Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

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1 Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 46 DeMat-ESTiG

2 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG

3 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Método de Cramer Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG

4 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Método de Cramer Método de Eliminação de Gauss Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG

5 Sumário Método da Matriz Inversa Representação Matricial de um Sistema Cálculo da Matriz Inversa Método de Cramer Método de Eliminação de Gauss Classificação dos sistemas Classificação Matemática I 2/ 46 DeMat-ESTiG

6 Motivação Exemplo 1: aplicação de sistemas de equações lineares Uma empresa de transportes marítimos transporta as suas mercadorias em caixas de 3 tipos, designados por A, B e C, dispondo igualmente de 3 tipos de contentores, designados por I, II e III, que podem transportar as seguintes quantidades de caixas: A B C I II III Quantas caixas de cada tipo (x 1, x 2 e x 3 ) deve a empresa preparar para o caso de ter ao seu dispor 42 contentores do tipo I, 27 do tipo II ou 33 do tipo III? Matemática I 3/ 46 DeMat-ESTiG

7 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG

8 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Este sistema pode representar-se na forma matricial: 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG

9 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Este sistema pode representar-se na forma matricial: 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = x 1 x 2 x 3 = Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG

10 Motivação, continuação Exemplo 1: solução é obtida resolvendo o seguinte sistemas 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 42 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 27 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 33 Este sistema pode representar-se na forma matricial: 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = x 1 x 2 x 3 = Como resolver este sistema? Matemática I 4/ 46 DeMat-ESTiG

11 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG

12 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG

13 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b =... a m1 } a m2... {{ a mn } x n } {{ } b m } {{ } A x b Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG

14 Representação Matricial de um Sistema O sistema com m equações e n incógnitas pode ser representado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b =... a m1 } a m2... {{ a mn } x n } {{ } b m } {{ } A x b Ax = b Matemática I 5/ 46 DeMat-ESTiG

15 Representação Matricial de um Sistema Equação Matricial Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax = b A é a matriz dos coeficientes x é vector da incógnitas (solução so sistema) b é vector dos termos independentes do sistema Matemática I 6/ 46 DeMat-ESTiG

16 Representação Matricial de um Sistema Equação Matricial Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax = b A é a matriz dos coeficientes x é vector da incógnitas (solução so sistema) b é vector dos termos independentes do sistema Resolver o sistema consiste em resolver a equação matricial Ax = b em ordem ao vector x Matemática I 6/ 46 DeMat-ESTiG

17 Representação Matricial de um Sistema Equação Matricial Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax = b A é a matriz dos coeficientes x é vector da incógnitas (solução so sistema) b é vector dos termos independentes do sistema Resolver o sistema consiste em resolver a equação matricial Ax = b em ordem ao vector x Vamos resolver apenas sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas (m = n), nesse caso a matriz A é quadrada Matemática I 6/ 46 DeMat-ESTiG

18 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que AA 1 = A 1 A = I Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG

19 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG

20 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG

21 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG

22 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b A solução do sistema é igual à multiplicação da matriz inversa, A 1, pelo vector dos termos independentes, b Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG

23 Representação Matricial de um Sistema Resolução da Equação Matricial Se A for quadrada e não-singular, existe uma matriz, representada por A 1, que é inversa de A tal que Resolver AA 1 = A 1 A = I Ax = b A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b A solução do sistema é igual à multiplicação da matriz inversa, A 1, pelo vector dos termos independentes, b Resolução do sistema passa por calcular A 1 Matemática I 7/ 46 DeMat-ESTiG

24 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Adjunta Definição de Matriz Adjunta: Considerando A uma matriz de ordem n, chama-se matriz adjunta de A, e designa-se por adj(a), à matriz de ordem n cujo (j, i)-ésimo elemento é o cofactor (ou complemento algébrico) A ij de a ij : adj (A) = A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n... A n1 A n2 A nn T = A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2... A 1n A 2n A nn Matemática I 8/ 46 DeMat-ESTiG

