UNIDADE I GRAVITAÇÃO NEWTONIANA

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1 UNIDADE I GRAVITAÇÃO NEWTONIANA AULA 1 FUNDAMENTOS DA GRAVITAÇÃO NEWTONIANA OBJETIVOS: Ao final desta aula, o aluno deverá: ter uma visão qualitativa de como a força gravitacional atua entre os corpos; ser capaz de descrever matematicamente a interação gravitacional entre duas distribuições de massa. 1 INTRODUÇÃO Percebemos o tempo todo que as propriedades do universo à nossa volta se alteram constantemente: o vento sopra, a chuva cai, os dias sucedem as noites etc. As mudanças que percebemos à nossa volta resultam da interação dos diferentes componentes do meio que nos circunda. A radiação proveniente do Sol colabora na produção de movimentos de massas de ar; vapor d'água em suspensão na atmosfera se condensa ao encontrar uma frente de ar mais fria; a Terra, enquanto gira em torno do seu eixo, expõe faces diferentes ao Sol. As interações entre quaisquer corpos ou partículas no universo podem ser de diversas naturezas. O que mantém a Terra fixa em sua órbita em torno do Sol é um tipo de interação; aquilo que permite que as moléculas de água presentes numa nuvem se condensem é outro tipo de interação. Essas diferentes interações possuem mecanismos distintos e atuam de forma diferente em cada tipo de corpo ou partícula. Por mais que possamos imaginar formas distintas em que dois corpos possam interagir, e em que pese que tais interações pareçam de fato completamente distintas, somente quatro diferentes interações fundamentais existem na natureza. Ou seja, todas as interações que observamos no universo são expressão de uma dessas quatro interações, ou de uma combinação delas. O movimento das massas de ar, o ciclo das chuvas, o movimento aparente dos astros no céu, todos esses fenômenos podem ser descritos mediante esse conjunto de quatro interações fundamentais. Uma dessas quatro interações fundamentais é a gravitação, assunto da presente aula.

2 2 A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Estamos todos acostumados à ideia de que os corpos caem para baixo : quando um objeto qualquer é liberado do repouso a certa altura do solo, ele naturalmente irá se deslocar em direção ao solo, em linha reta. A essa tendência natural de os corpos caírem em direção ao solo, como que atraídos pela Terra, chamamos gravitação. Diferentes explicações para o fenômeno da gravitação surgiram em diferentes culturas ao longo da história. No entanto, até meados do século XVII, o poder das teorias correntes de realizar previsões (por exemplo, o tempo de queda de um corpo a partir de determinada altura) era bastante limitado, pela ausência de uma fundamentação matemática. Em 5 de julho de 1687, o filósofo natural Sir Isaac Newton publicou o livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, no qual expôs um conjunto de teorias que se tornaram a base da mecânica clássica. Nesse livro, Newton propôs uma teoria para a gravitação, a qual não apenas era matematicamente elaborada (permitindo, portanto, que se realizassem previsões numa escala até então impossível), mas também capaz de descrever o movimento inclusive dos corpos celestes. A teoria de Newton para a gravitação propõe que, entre quaisquer partículas dotadas de massa, existe uma força gravitacional atrativa uma força que tende a aproximar esses corpos. Para Newton, portanto, um corpo na superfície da Terra é atraído pela Terra assim como a Terra é atraída por Isaac Newton: um dos maiores cientistas de todos os tempos, o inglês Isaac Newton não somente produziu as bases da mecânica clássica, como também foi um grande matemático, tendo sido um dos pais do cálculo diferencial e integral. Figura 1.1: Sir Isaac Newton Fonte: Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg esse corpo. Porém, a teoria de Newton não se limita a corpos na superfície da Terra: um pássaro que voa a grande altitude também sente o efeito da força gravitacional produzida pela Terra sobre ele. Como nas proximidades da Terra não existe um limite para a atuação da força gravitacional (ou seja, não importa o quão acima do solo ainda sentimos o efeito da força gravitacional), então esse efeito também deve ser sentido por um corpo tão longe da Terra quanto, por exemplo, a Lua ou o Sol. Com esse raciocínio, Newton propôs que a força que nos atrai para o

3 solo é da mesma natureza que a força que mantém a Lua girando em torno da Terra, e mantém todos os planetas girando em torno do Sol. Por isso, a lei da gravitação de Newton é chamada de lei da gravitação universal, pois vale para quaisquer dois corpos no universo. A lei da gravitação universal de Newton diz que: Quaisquer duas partículas se atraem mutuamente com uma força que é diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. No enunciado da lei da gravitação de Newton, aparece a palavra partícula. Uma partícula é um elemento físico sem dimensão, ou seja, infinitamente pequeno. Não existem na natureza corpos infinitamente pequenos: uma partícula é uma aproximação que permite simplificarmos diversos problemas físicos. Se quisermos calcular a força gravitacional entre dois grãos de areia, separados por uma grande distância, podemos considerar que esses grãos de areia, por serem muito menores que a distância que os separa, são partículas, ou seja, infinitamente pequenos. Matematicamente, a lei da gravitação de Newton pode ser expressa como: = 1.1 Nessa equação, é o módulo da força gravitacional, e são as massas das partículas, é a distância entre elas e é uma constante, chamada constante gravitacional. A constante gravitacional tem o seguinte valor: =6,67 10 N m 2 /kg A equação 1.1 nos dá o módulo da força gravitacional que atua entre dois corpos. Forças, sendo grandezas vetoriais, precisam de um módulo, uma direção e um sentido para serem totalmente especificadas. A direção da força gravitacional que atua entre dois corpos é a direção da reta que passa pelas duas partículas, ou seja, a força se dá na linha reta que une as duas partículas. O sentido dessa força é sempre atrativo: a força gravitacional que a Terra aplica sobre você tem sentido de cima para baixo, pois ela o atrai; a força gravitacional que você aplica sobre a Terra tem sentido de baixo para cima, pois você a atrai.

