Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal

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1 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal

2 Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Princípio do impulso e quantidade de movimento Uma partícula Sistema de partículas Conservação da quantidade de movimento Impacto Torque e momento angular Uma partícula Sistema de partículas Propulsão com massa variável

3 Momento angular (ou quantidade de movimento angular) Mede a quantidade de movimento de rotação

4 Momento angular (ou quantidade de movimento angular) definido como o momento da quantidade de movimento linear da partícula em torno de O. Formulação escalar se uma partícula move-se ao longo de uma curva no plano xy, o momento angular em qualquer instante pode ser determinado em relação ao ponto O, usando-se uma formulação escalar.

5 Formulação vetorial se a partícula move-se ao longo de um espaço curvo, o produto vetorial pode ser usado para determinar o momento angular em torno de O. Nesse caso

6 Coisas interessantes envolvendo momento angular Motociclista fazendo curva e momento angular Helicóptero Patinadora e momento angular Museu do Catavento

7 Momento angular na Mecânica Quântica Spin

8 Momento angular na Mecânica Quântica Spin

9 Momento angular na Mecânica Quântica Spin Efeito Spin Hall

10 Momento angular na Mecânica Quântica Spin Efeito Einstein-de Haas

11 Relação entre torque (momento) da força resultante e momento angular Relação entre Força e Momento Linear Relação esperada para o Torque e Momento Angular Vejamos se é assim mesmo. Partimos da derivada: Momento da força resultante

12 Impulso angular e momento angular

13 Conservação do momento angular Quando os impulsos angulares atuando em uma partícula são todos zero durante o tempo t1 a t2: o Momento angular se conserva Exemplo de situação em que o Momento Angular se conserva

14 Momento angular para um sistema de partículas Vamos provar que Para facilitar a demonstração, vamos considerar um sistema de 2 partículas. Mas o resultado vale para N partículas =)

15 Força na partícula 1 devido à partícula 2 Força na partícula 2 devido à partícula 1 Força externa resultante na partícula 1 Força externa resultante na partícula 2 OBS.: Vamos considerar a lei da ação e reação em sua forma forte. Forma fraca Forma forte

16 Torque e momento angular (part. 1) Torque e momento angular (part. 2) Somando Mas e

17 A expressão é válida para qualquer referencial inercial é válida (sempre) para o CM de um sistema de partículas seja ele referencial inercial ou não vamos provar isto já já =)

18 Momento angular do sistema e do CM Questão: o momento angular de um sistema de partículas é igual a? Resp.: NÃO!!! Tente encontrar um contra-exemplo Vamos encontrar a expressão completa:

19 Momento angular do sistema Seja Veja que

20 Conclusão

21 Relação entre o torque num ponto P e no CM Mudança de referencial:

22 Equação dos torques num ponto P e no CM

23 Questão: a equação qualquer referencial? vale para Resp.: Se o referencial for inercial, sim. Se o referencial for o CM, sim (sendo este ref. inercial ou não) Se o referencial for não inercial, as forças inerciais (fictícias) devem ser incluídas. Estas forças agem sobre cada partícula do sistema

24 Impulso angular e momento angular (para um sistema de partículas)

25 Exemplo: uma estrela esférica gira por um período de 30 dias por um eixo que passa pelo seu centro. Depois que a estrela sofre uma explosão supernova, o núcleo estelar, 4 que tinha um raio de 1,0x10 km, sofre colapso em uma estrela de 3,0 km de raio. Determine o período de rotação da estrela de nêutron.

26 Resp.: 0,23 s De fato, são observadas estrelas de nêutrons que giram aproximadamente 4 vezes por segundo.

27 Exemplo: um cometa está na órbita extremamente excêntrica mostrada na Figura. Sua velocidade no ponto mais distante A (a 6000x106 km do Sol), que está no limite externo do sistema solar, é de 740 m/s. Determine sua velocidade no ponto B (a 75,0x106 km do Sol) de maior aproximação do Sol.

28 Resp.: 59,2 km/s

29 Exemplo: o conjunto da haste leve e duas massas nas extremidades está em repouso quando é atingido pela queda de um punhado de massa de vidraceiro se deslocando com velocidade v1. A massa de vidraceiro se adere e se desloca com a massa na extremidade direita. Determine a velocidade angular do conjunto após o impacto.

30 Resp.: v1/(19l)

31 Exemplo: A bola B de 0,400 kg está presa a uma corda que passa através de um furo em A sobre uma mesa lisa. Quando a bola está a 0,500 m do furo, ela gira em círculo a uma velocidade escalar de 1,20 m/s. Aplicando-se a Força F (que não necessariamente é constante no tempo), a corda é puxada para baixo através do furo a uma velocidade escalar constante de 2,00 m/s. Determine (a) a velocidade escalar da bola no instante em que estiver a 0,200 m do furo; (b) o trabalho realizado pela força F ao encurtar a distância radial de 0,500 m para 0,200 m.

32 Resp.: (a) 3,61 m/s (b) 2,31 J

33 Exemplo: Cada uma das três esferas possui uma massa m e está soldada à estrutura rígida com ângulos iguais de massa desprezível. O conjunto está em repouso sobre uma superfície horizontal lisa. Se uma força F é aplicada repentinamente a uma barra conforme indicado, determine a aceleração do ponto O e a aceleração angular da estrutura.

34 Resp.:

35 Exemplo: Considere as mesmas condições do Exemplo anterior, exceto que os raios são livremente articulados em O e, portanto, não constituem um sistema rígido. Explique a diferença dos dois problemas.

36 Exemplo: O centro de massa somente coincide com o ponto O no instante inicial (quando os raios se movimentam, o ponto O deixa de ser o centro de massa) Os movimentos angulares dos braços são todos diferentes e não são facilmente determinados Este problema poderia ser resolvido desmembrando o sistema e escrevendo as equações de movimento para cada parte. Ou então, o método de Lagrange poderia ser utilizado (este seria o método mais simples)

37 Exemplo: Uma pequena partícula recebe uma velocidade inicial v0 tangente à borda horizontal de uma cavidade hemisférica lisa (de raio r0), como indicado no ponto A. Quando a partícula desliza passando pelo ponto B, a uma distância h abaixo de A, sua velocidade v faz um ângulo θ com a tangente horizontal à cavidade através de B. Determine θ.

38 Resp.:

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785

Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br www.ief.ita.br/~rrpela 5.5 Torque e Momento Angular Relação entre torque (momento) da força resultante e momento

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