25 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2: Matriz Adjunta Calcular a matriz adjunta de A, do Exemplo 1, A = Matemática I 9/ 46 DeMat-ESTiG

26 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2: Matriz Adjunta Calcular a matriz adjunta de A, do Exemplo 1, A = Começamos por calcular os cofactores A 11 = ( 1) = 0; A 12 = ( 1) = 5 A 13 = ( 1) = 5; A 21 = ( 1) = 9 A 22 = ( 1) = 8; A 23 = ( 1) = 2 A 31 = ( 1) = 6; A 32 = ( 1) = 2 A 33 = ( 1) = 7 Matemática I 9/ 46 DeMat-ESTiG

27 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 2, continuação adj(a) = T = Matemática I 10/ 46 DeMat-ESTiG

28 Cálculo da Matriz Inversa Desenvolvimento de Laplace Se A for quadrada e de ordem n verifica-se que { A se i = k, a i1 A k1 + a i2 A k a in A kn = 0 se i k. Se i = k corresponde ao determinante de A obtido através do desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha Caso i k corresponde ao determinante de uma matriz B cuja linha k é substituída pela linha i, que pelas propriedades dos determinantes é nulo Matemática I 11/ 46 DeMat-ESTiG

29 Cálculo da Matriz Inversa Desenvolvimento de Laplace Se A for quadrada e de ordem n verifica-se que { A se i = k, a i1 A k1 + a i2 A k a in A kn = 0 se i k. Se i = k corresponde ao determinante de A obtido através do desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha Caso i k corresponde ao determinante de uma matriz B cuja linha k é substituída pela linha i, que pelas propriedades dos determinantes é nulo Matemática I 11/ 46 DeMat-ESTiG

30 Cálculo da Matriz Inversa Desenvolvimento de Laplace Se A for quadrada e de ordem n verifica-se que { A se i = k, a i1 A k1 + a i2 A k a in A kn = 0 se i k. Se i = k corresponde ao determinante de A obtido através do desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha Caso i k corresponde ao determinante de uma matriz B cuja linha k é substituída pela linha i, que pelas propriedades dos determinantes é nulo Este resultado pode extender-se ao desenvolvimento de Laplace por coluna { A se j = k, a 1j A 1k + a 2j A 2k a nj A nk = 0 se j k. Matemática I 11/ 46 DeMat-ESTiG

31 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG

32 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Respostas: 1. a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 = (3)( 9)+(2)(8)+(2)( 2) = 15 = A Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG

33 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Respostas: 1. a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 = (3)( 9)+(2)(8)+(2)( 2) = 15 = A 2. a 21 A 31 + a 22 A 32 + a 23 A 33 = (3)(6) + (2)( 2) + (2)( 7) = 0 Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG

34 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 3: Desenvolvimento de Laplace Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. Desenvolvimento da linha 2 2. Desenvolvimento da linha 2 com os cofactores da 3 a linha 3. Desenvolvimento da coluna 3 com os cofactores da 1 a coluna Respostas: 1. a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 = (3)( 9)+(2)(8)+(2)( 2) = 15 = A 2. a 21 A 31 + a 22 A 32 + a 23 A 33 = (3)(6) + (2)( 2) + (2)( 7) = 0 3. a 13 A 11 + a 23 A 21 + a 33 A 31 = (2)(0) + (2)( 9) + (3)(6) = 0 Matemática I 12/ 46 DeMat-ESTiG

35 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa A adj(a) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in... a n1 a n2 a nn A 11 A 21 A j1 A n1 A 12 A 22 A j2 A n2.... A 1n A 2n A jn A nn Como o (i, j)-ésimo elemento da matriz produto A adj(a) é { A se i = j, a i1 A j1 + a i2 A j a in A jn = 0 se i j Matemática I 13/ 46 DeMat-ESTiG