4 Figura 1.2: Dois corpos, 1 e 2, separados por uma distância. Figura 1.3: Forças gravitacionais que atuam sobre os corpos 1 e 2. A figura 1.2 mostra dois corpos, 1 e 2, separados entre si por uma distância. O corpo 1 possui uma massa igual a e sofre uma força gravitacional devido ao corpo 2. O corpo 2 possui uma massa igual a e sofre uma força gravitacional devido ao corpo 1. Se conhecemos os valores de, e, podemos calcular os módulos dessas forças usando a equação 1.1. Usando a equação 1.1, encontramos que a força que atua no corpo 1 devido ao corpo 2 possui um módulo igual a: = corpo 1 fica: Da mesma forma, o módulo da força que atua no corpo 2 devido ao = Com isso, percebemos que as forças gravitacionais que um corpo aplica sobre o outro são exatamente iguais em módulo. A diferença entre essas forças está no sentido. A figura 1.3 mostra os vetores que representam as forças e. Veja que, embora o comprimento dos vetores seja o mesmo, seus sentidos são opostos. Centro de massa: um ponto no espaço, associado a um Embora a lei da corpo, que se comporta para um observador externo como se gravitação universal tenha toda a massa do corpo estivesse concentrada naquele ponto. sido enunciada como Uma maneira simples de enxergar o centro de massa de um atuando entre duas corpo é imaginá-lo girando ao ser jogado para o alto: o corpo partículas, podemos irá girar em torno de um ponto, que corresponde ao seu estender a aplicação dessa centro de massa. O conceito de centro de massa é lei para corpos extensos. No aprofundado na disciplina Física I. entanto, para corpos

5 extensos, a distância que aparece na equação 1.1 é a distância que separa seus centros de massa. O exemplo 1 ilustra o cálculo do módulo da força gravitacional envolvendo um corpo extenso. Exemplo 1: A massa da Terra é de 5,98 10 kg e seu raio médio é de m. Qual o módulo da força gravitacional que a Terra aplica sobre um corpo de 5 kg situado em sua superfície? Resolução: O centro de massa da Terra está situado aproximadamente no seu centro geométrico. Portanto, um corpo na superfície da Terra está a uma distância de aproximadamente m do seu centro. Sendo assim, o módulo da força gravitacional que atua nesse corpo, devido à Terra, será = =6,67 10 N m /kg 5,98 10 kg 5 kg m =49,4 N Perceba que o módulo da força que o corpo de 5 kg aplica sobre a Terra é o mesmo: 49,4 N. 3 A GRAVIDADE PERTO DA SUPERFÍCIE DA TERRA Considere um certo planeta X, esférico e homogêneo, com massa e raio. Considere que um certo corpo com massa se encontre ligeiramente acima da superfície desse planeta (digamos, alguns metros acima do solo). Pela lei da gravitação universal, a força gravitacional que o planeta X produz sobre esse corpo tem um módulo igual a: = onde é a massa do planeta e é a distância do corpo de massa ao centro do planeta. Como o corpo está próximo à superfície do planeta, então sua distância ao centro do planeta é aproximadamente igual ao raio do planeta, e assim:

6 = 1.3 é dado por: Pela segunda lei de Newton, a força produz uma aceleração, cujo módulo = 1.4 Substituindo a equação 1.4 na equação 1.3, obtemos: = = 1.5 Esse resultado nos mostra que a aceleração que um corpo sofre devido à força gravitacional (chamada aceleração gravitacional) produzida por um planeta, próximo à sua superfície, só depende da massa e do raio do planeta. Isso significa que todos os corpos na superfície de um planeta sofrem a mesma aceleração gravitacional. A equação 1.5 pode ser resolvida para qualquer planeta. Para calcularmos a aceleração gravitacional na superfície da Terra, usamos os valores da massa e do raio médio da Terra e obtemos: = =6,67 10 N m /kg 5,98 10 kg m =9,87 m/s O resultado acima é muito próximo ao valor da aceleração gravitacional medido a nível da superfície terrestre, que é de 9,83 m/s 2. As diferenças se devem ao fato de que a Terra não é uma esfera perfeita e sua massa não é homogeneamente distribuída no seu interior.

