Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe
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- Maria das Graças Domingos Canário
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1 Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe Disciplina: Física Geral e Experimental III Curso: Engenharia de Produção Assunto: Gravitação Prof. Dr. Marcos A. P. Chagas 1. Introdução Na gravitação estudam-se as interações entre os corpos celestes, para isso se faz necessário utilizar as leis de Kepler e Newton, bem como as suas aplicações. 2. Leis de Kepler ª Lei de Kepler Lei das órbitas Todos os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, ocupando este um dos focos da elipse. Elipse: lugar geométrico que tem constante a soma das distâncias a dois pontos fixos (focos). A distância entre o Sol e a Terra define a unidade astronômica (UA). 1 UA = 1,5 x m = 9,3 x 10 6 mi Distância do periélio = 1,48 x m Distância do afélio = 1,52 x m
2 2.2. 2ª Lei de Kepler- Lei das Áreas O raio vetor que une os centros do Sol e de um planeta qualquer, descreve áreas proporcionais aos tempos de percurso. Esta lei está diretamente relacionada à conservação do momento angular. = ω A velocidade dos planetas será maior quando eles se encontram mais próximos do Sol e menor quando eles estiverem mais afastados. A constante k é chamada de velocidade areolar ª Lei de Kepler Lei dos Períodos O quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional ao cubo do semi eixo maior da sua órbita.
3 Observação: As demonstrações da 2ª e 3ª lei de Kepler serão apresentadas posteriormente. 3. Lei de Newton da Gravitação Entre dois corpos quaisquer há uma força de atração que é proporcional ao produto das massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. Onde: m 1 e m 2 força de atração. são as massas dos corpos. distância entre os centros. (constante de gravitação universal) Gravitação e o Princípio da Superposição O princípio da superposição diz que o efeito resultante é a soma dos efeitos individuais. Para n partículas interagindo, podemos escrever o princípio da superposição como: Onde: força resultante sobre a partícula 1. força exercida pela partícula 4 sobre a partícula 1. Podemos escrever: i chamado de índice
4 Observação: No caso realístico força da gravitacional exercida sobre uma partícula por um objeto extenso. Ela é calculada dividindo-se o objeto em pequenas porções o suficiente para serem tratadas como partículas. No limite, podemos dividir o objeto extenso em porções infinitesimais de massa dm, tais que cada uma exerça uma força infinitesimal df sobre a partícula. Onde a integral é calculada sobre toda a extensão do corpo. Se o corpo é uma esfera ou casca esférica podemos evitar a integração supondo-se que a massa do corpo está concentrada no seu centro e, então calcular usando a lei de Newton da gravitação universal Gravitação em um ponto próximo da superfície da Terra Vamos ignorar a rotação da Terra e supor que ela é uma esfera uniforme. Fazendo: massa da Terra massa do corpo Usando a 2ª lei de Newton: = Para corpos na superfície da Terra, Teremos: Para uma dada altura h, teremos:
5 A aceleração gravitacional gravitacional exercida sobre a partícula pela Terra. é devida exclusivamente à força Ela é diferente da aceleração de queda livre g que medimos para uma partícula em queda, porque a Terra na realidade não é uniforme, nem exatamente esférica e além disso, gira. Por essas razões, a força gravitacional exercida sobre a partícula é diferente do peso (P = mg). Considerações: 1. A Terra não é uniforme: a densidade da Terra varia radialmente e a densidade da crosta terrestre varia de região para região através da superfície. Núcleo Interior- Núcleo Exterior- Manto- Crosta 2. A Terra não é uma esfera: é aproximadamente um elipsóide, achatada nos polos e dilatada no equador. O raio equatorial excede o raio polar em aproximadamente 21 km. Quem estiver nos polos se encontra mais próximo do núcleo denso da Terra. 3. A Terra gira: o eixo de rotação passa pelos seus polos norte e sul. Exercício 1. Mostrar a diferença entre a aceleração gravitacional e a aceleração de queda g. Considere um caixote colocado sobre uma balança na superfície da terra. a aceleração centrípeta, aponta para o centro do círculo (coincide com o centro da Terra). m força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre o caixote
6 N reação normal da balança sobre o caixote. N = peso do caixote, logo, N = mg Levando em conta o efeito da aceleração centrípeta a, substituímos: a por onde ω é a velocidade angular de rotação da Terra e R o raio da trajetória do caixote raio da Terra. Fazendo: ω, onde T = 24 h R= 0,034 Então g = 9,78 9,81 medida no equador terrestre Medida da constante gravitacional G Pode ser medida usando. Conhecendo G pode-se calcular a massa M da Terra usando. Fazendo = g 9,8 e chamamos o raio da Terra r = R Dedução das leis de Kepler Em um intervalo de tempo dt o planeta cobre a distância vdt e o raio vetor cobre a área sombreada da figura. Esta área é a metade da área do paralelogramo formado pelos vetores que é
