Aceleração Constante

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1 Objetivos: Aceleração Constante Encontrar as equações do movimento a aceleração constante e traçar uma metodologia para resolução destes problemas; Detalhar o movimento de Queda Livre para um corpo próximo à superfície da Terra.

2 Algumas considerações sobre Aceleração Constante: A equação da posição no tempo é uma equação de º grau; A aceleração do movimento é igual a aceleração média em qualquer intervalo; a=a=const. A velocidade média é igual a média aritmética de duas velocidades no mesmo intervalo. v=mv Δ x Δ t = v f +v i

3 Considere o problema a aceleração constante esquematizado abaixo: t i t f x i a x f v i v f Para simplificar o estudo será assumido: O problema inicia no instante 0s (t i = 0); A velocidade inicial será chamada de v 0 e final de v. Por conveniência: Δ x=xf x i

4 Observe que se trata de um problema de 5 possíveis variáveis: Variação da posição - Velocidade inicial - Velocidade final - Aceleração - Tempo - Δ x=x f x i v i =v 0 v f =v a t f =t ; t i =0

5 Equações disponíveis para tratar o problema: Condições de Movimento a Aceleração Constante (a) a= a=const. (b) v=mv Definições aplicáveis a qualquer problema: (c) a= Δ v Δ t (d) v= Δ x Δ t (e) Mv= v f +v i

6 Inicialmente utilize as equações (a) e (c): (a) e (c): a= a a= Δ v Δ t = v f v i = v v 0 t f t i t 0 a= v v 0 t v=v 0 + at a t=v v 0 (eq-01)

7 Utilizando as demais equações: (b), (d) e (e): v=mv Δ x Δ t = v f +v i Δ x t = v+ v 0 Δ x= (v+ v 0)t Δ x = v f +v i t f t i (eq-0)

8 Como todas as equações já foram usadas, isto leva a duas constatações: existe apenas duas equações linearmente independentes para resolver este problema; num problema de aceleração constante pode ter apenas duas incógnitas.

9 O próximo passo é gerar outras três equações (linearmente dependentes) a partir das duas encontradas. (eq-01) (eq-0) Δ x= (v+v 0)t = [(v 0+at)+v 0 ]t t = v 0 +a t Δ x=v 0 t+ 1 a t (eq-03)

10 Agora resolve a (eq-01) para v 0 e substitui na (eq-0) v 0 =v at Δ x= (v+v 0)t =[v+(v at)] t = v t a t Δ x=v t 1 at (eq-04)

11 Agora resolve a (eq-01) para t e substitui na (eq-0) t= v v 0 a Δ x= (v+v 0)t = (v+v 0) t = (v+v 0) (v v 0) a Δ x= (v v 0 ) a a Δ x=v v 0 v =v 0 + a Δ x (eq-05)

12 As 5 equações para movimento a Aceleração Constante e algumas considerações: v=v 0 + at Δ x= (v+ v 0)t Δ x=v 0 t+ 1 a t Grandeza ausente Δ x a v Δ x=v t 1 at v =v 0 + a Δ x v 0 t

13 existem 5 grandezas em um problema a aceleração constante: (Δ x ; v 0 ; v ; a; t) existem 5 equações com um conjunto de diferentes 4 grandezas cada, ou seja cada equação possui uma grandeza ausente; somente equações são linearmente independentes o problema pode ter apenas grandezas desconhecidas; Já que apenas grandezas podem ser desconhecidas o enunciado do problema deve apresentar 3 grandezas.

14 Como de fato existe apenas duas equações linearmente independente, em um problema de Aceleração Constante se pode empregar uma estratégia simples para resolvê-los: 1.leia a questão e localize 3 grandezas conhecidas;.localize a 4ª grandeza solicitada; 3.escolha uma equação que não possua a grandeza não mencionada.

15 Ex 1: Um veículo se move em uma pista linear quando é obrigado a desacelerar a uma taxa constante até atingir a velocidade de 50km/h, em um espaço de 100m. Se a desaceleração ocorreu em apenas 5,0s, qual a velocidade inicial deste movimento? Conhecido: v=50km/h=13,89 m/ s Δ x=100m t=5,0 s Solicitado: v 0 =? Usar a equação que não possui a aceleração, já que esta não foi mencionada da questão:

16 Utilizando a equação : Δ x= (v+ v 0)t 100= (13,89+ v 0)5, =13,89+ v 0 v 0 =6,11 m/s=94 km/h

17 Queda Livre O movimento de Queda Livre é um movimento de Aceleração Constante desde que: a queda ocorra em curtas distâncias ou os efeitos do atrito com o ar sejam suprimidos e pouco relevantes para o movimento; a queda ocorre próximo à superfície da Terra (distâncias muito menores que o raio terrestre) Nestas circunstâncias a aceleração de um corpo em queda livre pode ser considerada constante, de módulo: g=9,8 m/s

18 Queda Livre Para este movimento será utilizado o eixo-y como eixo vertical, apontando sempre para cima: y a y = g Observe que não importando o movimento a aceleração da gravidade aponta SEMPRE para baixo!

19 Queda Livre Neste contexto, as grandezas do movimento são: a y = g Δ y v 0y v y t g=9,8 m/s aceleração da gravidade variação da posição vertical velocidade inicial vertical velocidade final vertical tempo módulo da aceleração da gravidade

20 Alterando as equações para Queda Livre: Movimento horizontal v=v 0 + at Δ x= (v+ v 0)t Δ x=v 0 t+ 1 a t Δ x=v t 1 at v =v 0 + a Δ x Queda Livre v y =v 0y g t Δ y= (v y+ v 0y )t Δ y=v 0y t 1 g t Δ y=v y t+ 1 g t v y =v 0y g Δ y

21 Algumas observações sobre resolução de problemas de Queda Livre: ª equação se torna dispensável, uma vez que não possui uma grandeza conhecida, g; o texto deve conter apenas duas grandezas, uma vez que g é conhecido; muita atenção às grandezas velocidade inicial, final e variação da posição vertical. Estas são especialmente sensíveis ao referencial adotado.

22 y i Ex 01: Uma esfera é arremessada para o alto, retornando a mão do lançador 3,0s após. (a) qual a velocidade com que a esfera atinge a mão do lançador? y f g=9,8 m/s t=3,0 s Δ y= y f y i =0 v y =? Equação que envolva as quatro grandezas: Δ y=v y t+ 1 g t 0=v y 3+ 4,9 3 v y = 14,7 m/s

23 (b) Qual a maior altitude alcançada pela esfera? y i y f g=9,8 m/s t '=3,0 s/=1,5 s v y = 14,7 m/s Δ y '=? Equação que envolva as quatro grandezas: Δ y '=v y t '+ 1 g t ' Δ y '= 14,7 1,5+ 4,9 1,5 Δ y '= 11,0m