7 4 O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Assim como a Terra exerce uma força gravitacional sobre nós, também a Lua, o Sol e todos os corpos celestes o fazem. A intensidade dessa força irá depender, conforme diz a lei da gravitação universal, das massas dos corpos e das distâncias que os separam. Sendo assim, a qualquer instante de tempo nosso corpo sente a atuação de todas essas forças, simultaneamente. Podemos determinar a força líquida que atua sobre nós através da resultante de todas essas forças, ou seja, da soma vetorial de todas as forças. Esse princípio geral, que diz que podemos determinar o efeito líquido de um conjunto de forças pela soma de todas as forças individuais, chama-se princípio de superposição. Se um corpo está sujeito a um conjunto de forças gravitacionais (,,,,... ), a força gravitacional líquida sentida pelo corpo será dada por: = = 1.6 Imagine, por um momento, que fosse possível cortar a Terra ao meio, separando-a em dois hemisférios iguais, e afastá-los um do outro por uma distância de 1 milímetro. Não perceberíamos, na prática, diferença nenhuma na Terra se a observássemos do espaço, pois essa separação seria tão pequena a ponto de ser imperceptível. Agora que a Terra seria composta de duas partes distintas, perceberíamos alguma diferença na força gravitacional que atua sobre nós? É claro que não. Isso significa que, se somássemos a força gravitacional aplicada por cada um dos dois hemisférios da Terra sobre nós, encontraríamos uma força resultante que corresponde à força líquida que sentimos devido à Terra inteira. Sendo assim, podemos pensar que a força gravitacional que a Terra aplica sobre nós é a resultante das forças gravitacionais que cada porção da massa da Terra aplica individualmente sobre nós. Se dividirmos a Terra em porções de massa, cada uma dessas porções de massa aplica sobre nós uma força, e a resultante dessas forças será = 1.7 Mas a Terra é um corpo contínuo: não existe um número definido de porções de massa que a compõem. Se a dividimos em um conjunto muito grande de

8 porções de massa, ainda assim cada um desses pedaços pode novamente ser subdividido. Se a dividirmos em um número arbitrariamente grande de porções de massa, cada elemento de massa terá uma massa cada vez menor. Conforme nos aproximamos da situação em que dividimos a Terra em um número infinito de porções de massa, cada elemento de massa terá uma massa cada vez mais próxima de zero, ou seja, estaremos dividindo a Terra em elementos infinitesimais de massa, cada um aplicando sobre nós uma força infinitesimal. A resultante desse número muito grande de forças individuais será a integral sobre todos esses elementos infinitesimais de força: = 1.8 A equação acima nos permite calcular a força gravitacional entre quaisquer corpos extensos. Geralmente esse cálculo só é simples para distribuições simétricas de massa, no qual podemos expressar em termos da geometria do corpo. Exemplo 2: Um astronauta de 70 kg está situado a meio caminho da distância que separa os centros da Terra da Lua. Se essa distância é de m e se as massas da Terra e da Lua são de 5, kg e de 7, kg respectivamente, qual a força gravitacional líquida sentida pelo astronauta? Resolução: O astronauta está sofrendo uma força gravitacional devida à Terra, cujo módulo é dado por: = =6,67 10 N m /kg 5,98 10 kg 70 kg m =0,77 N e outra, L, devida à Lua, cujo módulo é dado por: = =6,67 10 N m /kg 7,35 10 kg 70 kg m =0,095 N

9 Essas duas forças apontam em sentidos diferentes. Portanto, a força gravitacional líquida que atua sobre o astronauta terá um módulo que será igual à diferença entre os módulos das forças gravitacionais devidas à Terra e à Lua: = =0,675 N Ou seja, na metade da distância Terra-Lua, a força gravitacional da Terra atuando sobre um corpo é muito mais intensa do que a da Lua. 5 ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL A força gravitacional é uma força conservativa. Isso significa que o trabalho realizado pela força gravitacional para mover um corpo entre dois pontos quaisquer não depende do caminho percorrido por esse corpo, mas somente dos pontos inicial e final do percurso. Como a força gravitacional é uma Trabalho: de maneira simples, pode-se dizer que o trabalho força conservativa, é realizado por uma força é a energia transferida para (ou pelo) possível definir uma energia objeto devido à atuação dessa força. O conceito de trabalho potencial associada a essa realizado por uma força é explorado na disciplina de Física I. força. É o que faremos a seguir. Considere duas partículas, de massas e, separadas entre si por uma distância e em repouso. Se elas estiverem sujeitas somente à força gravitacional que uma produz sobre a outra, não poderão permanecer em repouso: vão cair uma em direção à outra. Conforme caem, se tornam cada vez mais velozes. O aumento da rapidez das partículas está associado a um aumento da energia associada ao seu movimento: quanto mais velozes, maior energia cinética possuem. Se as partículas em questão estão aumentando sua energia cinética, de onde vem essa energia? De alguma forma, essa energia estava armazenada no sistema mesmo quando as partículas estavam em repouso. Essa energia armazenada no sistema é a energia potencial do sistema. Matematicamente, a energia potencial U armazenada em um sistema de duas partículas vale =, 1.9 onde e são as massas das partículas e é a distância que as separa. Segundo essa definição, a energia potencial gravitacional é sempre negativa. Além disso, quanto mais distantes estiverem as partículas entre si, maior a energia

