Tópico 02: Movimento Circular Uniforme; Aceleração Centrípeta

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1 Aula 03: Movimento em um Plano Tópico 02: Movimento Circular Uniforme; Aceleração Centrípeta Caro aluno, olá! Neste tópico, você vai aprender sobre um tipo particular de movimento plano, o movimento circular uniforme. Dizemos que um corpo está realizando um movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência. Parada Obrigatória No movimento circular uniforme o módulo da velocidade permanece constante. Sua direção está mudando todo o tempo, ao longo do movimento. Como já vimos, a velocidade é um vetor. Observe a seta que representa a velocidade: Seu tamanho é constante, significando que o módulo da velocidade não varia, mas a orientação da seta é sempre tangente à trajetória circular. Esta é uma característica do movimento circular:o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, o que significa que o vetor velocidade está sempre mudando de direção, portanto está sempre variando. Características do movimento circular uniforme (MCU) Característica 1 A trajetória é uma circunferência. 1

2 Característica 2 A velocidade vetorial é constante em módulo e variável em direção e sentido. Característica 3 A aceleração tangencial é nula. Característica 4 A aceleração centrípeta é constante em módulo e variável em direção e sentido. Aceleração no movimento circular uniforme Veja a figura abaixo. O objeto move-se em uma trajetória circular. Embora o valor numérico da velocidade seja sempre o mesmo, ela não é constante, porque sua direção e sentido variam de ponto a ponto. Essa variação da direção da velocidade acusa a existência de uma ACELERAÇÃO. Fonte 1 Lembre-se, a aceleração é uma grandeza vetorial. A aceleração centrípeta, ou aceleração radial é dirigida para o centro da trajetória e é decorrência da variação da direção do vetor velocidade tangencial. 1 Fonte: -- 2

3 Aceleração Centrípeta Considere a figura acima, onde analisamos a variação do vetor velocidade entre os dois pontos a e b. pontos é: Seguindo a regra da adição de vetores, podemos ver que a variação da velocidade nesses dois variação. Como as direções dos vetores em a e b são diferentes existe um vetor decorrente dessa Esse vetor é a aceleração desse movimento. Como você já sabe, no movimento circular há uma variação do vetor velocidade, mesmo que seu módulo permaneça constante. Essa variação na direção da velocidade é causada por uma aceleração que aponta sempre para o centro da circunferência por isso é chamada ACELERAÇÃO CENTRÍPETA. Vamos determinar o módulo da aceleração centrípeta. Para isso observe esta outra figura que mostra duas posições em um movimento circular uniforme. A Figura 1 mostra uma partícula que se move com velocidade de módulo constante, em uma trajetória circular de raio R. 3

4 a e b. Na figura 2, vemos o diagrama da soma vetorial entre os vetores velocidade nas duas posições O triângulo mostrado na Figura 2 é semelhante ao triângulo OAB da Figura 1 pois o ângulo entre os vetores é o mesmo ângulo que o objeto gira ao ir de a para b. Vamos, então escrever a proporção entre os lados correspondentes dos dois triângulos: A aceleração é a variação da velocidade no tempo, então: Veja que na figura 1 o segmento ab é a linha pontilhada que representa o deslocamento do objeto de a até b. Sabemos que a variação da velocidade no tempo é a a aceleração, então substituindo a equação (3) na equação (2) teremos: 4

5 Também podemos expressar a aceleração centrípeta em termos da velocidade angular. Substituindo na equação (4) teremos: Dica O termo centrípeta vem do grego (Κεντρομόλου) e significa que se dirige para o centro. Vetor velocidade angular A velocidade angular descreve a rotação em torno de um eixo. Parada Obrigatória A velocidade angular média é um vetor com uma quantidade física que representa o processo de rotação (mudança de orientação) que ocorre em um instante de tempo. A linha de direção da velocidade angular é dada pelo eixo de rotação Na figura acima, em que o objeto move-se no sentido anti-horário, no plano x-z, o vetor velocidade angular é vertical e aponta para cima. 5

6 Dica A regra da mão direita indica a direção positiva, da seguinte forma: Se você enrolar os dedos de sua mão direita seguindo a direção da rotação, então a direção da velocidade angular é indicada pelo seu polegar direito. Desafio Se o objeto se movesse no sentido horário, você saberia dizer qual o sentido do vetor velocidade angular? O movimento circular uniforme é um movimento periódico. Seu período (T) 2 é o intervalo de tempo de uma volta completa. O número de voltas na unidade de tempo é a sua freqüência f. Equação horário no Movimento Circular No movimento retilíneo uniforme, a função horária, como você já viu na Aula 02, é Se dividirmos a equação acima pelo raio R, teremos: 2 6