36 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação A A 0 A adj(a) = = A 0 0 A = A I n Da mesma forma adj(a) A = A I n adj(a) A = A I n 1 A adj(a) A = I n A 1 A = I n Matemática I 14/ 46 DeMat-ESTiG

37 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação Se A for uma matriz quadrada de ordem n a sua inversa é A 1 = 1 A adj(a) Matemática I 15/ 46 DeMat-ESTiG

38 Cálculo da Matriz Inversa Matriz Inversa, continuação Se A for uma matriz quadrada de ordem n a sua inversa é A 1 = 1 A adj(a) A admite inversa se e só se A 0 Matemática I 15/ 46 DeMat-ESTiG

39 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 4: Resolução pelo Método da Matriz Inversa Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. A 1, a matriz inversa de A 2. Resolver o sistema Ax = b, enunciado no Exemplo 1 Matemática I 16/ 46 DeMat-ESTiG

40 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 4: Resolução pelo Método da Matriz Inversa Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. A 1, a matriz inversa de A 2. Resolver o sistema Ax = b, enunciado no Exemplo 1 Respostas: A 1 = 1 A adj(a) = = Matemática I 16/ 46 DeMat-ESTiG

41 Cálculo da Matriz Inversa Exemplo 4: Resolução pelo Método da Matriz Inversa Considerando a matriz A, do Exemplo 1, vamos calcular 1. A 1, a matriz inversa de A 2. Resolver o sistema Ax = b, enunciado no Exemplo 1 Respostas: A 1 = 1 A adj(a) = 1 15 x = A 1 b = = = Matemática I 16/ 46 DeMat-ESTiG

42 Componentes do Vector Solução Como vimos anteriormente, a solução dum sistema Ax = b, com n equações e n incógnitas, existe e é única se A 0 e é dada por x = x 1 x 2. x n = A 1 b = A 11 A. A 1i A. A 1n A A 21 A A 2i A A 2n A A n1 A A ni A A nn A b 1 b 2. b n. Matemática I 17/ 46 DeMat-ESTiG

43 Componentes do Vector Solução Como vimos anteriormente, a solução dum sistema Ax = b, com n equações e n incógnitas, existe e é única se A 0 e é dada por x = x 1 x 2. x n = A 1 b = A 11 A. A 1i A. A 1n A Da igualdade anterior verificamos que A 21 A A 2i A A 2n A A n1 A A ni A A nn A b 1 b 2. b n x i = A 1i A b 1 + A 2i A b A ni A b n para (1 i n). Matemática I 17/ 46 DeMat-ESTiG

44 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG

45 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Calculando A i pelo desenvolvimento de Laplace da i-ésima coluna: A i = b 1 A 1i + b 2 A 2i + + b n A ni Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG

46 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Calculando A i pelo desenvolvimento de Laplace da i-ésima coluna: A i = b 1 A 1i + b 2 A 2i + + b n A ni = x i A Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG

47 Método de Cramer Seja A i uma matriz obtida de A, substituindo a coluna i por b a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Calculando A i pelo desenvolvimento de Laplace da i-ésima coluna: A i = b 1 A 1i + b 2 A 2i + + b n A ni = x i A Assim concluímos que x i = A i, para i = 1, 2,..., n A Matemática I 18/ 46 DeMat-ESTiG

48 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG

49 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer x 1 = A 1 A = = = 3 Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG

50 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer x 1 = A 1 A x 2 = A 2 A = = = = 3 = = 4 Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG

51 Exemplo 5: Método de Cramer Resolver sistema Ax = b, do Exemplo 1, pelo método de Cramer x 1 = A 1 A x 2 = A 2 A x 3 = A 3 A = = = = = 3 = = 4 = = 5 Matemática I 19/ 46 DeMat-ESTiG

52 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG

53 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. 1. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por alteração da ordem de duas das suas equações: E i E j Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG

54 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. 1. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por alteração da ordem de duas das suas equações: E i E j 2. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por multiplicação de uma das suas equações por um escalar não nulo: E i αe i, com α 0 Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG

55 Sistemas Equivalentes Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções de um deles (e só essas) forem também soluções do outro. 1. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por alteração da ordem de duas das suas equações: E i E j 2. Dois sistemas são equivalentes se um for obtido do outro por multiplicação de uma das suas equações por um escalar não nulo: E i αe i, com α 0 3. Dois sistemas são equivalentes se a uma das suas equações for adicionado (ou subtraído) um múltiplo de outra equação: E i E i + αe j. Matemática I 20/ 46 DeMat-ESTiG

56 Exemplo 1: Sistemas Equivalentes Os seguintes sistemas são equivalentes E 1 2E 1 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 2x + 2y 2z = 2 2x 3y + z = 4 3x z = 1 x y + z = 1 E 1 E 2 E 3 E 3 E 1 x + y z = 1 2x 3y + z = 4 3x z = 1 x y + z = 1 2x + 2y 2z = 2 2x 3y + z = 4 x 2y + z = 3 x y + z = 1 Matemática I 21/ 46 DeMat-ESTiG

57 Exemplo 1, continuação Operações sobre equações apenas afecta linhas das matrizes A e b, sistema Ax = b é representado, para efeitos de resolução, pela matriz aumentada [A b] L 1 2L L 1 L L 3 L 3 L Matemática I 22/ 46 DeMat-ESTiG

58 Exemplo 1, continuação Operações sobre equações apenas afecta linhas das matrizes A e b, sistema Ax = b é representado, para efeitos de resolução, pela matriz aumentada [A b] L 1 2L L 1 L L 3 L 3 L Estas operações são designadas por operações elementares por linhas Matemática I 22/ 46 DeMat-ESTiG

59 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG

60 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG

61 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Se A é triangular superior os elementos abaixo da diagonal principal são nulos: a ij = 0 para i > j e o sistema Ax = b é resolvido por substituição regressiva n x n = b n /a nn, x i = b i a ij x j /a ii, i = n 1,..., 1 j=i+1 Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG

62 Sistemas Triangulares Os sistemas triangulares são facilmente resolvidos por substituição Se A é triangular superior os elementos abaixo da diagonal principal são nulos: a ij = 0 para i > j e o sistema Ax = b é resolvido por substituição regressiva n x n = b n /a nn, x i = b i a ij x j /a ii, i = n 1,..., 1 j=i+1 Se A é triangular inferior os elementos acima da diagonal principal são todos nulos: a ij = 0 para i < j e o sistema Ax = b é resolvido por substituição progressiva i 1 x 1 = b 1 /a 11, x i = b i a ij x j /a ii, i = 2,..., n j=1 Matemática I 23/ 46 DeMat-ESTiG

63 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG

64 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Resolvendo por substiutição progressiva obtemos y = [ ] T Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG

65 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Resolvendo por substiutição progressiva obtemos y = [ ] T Sistema triangular superior 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 x Ax = b 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 3 + 2x 4 = 2 2x 4 = 0 Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG

66 Exemplo 2: Sistemas Triangulares Sistema triangular inferior y 1 = 3 2y Ay = b 1 + y 2 = 7 4y 1 + 3y 2 + y 3 = 17 3y 1 + 4y 2 + y 3 + y 4 = 15 Resolvendo por substiutição progressiva obtemos y = [ ] T Sistema triangular superior 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 x Ax = b 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 3 + 2x 4 = 2 2x 4 = 0 Resolvendo por substituição progressiva obtemos x = [ ] T Matemática I 24/ 46 DeMat-ESTiG

67 Método de Gauss 1. Reduzir o sistema à forma triangular através de operações elementares por linhas Matemática I 25/ 46 DeMat-ESTiG