10 potencial gravitacional do Energia cinética: a energia cinética é uma forma de sistema formado pelas energia associada ao movimento dos corpos. Se um corpo de duas partículas. O maior massa está se movendo com uma velocidade, sua energia valor possível para a cinética vale = energia potencial. O conceito de energia cinética é explorado na disciplina Física I. gravitacional é zero, e esse máximo valor ocorre quando tende a infinito. 6 VELOCIDADE DE ESCAPE Suponha que você está de pé na superfície da Terra, com um pequeno objeto nas mãos. Se você jogar esse objeto para cima, ele vai subir até uma certa altura máxima e retornar, puxado pela força gravitacional terrestre. A altura máxima que o objeto vai subir depende da velocidade inicial que você fornecer ao objeto: quanto maior essa velocidade inicial, mais alto irá subir o objeto antes de retornar. Durante a subida, o objeto que você lançou se torna cada vez mais lento. Sendo assim, sua energia cinética é cada vez menor. Por outro lado, quanto mais distante o objeto estiver da Terra, maior será a energia potencial associada ao sistema objeto-terra. Isso significa que, durante a subida, a energia cinética do objeto se converte em energia potencial gravitacional. A máxima altura atingida pelo objeto é aquele ponto no qual toda a energia cinética que o objeto possuía no lançamento se transformou em energia potencial gravitacional armazenada no sistema objeto-terra. Agora, imagine que você lançou o objeto para cima com uma velocidade tão alta que o objeto, para converter toda sua energia cinética em energia potencial gravitacional, vai precisar subir uma altura infinita. Nessa situação, o objeto vai subir indefinidamente, cada vez mais lentamente, mas jamais atingindo de fato o repouso. Vamos analisar cuidadosamente o que acontece com a energia do corpo nesse processo: No instante em que o objeto é lançado, sua energia cinética vale: = 1 2, 1.10 onde é sua velocidade inicial e é sua massa. Sua energia potencial vale:

11 =, em que é a massa do objeto, é a massa da Terra e é seu raio. Perceba que a energia potencial gravitacional do objeto durante o lançamento não é zero, pois ele está a uma distância do centro da Terra. No infinito, o objeto terá convertido toda sua energia cinética em energia potencial gravitacional. Portanto, sua energia cinética será zero. Da mesma forma, a energia potencial gravitacional do sistema será zero, já que é infinito. Portanto, no infinito, =0 =0 Se houve total conversão de energia cinética em energia potencial, então, se somarmos a variação Δ da energia cinética do objeto com a variação Δ da energia potencial gravitacional do sistema, vamos obter zero: Δ +Δ = =0 1 2 = A equação 1.12 nos permite descobrir qual a velocidade mínima com que precisamos lançar o objeto para que ele suba indefinidamente, convertendo toda sua energia cinética em energia potencial somente a uma altura infinita. Para isso, vamos isolar na equação 1.12: 1 2 = = Essa velocidade obtida na equação 1.13 é a chamada velocidade de escape, e corresponde à mínima velocidade necessária para que o objeto lançado escape da atração gravitacional terrestre. Podemos falar em velocidade de escape para

12 qualquer planeta ou corpo celeste; por exemplo, existe uma velocidade de escape para a Lua, para Marte, para Plutão etc. Perceba que a velocidade de escape só depende da massa e do raio do planeta. Calculando a velocidade de escape na Terra usando a equação 1.13, usando os valores da massa e do raio terrestre, obtemos: = 2 6,67 10 N m /kg 5,98 10 kg m =11202 m/s=11,2 km/s A velocidade de escape na Terra, portanto, é de 11,2 km/s. Qualquer objeto lançado com uma velocidade mais baixa Atenção: em todos os cálculos que realizamos para obtermos do que essa irá a velocidade de escape, desconsideramos um aspecto muito eventualmente cair de volta em sua superfície. importante da Terra: sua atmosfera. Na prática, um objeto lançado para cima está sujeito a uma força de arraste devido ao ar. ATIVIDADES No ano de 2008, a emissora estadunidense ABC lançou uma minissérie de TV, em dois episódios, intitulada Impact (Impacto, em português). A trama dessa série gira em torno de uma catástrofe iminente: um fragmento de uma anã marrom (ver aulas 17 e 18) atinge a Lua, arrancando parte de sua massa, alojando-se no seu interior e alterando sua órbita. Tal fragmento é duas vezes mais massivo do que a Terra. Você pode obter mais informações sobre esta minissérie em Com base no que você aprendeu nesta aula, analise os seguintes acontecimentos que ocorreram na minissérie: 1) Os astrônomos demonstraram que a órbita da Lua se tornou instável. No intervalo de um mês, a Lua se aproxima muito da Terra e se afasta muito dela, produzindo efeitos gravitacionais gigantescos na superfície desta. Algumas pessoas chegam a flutuar na superfície terrestre durante algumas horas em que a Lua está mais próxima de nós. Mais grave do que isso, verificou-se que a Lua irá colidir com a Terra em 39 dias. Se as massas da Terra e da Lua são, respectivamente, 7 10 e 6 10 kg (antes da colisão), calcule a distância a que a Lua deveria se aproximar