7 Portanto a área da varrida pelo vetor no intervalo de tempo dt é: Em que x m é o momento angular do planeta em relação ao Sol. A área varrida num intervalo de tempo dt é proporcional ao momento angular L. Como a força sobre um planeta está ao longo da reta que vai do planeta ao Sol, não há torque em torno do Sol. O momento angular se conserva e L é constante. Portanto, a área varrida num certo intervalo de tempo dt tem o mesmo valor em todas as partes da órbita e esta afirmação é a 2ª lei de Kepler. Partindo da lei da gravitação de Newton vamos obter a 3ª lei de Kepler para o caso especial da órbita circular. Considere um planeta descrevendo com velocidade v uma órbita circular de raio r em torno do Sol. A força de atração gravitacional entre o Sol e o planeta proporciona aceleração centrípeta. Pela 2ª lei de Newton: (I) O planeta cobre a distância dada por v (II). r no tempo T, a velocidade também é Substituindo II em I, temos: ou onde Então:
8 4. Massa Gravitacional e Massa Inercial Massa Gravitacional: é a propriedade de um corpo responsável pela força gravitacional que ele exerce sobre outro. Massa Inercial: é a propriedade que responde pela resistência à aceleração. Adota-se o símbolo m para as duas, pois experimentalmente uma é igual à outra. 5. Gravitação no interior da Terra O teorema de Newton sobre a casca esférica uniforme demonstra que esta, para efeitos gravitacionais sobre uma partícula externa, se comportará como se toda a sua massa estivesse concentrada no seu interior. A dedução deste teorema, quando a partícula está dentro da casca, conduz ao seguinte resultado: Uma casca uniforme de matéria exerce uma força gravitacional nula sobre uma partícula dentro dela. Se a densidade da Terra fosse uniforme, a força gravitacional sobre a partícula seria máxima na sua superfície, porém, ela diminui se nos movemos para cima. No caso real da Terra, sua crosta externa é menos densa do que o núcleo. Caso uma partícula descesse um poço profundo, a força gravitacional sobre ela aumentaria levemente. Eventualmente, é claro a força alcançaria um máximo e, então, chegaria a zero no centro da Terra. 6. Energia Potencial Gravitacional Nas proximidades da superfície da Terra, a força gravitacional sobre um corpo é constante, pois a distância ao centro da Terra; r = R + h é sempre aproximadamente a R se h << R, (R é o raio da Terra). A energia potencial próximo da superfície da Terra é, portanto mg(r R) = mgh, onde fizemos U = 0 em r = R. A grandes distâncias da superfície da Terra, temos que levar em conta que a força gravitacional não é constante, mas varia com o.
9 Por definição: F força sobre uma partícula dx deslocamento da partícula Considerando a força gravitacional radial, temos: ( ) Integrando os dois membros, temos: Outra Maneira: (I) O vetor dx aponta radialmente no sentido oposto fazendo com a força um ângulo Φ de 180. Substituindo II em I ( ) * + = - O trabalho realizado pela força gravitacional não depende da trajetória. O trabalho pode ser dado pela diferença entre as energias potenciais. (II) são as energias potenciais associadas às posições inicial e final. 7. Velocidade de Escape É a velocidade inicial mínima para que um corpo possa escapar da atração gravitacional da Terra. Considere um projétil de massa m, deixando a superfície da Terra com velocidade de escape v. Ele possui energia cinética e a energia potencial. Sua energia total no infinito é nula. Pelo princípio da conservação da energia, a energia total quando está sobre a superfície da Terra, também deve ser zero. ( )
10 Com g = 9,81 e R =, temos: Velocidade para escapar do campo gravitacional da Terra e não para escapar do sistema solar. Exercícios 1. A distância média entre o Sol e Júpiter é 5,2 UA. Qual o período de revolução de Júpiter em torno do Sol? 2. Um satélite artificial A se move em órbita circular em torno da Terra com período de 25 dias. Um outro satélite B possui órbita circular de raio 9 vezes maior que A. Calcule o período do satélite B. 3. A intensidade da força de atração gravitacional entre duas esferas de massas M é F quando a distância entre elas é d. Qual a intensidade da força de atração entre duas esferas de massas M/2 quando a distância entre elas for 2d? 4. A massa da Terra é 81 vezes a da Lua. A distância da Terra à Lua mede km. Calcule a que distância da Terra, sobre a reta que passa por elas, deve ser colocado um corpo de massa m para que seja nula a resultante das forças gravitacionais que sobre ele atuam. 5. Calcular a velocidade de escape na superfície de Mercúrio cuja massa é M = e o raio R = 2440 km. Referências Bibliográficas 1. Halliday D., Resnick R., Walker J. Fundamentos de Física Vol. 2. Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 4ª Edição. Rio de Janeiro: LTC., Young D., Freedman R.Física II. 12ª Edição. São Paulo: Pearson, 2008.
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