68 Método de Gauss 1. Reduzir o sistema à forma triangular através de operações elementares por linhas 2. Resolver o sistema triangular por substituição Matemática I 25/ 46 DeMat-ESTiG

69 Método de Gauss 1. Reduzir o sistema à forma triangular através de operações elementares por linhas 2. Resolver o sistema triangular por substituição Este método é por vezes designado por método de eliminação de Gauss, pois consiste em eliminar as incógnitas das equações até se poder resolver o sistema por substituição Matemática I 25/ 46 DeMat-ESTiG

70 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG

71 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = x y = 1 1 z Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG

72 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 A matriz aumentada é igual a x y = 1 1 z Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG

73 Exemplo 3: Método de Eliminação de Gauss 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 A matriz aumentada é igual a x y = 1 1 z L 1 L Matemática I 26/ 46 DeMat-ESTiG

74 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG

75 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L L 3 L 3 (3/5)L /5 2/ Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG

76 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L L 3 L 3 (3/5)L /5 2/ Terminada a primeira faze vamos proceder à substituição regressiva x + y z = 1 5y + 3z = 6 1/5z = 2/5 0 = 0 Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG

77 Exemplo 3, continuação L 2 L 2 2L1 L 3 L 3 3L1 L 4 L 4 + L L 3 L 3 (3/5)L /5 2/ Terminada a primeira faze vamos proceder à substituição regressiva x + y z = 1 5y + 3z = 6 1/5z = 2/5 0 = 0 x + y z = 1 5y + 3(2) = 6 z = 2 Matemática I 27/ 46 DeMat-ESTiG

78 Exemplo 3, continuação x + y z = 1 y = 0 z = 2 Matemática I 28/ 46 DeMat-ESTiG

79 Exemplo 3, continuação x + y z = 1 y = 0 z = 2 x = 1 y = 0 z = 2 Matemática I 28/ 46 DeMat-ESTiG

80 Exemplo 3, continuação x + y z = 1 y = 0 z = 2 x = 1 y = 0 z = 2 x = 1 y = 0 z = 2 Matemática I 28/ 46 DeMat-ESTiG

81 Método de Gauss-Jordan 1. Anular todos os coeficientes situados fora da diagonal principal Matemática I 29/ 46 DeMat-ESTiG

82 Método de Gauss-Jordan 1. Anular todos os coeficientes situados fora da diagonal principal 2. Assegurar que todos os coeficientes da diagonal principal são unitários. Matemática I 29/ 46 DeMat-ESTiG

83 Método de Gauss-Jordan 1. Anular todos os coeficientes situados fora da diagonal principal 2. Assegurar que todos os coeficientes da diagonal principal são unitários. Este método consiste em manter apenas uma incógnita por equação, eliminado as restantes, de maneira a obter directamente a solução do sistema Matemática I 29/ 46 DeMat-ESTiG

84 Exemplo 4: Método de Gauss-Jordan Sistema do exemplo 4 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 Matemática I 30/ 46 DeMat-ESTiG

85 Exemplo 4: Método de Gauss-Jordan Sistema do exemplo 4 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 é equivalente a outro que pode ser representado pela matriz aumentada Matemática I 30/ 46 DeMat-ESTiG

86 Exemplo 4: Método de Gauss-Jordan Sistema do exemplo 4 2x 3y + z = 4 x + y z = 1 3x z = 1 x y + z = 1 é equivalente a outro que pode ser representado pela matriz aumentada L 1 L 1 + L L 2 L 2 3L Matemática I 30/ 46 DeMat-ESTiG

87 Exemplo 4, continuação L 2 ( 1/5)L Matemática I 31/ 46 DeMat-ESTiG

88 Exemplo 4, continuação L 2 ( 1/5)L L 1 L 1 L Matemática I 31/ 46 DeMat-ESTiG

89 Exemplo 4, continuação L 2 ( 1/5)L que corresponde ao sistema L 1 L 1 L 2 x = 1 y = 0 z = Matemática I 31/ 46 DeMat-ESTiG