13 da Terra para produzir a levitação das pessoas na superfície desta. Discuta se existe essa possibilidade. 2) A Lua, exceto pelo pedaço perdido da superfície durante a colisão, mantém seu formato inalterado. Calcule a intensidade da aceleração gravitacional na superfície da Lua após a colisão com o fragmento de anã marrom, sabendo que seu raio é de aproximadamente 1700 km. Discuta se a manutenção de seu formato é fisicamente admissível. 3) Se a Lua, após colidir com o fragmento, se tornou mais massiva do que a Terra, calcule a nova posição do centro de massa do sistema Terra-Lua, sabendo que a distância média entre elas é de 3,7 10 km. Avalie, com base nisso, a afirmação contida na minissérie que a Lua passou a orbitar em torno da Terra, após a colisão, numa órbita mais curta. 4) A solução encontrada pelos cientistas e pelos governos mundiais para salvar a Terra foi ejetar o fragmento do interior da Lua, usando um dispositivo eletromagnético construído na Lua. Se esse dispositivo fosse acionado, qual corpo seria ejetado, a Lua ou o fragmento? RESUMO Nesta aula, você aprendeu: Os fundamentos da gravitação newtoniana. Os conceitos de energia potencial gravitacional e de velocidade de escape. REFERÊNCIAS MORAIS, Antônio Manuel Alves. Gravitação e cosmologia. São Paulo: Livraria da Física, NUSSENZVEIG, Hersch Moysés. Curso de Física Básica; v.1 Mecânica. 4.ed. São Paulo: Blucher, 2002.

14 AULA 2 O EXPERIMENTO DE SCHIEHALLION OBJETIVOS: Ao final desta aula, o aluno deverá: ter se familiarizado com o ferramental matemático envolvido na lei da gravitação universal; ter entendido os princípios e limitações do experimento de Schehallion. 1 INTRODUÇÃO Em 1774, o astrônomo inglês Nevil Maskelyne conduziu um dos primeiros experimentos visando medir a densidade da Terra. Seu experimento consistia em medir a deflexão de um pêndulo nas proximidades de uma montanha, devido à força gravitacional que a montanha produz sobre o pêndulo. Conhecendo-se a massa da montanha, acreditava Maskelyne, podia-se determinar a densidade da Terra. Maskeline realizou o experimento nas proximidades da montanha Schiehallion, na Escócia daí o nome do experimento. Figura 2.1: A montanha Schiehallion, em Perthshire, Escócia. Fonte: en.wikipedia.org/wiki/file:schiehallion_01.jpg

15 2 DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DO EXPERIMENTO A figura 2.2 mostra um pêndulo simples, de massa, próximo à superfície da Terra. Se o pêndulo está sujeito somente à força gravitacional da Terra, e se a Terra for uma esfera de massa e raio, o módulo da força gravitacional que atua sobre o pêndulo, de acordo com a lei da gravitação universal, vale: Nevil Maskelyne: astrônomo britânico, viveu entre o final do século XVIII e o início do século XIX. Seu trabalho mais importante foi desenvolver uma metodologia para medir a densidade da Terra. Figura 1.2: Nevil Maskelyne. Fonte: = Figura 2.2: Um pêndulo em repouso próximo à superfície terrestre. A figura 2.3 mostra o mesmo pêndulo, porém agora próximo a uma montanha de massa. Se o centro de massa da montanha se encontra a uma distância do pêndulo, então o módulo da força gravitacional que atua sobre o pêndulo devido à montanha vale:

16 = Figura 2.3: Um pêndulo em repouso próximo à superfície terrestre, sofrendo os efeitos gravitacionais de uma montanha próxima. As massas da montanha e da Terra podem ser expressas em termos do seu volume e de sua densidade: = = Com isso, obtemos: = = Ainda na figura 2.3, vemos que a presença da montanha deflete o pêndulo, devido à força gravitacional que a montanha aplica sobre o pêndulo. A figura 2.4 mostra uma visão mais detalhada do pêndulo nessa situação. e são as forças gravitacionais que atuam sobre o pêndulo devido à Terra e à montanha, respectivamente, é a tensão na corda (a força necessária para manter o pêndulo no lugar) e é o ângulo de deflexão do pêndulo. Se o pêndulo está parado, então a

17 força resultante que atua sobre o pêndulo é zero e, de acordo com a segunda lei de Newton, = cos 2.3 = sen 2.4 Figura 2.4: Um pêndulo em repouso, sob ação das forças gravitacionais da Terra e da montanha. Usando as equações 2.3 e 2.4, podemos calcular a razão / : = sen cos =tan 2.5 Substituindo na equação 2.5 as equações 2.1 e 2.2, obtemos: tan = tan = 2.6 Reorganizando a equação 2.6, obtemos:

