Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 4 de junho de 2013

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1 GRAVITAÇÃO Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 4 de junho de 2013

2 Roteiro 1 Lei da Universal

3 Roteiro Lei da Universal 1 Lei da Universal

4 Motivação Lei da Universal Movimento dos corpos celestes: um problema que tem intrigado o homem desde o início da civilização.

5 Motivação Lei da Universal Gregos: a Terra ocupa o centro geométrico do Universo e os corpos celestes se movem em torno dela. Primeira hipótese: corpos celestes descrevem trajetórias circulares concêntricas tendo a Terra como centro comum. Tal hipótese, entretanto, não concordava com as observações.

6 Motivação Lei da Universal Solução: Teoria dos Epiciclos, formulada por Ptolomeu.

7 Motivação Lei da Universal Essa descrição foi aceita como correta até que, no século XVI, o monge polonês Nicolau Copérnico propôs que o movimento dos planetas, incluido a Terra, fosse feito relativamente ao Sol, que estaria no seu centro. A ideia havia sido proposta por Aristarco no século III a.c.

8 Motivação Lei da Universal A hipótese de Copérnico auxiliou Kepler a descobrir as leis do movimento planetário. O passo seguinte foi a discussão da dinâmica de movimento planetário e a interação responsável por ele. Foi nesse ponto que Isaac Newton deu sua notável contribuição, a Lei da Universal.

9 Lei da Universal Lei da Universal Lei da Universal A interação gravitacional entre dois corpos pode ser expressa por uma força central, atrativa, proporcional às massas dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Matematicamente: F = Gmm r 2 û r

10 Lei da Universal Lei da Universal Se não tivermos massas puntiformes, mas uma delas estiver distribuída numa linha, numa superfície ou num volume, teremos, respectivamente: 1 Linha: F λdl = Gm r 2 ûr 2 Superfície: F σda = Gm r 2 ûr 3 Volume: F ρdv = Gm r 2 ûr

11 Exemplo Lei da Universal A massa M está uniformemente distribuída ao longo de um disco de raio a. Determine a intensidade da força gravitacional entre o disco e a partícula de massa m localizada a uma distância x acima do disco. Forneça sua resposta em função de M, m, x, a e da constante de gravitação universal G.

12 Campo Gravitacional Lei da Universal Este conceito é análogo ao de campo elétrico Dependen apenas de 1 corpo, diferentemente da força (que depende de dois corpos). É definido como a razão entre a força gravitacional e a massa (de um corpo de teste). F g = m = Gm r 2 O sinal de menos indica que o campo gravitacional é dirigido sempre para a massa que o produz. ûr

13 Campo Gravitacional Lei da Universal De forma análoga ao campo elétrico, um campo gravitacional pode ser representado por linhas de força.

14 Campo Gravitacional Lei da Universal O campo gravitacional também admite uma lei análoga à Lei de Gauss para o campo elétrico. No caso gravitacional: g da = 4πGm int (S) S No caso de uma esfera, a lei de Gauss é útil para mostrar o seguinte teorema. A interação gravitacional entre uma massa de forma arbitrária M e uma massa puntiforme m é igual à interação entre M e um corpo esférico homogêneo de massa m, desde que o centro do corpo esférico coincida com a posição da massa puniforme. Demonstração: Exercício.

15 Energia Potencial Gravitacional Lei da Universal Teorema Toda força radial cuja intensidade depende exclusivamente da posição relativa (de 2 partículas) é conservativa. Forças deste tipo são chamadas de centrais Demonstração: Por hipótese, F = F (r)ˆr. Como F (r) é uma função bem comportada, é suficiente provar que F = 0. Em coordenadas esféricas: F = 1 r 2 sin θ ˆr rˆθ r sin θ ˆφ r θ φ = 0 F (r) 0 0

16 Energia Potencial Gravitacional Lei da Universal Consequência: a Força Gravitacional é conservativa. Podemos associar uma energia potencial (gravitacional), de modo que F = E p. Como F = Gmm ˆr e E p = E p r ˆr + E p θ E p r ˆθ r + E p φ r 2 ˆφ r sin θ, temos = Gmm r 2. Tomando E p ( ) = 0: E p = Gmm r Para um sistema de partículas: E p = G pares m i m j r ij = G 2 N N i=1 j=1 m i m j r ij

17 Lei da Universal O problema gravitacional de 2 corpos pode ser estudado, de um modo mais fácil, como um problema de 1 partícula sujeita a uma força central f(r). Se um corpo é muito mais pesado que o outro, isto é fácil (é o que vamos considerar aqui). Procure pensar como seria se os 2 corpos têm massas comparáveis. Entretanto, há situações em que f(r) tem expressão diferente da força gravitacional como as forças intermoleculares de Van der Walls. Vamos estudar inicialmente algumas propriedades gerais dos campos centrais e depois vamos particularizar para o caso gravitacional.

18 Lei da Universal Já vimos que toda força central é conservativa. Isso significa que a energia mecânica de um corpo se movendo nesta condição é conservada. Por outro lado, se a força é central, seu torque em relação à origem é nulo e por conseguinte, o momento angular também é conservado.

19 Exemplo de motivação Lei da Universal O ônibus espacial de 80,0 t está numa órbita circular com 320 km de altitude, sobre a linha do Equador. Quando o ônibus espacial passa sobre o campus da Un. Federal do Amapá (UNIFAP) em Macapá (longitude: 51,085 ), no sentido oeste-leste, seus dois motores do sistema de manobra orbital (cada um com empuxo de 27,0 kn) são acionados, ocasionando uma frenagem (força para trás no ônibus) por 150 s. Determine o local em que o ônibus estaciona na Terra. Dados: R = 6371 km (raio da Terra) e g 0 = 9,825 m/s 2 (gravidade na superfície)

20 Leis de Kepler Lei da Universal 1 Lei das Órbitas: Os planetas descrevem órbitas elípticas com o sol num dos focos. 2 Lei das Áreas: Uma linha que liga o planeta ao sol descreve áreas iguais em tempos iguais. 3 Lei dos Períodos: O quadrado do período de revolução de um planeta é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao sol.

21 Exemplo Lei da Universal Kepler concluiu que: (I) As órbitas dos planetas são planas. (II) As órbitas dos planetas são elípticas e o Sol ocupa um dos focos. (III) O raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais (velocidade areolar constante). (IV) O quadrado do período de revolução é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita. Newton, entre outras coisas, descobriu que a força gravitacional é uma força central e isto implica obrigatoriamente a validade de SOMENTE as afirmações: a I e II d III e IV b I e III e I, II, III e IV c II e III

390 1975 23 664 25 117 1986 Km % % % I 3.61 23.1 387.8 15.4 35.8 A 2.21 14.1 300.1 11.9 33.44 B 1.40 9.0 87.7 3.5 2.36 II 6.11

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