90 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Se A uma matriz n n, procuramos uma matriz B tal que AB = BA = I n Matemática I 32/ 46 DeMat-ESTiG

91 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Se A uma matriz n n, procuramos uma matriz B tal que AB = BA = I n Colunas de B denotadas por x j, isto é B = [x 1 x 2... x n], com b 1j b 2j x j = (1 j n). b nj Matemática I 32/ 46 DeMat-ESTiG

92 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Se A uma matriz n n, procuramos uma matriz B tal que AB = BA = I n Colunas de B denotadas por x j, isto é B = [x 1 x 2... x n], com b 1j b 2j x j = (1 j n). b nj Denotamos colunas de I n por e j, tal que I n = [e 1 e 2... e n], com e 1 =., e 2 =.,, en = Matemática I 32/ 46 DeMat-ESTiG

93 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG

94 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Por outro lado queremos determinar B tal que AB = I n, isto é [Ax 1 Ax 2... Ax n ] = [e 1 e 2... e n ] Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG

95 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Por outro lado queremos determinar B tal que AB = I n, isto é [Ax 1 Ax 2... Ax n ] = [e 1 e 2... e n ] Que corresponde a resolver n sistemas lineares da forma Ax j = e j, (1 j n) Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG

96 Cálculo da Inversa pelo Método de Gauss-Jordan, continuação Temos que AB = A [x 1 x 2... x n ] = [Ax 1 Ax 2... Ax n ] Por outro lado queremos determinar B tal que AB = I n, isto é [Ax 1 Ax 2... Ax n ] = [e 1 e 2... e n ] Que corresponde a resolver n sistemas lineares da forma Ax j = e j, (1 j n) Como a matriz dos coeficientes A é a mesma, podem ser resolvidos em simultâneo pelo método de Gauss-Jordan aplicado à matriz aumentada [A e 1 e 2... e n ] = [A I n ] Matemática I 33/ 46 DeMat-ESTiG

97 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG

98 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG

99 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG

100 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa 3. Concluída a fase anterior obtemos [C D] Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG

101 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa 3. Concluída a fase anterior obtemos [C D] 3.1 Se C = I n, então D = A 1 Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG

102 Método para Cálculo da Inversa Dada uma matriz A de dimensões n n: 1. Formar a matriz aumentada [A I n ], juntado a identidade I n a A 2. Reduzir através de operações elementares por linhas a matriz A à matriz identidade; se nesta faze aparecer uma linha só com elementos nulos paramos pois significa que A não admite inversa 3. Concluída a fase anterior obtemos [C D] 3.1 Se C = I n, então D = A Se C I n, então C tem uma linha nula. Neste caso A não admite inversa, é singular Matemática I 34/ 46 DeMat-ESTiG

103 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Calcular a inversa de A = Matemática I 35/ 46 DeMat-ESTiG

104 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Calcular a inversa de A = Começamos por construir a matriz aumentada [A I] Matemática I 35/ 46 DeMat-ESTiG

105 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan Calcular a inversa de A = Começamos por construir a matriz aumentada [A I] L 3 L 3 L Matemática I 35/ 46 DeMat-ESTiG

106 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG

107 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG

108 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L 2 L 3 (1/2)L /2 0 1/2 Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG

109 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L 2 L 3 (1/2)L L 1 L 1 L /2 0 1/2 1/2 2 1/ /2 0 1/2 Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG

110 Exemplo 5: Inversa pelo Método de Gauss-Jordan L 1 L 1 2L 2 L 3 (1/2)L L 1 L 1 L A 1 = /2 0 1/2 1/2 2 1/ /2 0 1/2 1/2 2 1/ /2 0 1/2 = [ I A 1] Matemática I 36/ 46 DeMat-ESTiG

111 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG

112 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG

113 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG

114 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Não ter solução Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG

115 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Não ter solução Exemplo: seja o sistema x + 3z = 2 2x + 3y 2z = 1 3y + 4z = 3 Verifique que os vectores [ 2 1 0] T e [7 3 3] T são ambos solução deste sistema Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG

116 Classificação dos Sistemas Quanto à Solução Sistema linear pode ter Solução única Solução múltipla Não ter solução Exemplo: seja o sistema x + 3z = 2 2x + 3y 2z = 1 3y + 4z = 3 Verifique que os vectores [ 2 1 0] T e [7 3 3] T são ambos solução deste sistema Como determinar o tipo de solução sem resolver? Matemática I 37/ 46 DeMat-ESTiG

117 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG

118 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG

119 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. a m1 a m2 a mn b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG

120 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. x 1a i1 + x 2 a i x na in = b a m1 a m2 a mn b m Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG

121 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. x 1a i1 + x 2 a i x na in = b a m1 a m2 a mn b m Vector b é gerado pela combinação linear dos vectores coluna de A Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG

122 Sistemas de Equações Lineares Ax = b a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b = 2. a m1 a m2... a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n b 1 b = 2. b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a x 1. + x 22 a n b xn. = 2. x 1a i1 + x 2 a i x na in = b a m1 a m2 a mn b m Vector b é gerado pela combinação linear dos vectores coluna de A Vector x contêm os coeficientes da combinação linear Matemática I 38/ 46 DeMat-ESTiG

123 Sistemas com 2 equações 2 incógnitas Ax = b [ ] [ ] a11 a 12 x1 = a 21 a 22 x 2 [ b1 b 2 ] Matemática I 39/ 46 DeMat-ESTiG

124 Sistemas com 2 equações 2 incógnitas Ax = b [ ] [ ] a11 a 12 x1 = a 21 a 22 x 2 [ b1 b 2 ] [ ] [ ] a11 a12 x 1 + x a 2 = 21 a 22 [ b1 b 2 ] Vectores a i1 e a i2 IR 2 geram qualquer vector b IR 2 se forem não colineares: A 0 solução única Matemática I 39/ 46 DeMat-ESTiG

125 Sistemas com 2 equações 2 incógnitas Ax = b [ ] [ ] a11 a 12 x1 = a 21 a 22 x 2 [ b1 b 2 ] [ ] [ ] a11 a12 x 1 + x a 2 = 21 a 22 [ b1 b 2 ] Vectores a i1 e a i2 IR 2 geram qualquer vector b IR 2 se forem não colineares: A 0 solução única Se a i1 e a i2 forem colineares ( A = 0) só geram b se este for também colinear A j = 0 (para j = 1 ou 2) solução múltipla Matemática I 39/ 46 DeMat-ESTiG

126 Interpretação Geométrica de um Sistemas 2 2 b ai1 x1ai1 b ai1 ai2 x2ai2 ai1 e ai2 não colineares: solução única ai2 ai1, ai2 e b colineares: solução múltipla ai1 b ai2 ai1 e ai2 colineares e b não colinear: não existe solução Matemática I 40/ 46 DeMat-ESTiG

127 Sistemas com 3 equações 3 incógnitas Ax = b a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 Matemática I 41/ 46 DeMat-ESTiG

128 Sistemas com 3 equações 3 incógnitas Ax = b a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 x 1 a 21 +x 2 a 22 +x 3 a 23 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 a 31 a 32 a 33 b 3 Vectores a i1, a i2 e a i3 IR 3 geram qualquer vector b IR 3 se forem não coplanares: A 0 solução única Matemática I 41/ 46 DeMat-ESTiG

129 Sistemas com 3 equações 3 incógnitas Ax = b a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 x 1 a 21 +x 2 a 22 +x 3 a 23 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 a 31 a 32 a 33 b 3 Vectores a i1, a i2 e a i3 IR 3 geram qualquer vector b IR 3 se forem não coplanares: A 0 solução única Se a i1, a i2 e a i3 forem coplanares ( A = 0) só geram b se este for também coplanar A j = 0 (para j = 1 e 2) solução múltipla Matemática I 41/ 46 DeMat-ESTiG