18 = 1 tan 2.7 Se conhecermos os volumes da Terra e da montanha, e formos capazes de estimar a densidade da montanha pelo tipo de rocha que a forma, então basta medirmos o ângulo de deflexão do pêndulo para determinarmos a densidade da Terra, usando a equação REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO Você vai agora realizar um cálculo da estimativa da Terra, usando uma simulação do experimento de Schiehallion e os dados da seção 2. Siga os seguintes passos: 1) Suponha que dados cartográficos mostrem que a montanha Schiehallion é aproximadamente um cone com 700 m de altura e 2500 m de diâmetro da base (essa aproximação é bastante grosseira: no experimento original, foi feita uma análise topográfica bem mais detalhada). Determine o volume estimado da montanha, usando geometria espacial. 2) Supondo que a Terra é uma esfera perfeita e que seu raio seja de 6371 km, determine o volume da Terra. 3) Supondo que o pêndulo foi colocado a 1800 m do centro de massa da montanha e que a deflexão observada foi de 0,0032 graus, e supondo que geólogos demonstraram que as rochas que compõem a montanha possuem densidade média de 2500 kg/m 3, determine a densidade da Terra pela equação ) Estimativas modernas indicam que a densidade da Terra é de 5500 kg/m 3. Compare com esse valor o que você encontrou, a partir desse experimento simulado. Se houve discordância entre os valores, analise quais são as possíveis fontes dessa diferença. RESUMO Nesta aula, você viu: O experimento de Schiehallion, um dos primeiros experimentos visando determinar a densidade da Terra.

19 Uma aplicação direta da lei da gravitação universal. REFERÊNCIAS STILLITTO, RICHARD M. Maskelyne on Schiehallion or one man' s geophysical year. Disponível em Acesso em: 23 maio 2011.

20 AULA 3 AS LEIS DE KEPLER OBJETIVOS: Ao final desta aula, o aluno deverá: ser capaz de entender as relações entre aspectos orbitais dos planetas em torno do Sol e dos satélites em torno dos planetas; ser capaz de fazer previsões matemáticas simples sobre o movimento dos corpos celestes. 1 INTRODUÇÃO Johannes Em 1609, Kepler publicou um livro intitulado Astronomia Nova, no qual apresenta um conjunto de leis que descrevem o movimento aparente da Lua e dos planetas no céu. Analisando dados de posição de astros coletados durante décadas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, Kepler percebeu que o comportamento dos planetas e da Lua podiam ser descritos por um conjunto de leis matemáticas bastante simples e universais. As três leis do movimento planetário elaboradas por Kepler, conhecidas como leis de Kepler, são leis empíricas, ou seja, nasceram da observação e não embasadas em uma teoria mais fundamental que a sustentava. Posteriormente, verificou-se que as leis de Kepler são compatíveis com a lei da gravitação universal e com a mecânica newtoniana. Porém, sua publicação ocorreu cerca de 80 anos antes da publicação das leis da mecânica e da gravitação universal por Isaac Newton. As três leis de Kepler são a lei das órbitas elípticas, a lei das áreas e a lei dos tempos. Veremos cada uma delas em separado a seguir. Johannes Kepler: matemático, astrônomo e astrólogo alemão, foi um dos maiores cientistas de todos os tempos. Sua obra forneceu as bases para a lei da gravitação universal de Isaac Newton. Figura 3.1: Johannes Kepler Fonte:

21 2 A LEI DAS ÓRBITAS ELÍPTICAS Até o início do século XVII, a visão amplamente defendida sobre o movimento planetário consistia em atribuir a cada planeta (e, ainda, ao Sol e à Lua) uma esfera de cristal, oca, sobre a qual o corpo celeste estaria, de alguma forma, conectado. Essas esferas seriam todas concêntricas, e a Terra estaria no centro delas. O movimento aparente dos astros no céu seria devido, segundo essa teoria, pela rotação dessas esferas de cristal, que carregariam os planetas consigo em seu giro. De acordo com essa teoria, todos os astros se moviam em torno da Terra, inclusive o Sol. Além disso, a órbita de todos os corpos celestes em torno da Terra seriam círculos, com diferentes raios. Esse modelo permitia prever o movimento dos astros no céu com alguma precisão, mas havia muitas discrepâncias. Como a localização precisa dos astros no céu era de extrema importância na época, entre outros motivos pelo auxílio à navegação, era importante melhorar a qualidade dessas previsões. Ao longo dos anos, conforme seu trabalho progredia, Kepler percebeu que a melhoria no poder de previsão da posição dos astros exigia uma nova teoria do movimento dos astros, na qual as suposições antigas fossem substituídas. Enquanto analisava a órbita de Marte, planeta para o qual dispunha dos melhores dados, Kepler percebeu que seu movimento descrevia, em vez de um círculo em torno da Terra, uma elipse, com o Sol em um dos seus focos. Com isso, Kepler formulou a primeira das suas leis do movimento planetário: Primeira lei de Kepler lei das órbitas: os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos. A figura 3.2 ilustra a órbita de um planeta em torno do Sol, segundo a primeira lei de Kepler. Note o formato elíptico da órbita e a posição do Sol. Nessa figura, estão mostrados dois parâmetros importantes da órbita dos planetas: o semi-eixo maior (que corresponde à maior distância que separa o centro da elipse da periferia da elipse) e o semi-eixo menor (que corresponde à menor distância que separa o centro da elipse de sua periferia). Podemos caracterizar o quanto a órbita de um planeta é achatada através da excentricidade da órbita: = 1 3.1