7 O comprimento de arco s, como já vimos é (em radianos) Esta é a função horária angular do MCU Transmissão de movimento circular uniforme Você anda de bicicleta? Já observou a coroa e a catraca de uma bicicleta? Sabe como elas funcionam? Dúvida Você já ouviu falar de sistema de transmissão? 7

8 É possível efetuar a transmissão de movimento circular entre duas rodas, dois discos ou duas polias. No caso da bicicleta, entre a catraca e a coroa em que ocorre na transmissão por corrente. As velocidades lineares das duas rodas, em pontos periféricos, têm o mesmo módulo. Já pensou se as rodas da bicicleta tivessem velocidades diferentes? Isto significa que a catraca por ser menor, gira mais rápido do que a coroa. Multimídia Neste site você pode ver os vetores característicos do movimento circular uniforme. Exemplos Resolvidos Para você ir treinando na resolução dos exercícios, comece tentando resolver estes exemplos a seguir. Tente antes de ver a solução do problema. Caso não entenda alguma passagem de algum dos problemas, consulte o seu professor. Exemplo 1 Considere duas pessoas, ambas na superfície da Terra, uma na linha do Equador e a outra sobre o Trópico de Capricórnio. Considere, ainda, somente o movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo. Com base nessas informações, compare para as duas pessoas: Solução a) as velocidades angulares; b) as freqüências; c) os módulos das velocidades lineares; d) os módulos das acelerações centrípetas. a) As velocidades angulares serão iguais, pois só dependem do período de rotação da terra, o mesmo para os dois. 8

9 b) Os módulos das velocidades lineares serão diferentes, pois os raios são diferentes. A velocidade linear é dada por: Para a pessoa que está na linha do equador a velocidade linear será maior, pois o raio é maior. Para a pessoa que está no trópico de Capricórnio o inverso. c) A aceleração centrípeta é dada por: Logo, terão acelerações diferentes, pois os raios são diferentes. Para a pessoa que está na linha do equador a aceleração centrípeta será maior, pois o raio é maior. Para a pessoa que está no trópico de Capricórnio o inverso. Exemplo 2 Os ponteiros do relógio realizam um movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular dos ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos? Solução Os ponteiros do relógio realizam um movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular dos ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos? (a) o ponteiro das horas completa uma volta (2π) em 24 horas (86.400s) (b) O ponteiro dos minutos completa um volta (2π) em uma hora (3.600s) (c) O ponteiro dos segundos completa uma volta (2π) em um minuto (60s) 9

10 Exemplo 3 Considere o relógio do exercício anterior, com ponteiro das horas de 10cm, dos minutos de 15cm e dos segundos de 20cm. Qual será a aceleração centrípeta de cada um dos ponteiros? Solução Considere o relógio do exercício anterior, com ponteiro das horas de 10cm, dos minutos de 15cm e dos segundos de 20cm. Qual será a aceleração centrípeta de cada um dos ponteiros? angular. O primeiro passo para a resolução é transformar a velocidade linear pedida em velocidade 10

11 Exemplo 4 Uma BMW Z3 pode ter uma aceleração lateral de 0,87g ( g é a aceleração da gravidade). Isso representa a aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória circular. Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 40 m/s, qual é o raio máximo da curva plana, que ele pode aceitar? Solução Resposta: 190 m Este é um problema muito simples, uma vez que conhecemos a aceleração centrípeta e a velocidade tangencial. 11

12 Exemplo 5 Um satélite artificial completa 6 voltas em torno da Terra, durante 24 h. Qual é, em horas, o período do movimento do satélite, suposto periódico? Solução Resposta: 4 h Resposta: 4 h O período do movimento corresponde ao intervalo de tempo que o satélite gasta para completar 1 volta. Se o satélite completa 6 voltas em 24 h, 1 volta será completada em 4 h. Assim T = 4 h. Exemplo 6 Um ponto material descreve uma circunferência horizontal com velocidade constante em módulo. O raio da circunferência é de 15 cm e o ponto completa uma volta a cada 10 s. Calcule: a) o período e a freqüência; b) a velocidade angular; c) a velocidade escalar linear; d) o módulo da aceleração centrípeta. 12

13 Solução a) o período e a freqüência; b) a velocidade angular; c) a velocidade escalar linear; d) o módulo da aceleração centrípeta. Exemplo 7 Duas polias A e B, ligadas por uma correia têm 10 cm e 20 cm de raio, respectivamente. A primeira efetua 40 rpm. Calcule: a) a freqüência da segunda polia; b) a velocidade linear dos pontos da correia. 13

14 Solução temos: b) todos os pontos da correia tem a mesma velocidade linear v. Considerando a polia A, Fórum Com base nos conhecimentos adquiridos nesta aula, discuta com os seus colegas e seu professor as seguintes questões: É possível estar acelerando se você viaja com velocidade escalar constante? É possível fazer uma curva com aceleração nula? E com aceleração constante? 14

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