130 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG

131 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG

132 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) 1.1 Solução única A 0 Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG

133 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) 1.1 Solução única A Solução múltipla A = 0 e A j = 0, para j = 1, 2,..., n 1 Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG

134 Classificação Sistemas com n equações n incógnitas Sistema Ax = b com A de ordem n n 1. Sistema consistente (sistema com solução) 1.1 Solução única A Solução múltipla A = 0 e A j = 0, para j = 1, 2,..., n 1 2. Sistema inconsistente A = 0 e existir um A j tal que A j 0, j = 1, 2,..., n 1 (sistema sem solução) Matemática I 42/ 46 DeMat-ESTiG

135 Classificação Exemplo 6: classificação de sistemas lineares x 2 Ax = b y = z 3 1. Indique que tipo de solução (sem a calcular) admite este sistema 2. Calcule a solução do sistema Matemática I 43/ 46 DeMat-ESTiG

136 Classificação Exemplo 6: classificação de sistemas lineares x 2 Ax = b y = z 3 1. Indique que tipo de solução (sem a calcular) admite este sistema 2. Calcule a solução do sistema A = = 0 solução múltipla ou sem solução Matemática I 43/ 46 DeMat-ESTiG

137 Classificação Exemplo 6: classificação de sistemas lineares x 2 Ax = b y = z 3 1. Indique que tipo de solução (sem a calcular) admite este sistema 2. Calcule a solução do sistema A = = 0 solução múltipla ou sem solução A 1 = = 0 e A = = 0 solução múltipla Matemática I 43/ 46 DeMat-ESTiG

138 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG

139 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L L 3 L 3 L x + 3z = 2 3y + 4z = 3 0 = 0 x = 2 + 3z y = 3 4z 3 z IR Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG

140 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L L 3 L 3 L α Solução geral é com α IR 3 4α 3 α x + 3z = 2 3y + 4z = 3 0 = 0 x = 2 + 3z y = 3 4z 3 z IR Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG

141 Classificação Exemplo 7, continuação Aplicando o método de eliminação de Gauss [A b] L 2 L 2 +2L x + 3z = 2 x = 2 + 3z L 3 L 3 L y + 4z = 3 y = 3 4z = 0 z IR 2 + 3α Solução geral é 3 4α com α IR 3 α Podemos obter soluções particulares atribuindo valores a α Matemática I 44/ 46 DeMat-ESTiG

142 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG

143 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Se A 0, x = A 1 0 = 0 (solução trivial x = 0 é única) Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG

144 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Se A 0, x = A 1 0 = 0 (solução trivial x = 0 é única) se A = 0 então como a coluna j de A j é nula temos A j = 0 (solução múltipla) Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG

145 Classificação Sistemas homogéneos Sistemas em que o vector dos termos independentes é o vector nulo Ax = 0 Têm sempre pelo menos uma solução: Se A 0, x = A 1 0 = 0 (solução trivial x = 0 é única) se A = 0 então como a coluna j de A j é nula temos A j = 0 (solução múltipla) x + 3z = 0 Exemplo: Ax = 0 2x + 3y 2z = 0, como A = 0, verifique 3y + 4z = 0 que admite outras soluções para além da trivial, [0 0 0] T, como por exemplo [9 4 3] T Matemática I 45/ 46 DeMat-ESTiG

146 Classificação Bibliografia Bernard Kolman, "Introdução à Álgebra Linear com Aplicações", Prentice-Hall do Brasil, 1998 Ia. S. Bugrov e S. M. Nikolski, "Matemática para Engenharia, Vol. 1 - Elementos de Álgebra Linear e de Geometria Analítica", Editora Mir Moscovo, 1986 Matemática I 46/ 46 DeMat-ESTiG

Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares

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