22 Pela definição de excentricidade, uma órbita quase circular possui, correspondendo a =0; uma órbita muito achatada tem, e então 1. Possuindo órbitas elípticas, os planetas apresentam distâncias variáveis em relação ao Sol. A mínima distância que um planeta assume em relação ao Sol é chamada periélio; a máxima distância é chamada afélio. Figura 3.2: A primeira lei de Kepler (lei das órbitas) ilustrada para um planeta hipotético em torno do Sol. 3 A LEI DAS ÁREAS Além de propor que as órbitas dos planetas em torno do Sol fossem elípticas, e não circulares, Kepler percebeu que as velocidades dos planetas em sua órbita não eram constantes: quanto mais próximos do Sol, mais rapidamente os planetas se movem. Porém, existe um parâmetro orbital que se mantém inalterado durante o movimento de um planeta: uma reta imaginária que liga o Sol ao planeta varre sempre a mesma fração da área de sua órbita por unidade de tempo. Essa é a segunda das leis de Kepler do movimento planetário: Segunda lei de Kepler lei das áreas: uma linha que conecta o Sol a um planeta varre áreas iguais no plano da órbita do planeta em intervalos de tempo iguais. A figura 3.3 ilustra a lei das áreas. Os trechos A e B da órbita do planeta são percorridos durante um mesmo intervalo de tempo. Nessa figura podemos ver que,

23 embora o planeta tenha percorrido uma distância maior no trecho A, quando se encontrava mais próximo do Sol, a área varrida pelo seu movimento no trecho A (em cinza) é igual à área varrida no trecho B. Figura 3.3: A segunda lei de Kepler (lei das áreas) ilustrada para um planeta hipotético em torno do Sol. 4 A LEI DOS TEMPOS Kepler percebeu, finalmente, uma correlação entre o período orbital de um planeta ou seja, o tempo necessário para que o planeta dê uma volta completa em torno do Sol com o semi-eixo maior da sua órbita, : quanto maior o valor de, mais tempo o planeta leva para percorrer totalmente sua órbita. Esse resultado não chega a ser surpreendente pois, quanto maior o semi-eixo maior da órbita de um planeta, para fixo, mais extensa deve ser a distância a ser percorrida pelo planeta e, consequentemente, mais tempo o planeta leva para percorrê-la. No entanto, Kepler não apenas mostrou a relação matemática exata entre ambos como mostrou, também, que essa relação vale para qualquer planeta. O enunciado da terceira lei de Kepler é: Terceira lei de Kepler lei dos tempos: o quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior de sua órbita, sendo a constante de proporcionalidade igual para todos.

24 A constante de proporcionalidade que aparece na terceira lei de Kepler está relacionada com a massa do Sol. Matematicamente, a lei dos tempos assume a forma: = 4, onde é a massa do Sol e é a constante gravitacional. A terceira lei de Kepler, tal como expressa na relação 3.2 e como proposta por Kepler, contém uma pequena incorreção: de fato, a constante de proporcionalidade entre o quadrado do período e o cubo do semi-eixo maior não é a mesma para todos os planetas, pois depende não somente da massa do Sol, mas da massa combinada do Sol e do planeta em questão. Porém, como a massa do Sol é muito maior do que a massa de qualquer planeta individual, a expressão 3.2 é uma excelente aproximação. As três leis de Kepler permitem descrever o movimento de planetas em torno do Sol e também dos satélites em torno dos seus respectivos planetas. O poder de previsão da posição aparente dos astros no céu, após a elaboração dessas leis por Kepler, sofreu uma melhora significativa. Na aula 4, para ilustrar o poder das leis de Kepler, vamos verificar a validade das segunda e da terceira leis para um dos planetas do sistema solar. 3.2 ATIVIDADES Revise o conteúdo da aula de hoje, com atenção. Você precisará dominar esse conteúdo para a aula 4. RESUMO Nesta aula, você viu: As três leis de Kepler do movimento planetário. REFERÊNCIAS FERRIS, Timothy. Coming of age in the Milky Way perennial ed. New York: HarperCollins, BASSALO, José Maria Filardo. Nascimentos da Física (3500 a.c a.d.) Belém: EDUFPA, 1996.

