LENTES CONVERGENTES INTRODUÇÃO EXPERIMENTO N o 6 LENTES CONVERGENTES INTRODUÇÃO Ao incidir em uma lente convergente, um feixe paralelo de luz, depois de passar pela lente, é concentrado em um ponto denominado foco (representado por

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2009 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 2009 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBULAR 9 a Fase Professora Maria Antônia Gouveia Questão Na impressão de 8 cópias de uma mesma prova, foram usadas duas impressoras, A e B, sendo que B trabalhou dez minutos

Leia mais

Sistema de Numeração e Aritmética Básica

Sistema de Numeração e Aritmética Básica 1 Sistema de Numeração e Aritmética Básica O Sistema de Numeração Decimal possui duas características importantes: ele possui base 10 e é um sistema posicional. Na base 10, dispomos de 10 algarismos para

Leia mais

Lista de exercícios 8 Mudança de Bases

Lista de exercícios 8 Mudança de Bases Universidade Federal do Paraná 1 semestre 015. Algebra Linear CM 005 Olivier Brahic Física - TA Lista de exercícios 8 Mudança de Bases Observação: no livro do Leon [1] o autor chama de matriz de transição

Leia mais

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 8.º ANO

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 8.º ANO DE MATEMÁTICA 8.º ANO Ano Letivo 2015 2016 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de relacionar números racionais e dízimas, completar a reta numérica e ordenar números

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da

FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto

Leia mais