25 MORAIS, Antônio Manuel Alves. Gravitação e cosmologia. São Paulo: Livraria da Física, 2009.

26 AULA 4 LEIS DE KEPLER APLICADAS OBJETIVOS: Ao final desta aula prática, o aluno deverá: ser capaz de aplicar as leis de Kepler ao movimento de um planeta; ter verificado a validade das leis de Kepler para o planeta Marte. 1 INTRODUÇÃO Johannes Kepler, para desenvolver suas leis do movimento planetário, utilizou-se de medidas extensivas da posição aparente dos planetas no céu. Quando iniciarmos o estudo da astronomia esférica, na aula 9, vamos ver alguns métodos que nos permitem localizar os astros no céu e uns em relação aos outros. Assim, para verificarmos a validade das leis de Kepler, na aula de hoje, não vamos utilizar dados de posição aparente dos planetas como as utilizadas por Kepler. Em lugar disso, vamos utilizar um mapa mostrando a posição do planeta Marte em relação ao Sol, ao longo de sua órbita, em diferentes datas. 2 DADOS DO PLANETA MARTE A figura 4.1 mostra a posição do planeta Marte, em sua órbita em torno do Sol, em treze datas distintas, obtidas a partir do simulador Planetarium. A posição do planeta está representada por círculos pretos; a posição do Sol está mostrada como um círculo amarelo. A posição indicada como 1 é a posição de Marte à meia-noite do dia 1º de janeiro de 2009; todas as posições seguintes correspondem a intervalos de 56 dias a partir desse ponto. Sobreposta nas posições de Marte e do Sol na figura 4.1, há uma grade quadrada. A medida do lado de cada um dos quadrados dessa grade corresponde a 1,37 10 km.

27 Figura 4.1: Posições do planeta Marte em sua órbita, em diferentes datas. 3 ANÁLISE DOS DADOS Você vai agora verificar que os dados da posição de Marte, como indicados na figura 4.1, são compatíveis com as três leis de Kepler. Para isso, siga os seguintes passos: 1) Verifique qualitativamente a primeira lei de Kepler: a. Meça a distância entre Marte e o Sol, em quilômetros, para cada uma das posições mostradas no diagrama acima. Para isso, use as distâncias horizontais e verticais entre o Sol e Marte, usando a grade, e aplique o teorema de Pitágoras. b. Verifique que a distância entre Marte e o Sol muda ao longo do tempo, e que existe uma região da órbita em que Marte está sistematicamente mais próximo do Sol e outra, em que Marte está sistematicamente mais distante.

28 c. Faça uma estimativa (e marque sobre o diagrama) do ponto em que Marte e o Sol estão mais próximos entre si. Esse ponto é chamado periélio. Estime também o ponto em que ambos estão mais distantes. Esse ponto é chamado afélio. O periélio e o afélio devem se situar em posições opostas na figura. d. Meça a distância entre o ponto de periélio e o ponto de afélio, usando a grade. A metade dessa distância é o semi-eixo maior da órbita de Marte. Calcule esse valor. e. Meça a largura da órbita de Marte perpendicularmente à linha que une o periélio e o afélio. A metade dessa distância é o semi-eixo menor da órbita de Marte. Calcule esse valor. f. Verifique que e não são iguais. Com isso, você mostra que a órbita de Marte não é circular. A existência de um ponto de máxima aproximação entre Marte e o Sol (periélio), juntamente com a informação de que a órbita de Marte não é circular, é incompatível com uma órbita circular cujo Sol ocupe seu centro, mas plenamente compatível com uma órbita elíptica, com o Sol ocupando um dos focos. 2) Verifique quantitativamente a segunda lei de Kepler: a. Tome os dois pontos da órbita de Marte mais próximos do afélio. Trace uma linha desde o Sol até cada um desses pontos. Meça a área varrida pela órbita de Marte durante seu deslocamento entre esses dois pontos, contando o número aproximado de quadrados englobados por essas retas. Represente essa área pela letra A. b. Tome os dois pontos da órbita de Marte mais próximos do periélio. Meça a área varrida pela órbita de Marte durante seu deslocamento entre esses dois pontos, da mesma forma como no item acima. Represente essa área pela letra B. c. Verifique que os pontos do afélio são mais próximos entre si do que os pontos do periélio. Com isso, demonstra-se que a velocidade orbital de Marte é maior quanto mais próximo do Sol ele se encontra. d. Verifique que A e B são semelhantes. Com isso, demonstra-se que a lei das áreas se aplica a esses dados. 3) Verifique quantitativamente a terceira lei de Kepler: a. Faça uma estimativa do período orbital de Marte, utilizando os dados da figura 4.1, lembrando que os pontos estão separados no tempo por 56 dias.

29 b. Sabendo que a massa do Sol é de aproximadamente 2 10 kg e que =6,67 10 N m 2 /kg 2 e, usando o valor do semi-eixo maior de Marte obtido no item (1), calcule o valor de previsto pela equação 3.1. c. Compare o valor que você estimou para com o valor obtido usando a equação 3.1. Verifique que os valores são semelhantes, o que demonstra a validade da terceira lei de Kepler para esses dados. RESUMO Nesta aula, você viu: Uma aplicação das leis de Kepler do movimento planetário. A verificação de que o movimento do planeta Marte é compatível com as leis de Kepler.