Lista 13: Gravitação. Lista 13: Gravitação
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- Wagner Camilo Escobar
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1 Lista 13: Gravitação NOME: Matrícula: Turma: Prof. : Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar. ii. Ler os enunciados com atenção. iii. Responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. iv. Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros! 1. a) Calcule g 0 na superfície da Lua a partir dos valores da massa e do raio da Lua. b) Qual é o período de um pêndulo de segundos (período = 2,00s na Terra), na superfície da Lua? c) Quanto pesará um objeto na superfície da Lua se o seu peso na superfície da Terra for de 100N? d) A quantos raios terrestres este mesmo objeto precisa estar da superfície da Terra para que pese o mesmo que na superfície da Lua? 1
2 2. a) Escreva uma expressão para a força exercida pela Lua, de massa M, sobre uma partícula de água, de massa m, sobre a Terra em A, diretamente abaixo da Lua, como mostra a figura. O raio da Terra é R e a distância centro a centro entre a Terra e a Lua é r. b) Suponha que a partícula de água estivesse no centro da Terra. Que força a Lua exerceria sobre ela naquele ponto? c) Mostre que a diferença entre essas força é dada por = e representa a força das marés, a força sobre a água relativamente à Terra. Qual é a direção e o sentido da força das marés? d) Repita para uma partícula de água em B, no lado oposto da Terra, em relação à Lua. Qual são a direção e o sentido desta força de maré? e) Explique por que existem duas regiões salientes nos oceanos (e na Terra sólida), devido às marés, uma apontando para a Lua e a outra em sentido oposto. 2
3 3. A Estação Espacial Internacional gira em torno da Terra em órbita circular a uma distância 6,80x10 3 km do centro da Terra (aproximadamente 400 km da superfície da Terra). a) Determine a velocidade orbital da Estação. b) Determine o período de sua orbita. c) Determine a aceleração da gravidade nesta orbita e compare com a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Comente. 3
4 4. Um satélite A de massa m orbita a Terra de massa M em círculo de raio r = 2R, onde R é o raio da Terra. (a) De acordo com a lei universal de gravitação de Newton, escreva a força que atua no satélite, a energia potencial e a energia cinética do satélite em termos de G, M, m e R. (b) Qual é a energia total desse satélite? O satélite é um objeto livre ou aprisionado do campo gravitacional da Terra? Explique! (c) A partir da conservação de energia total, qual seria a velocidade de lançamento na superfície da Terra para um satélite B, de mesma massa m, escapar do campo gravitacional terrestre? 4
5 5. Considere dois satélites artificiais A e B de massas iguais em órbita circular em torno da Terra. O raio da órbita de A é duas vezes o da órbita de B. (a) Qual satélite está sob a ação de uma força maior? Explique. (b) Porque o satélite não cai em direção a Terra, já que existe uma força (de origem gravitacional) atraindo-o para Terra? (c) Calcule a razão entre as acelerações sofridas pelos satélites, entre seus períodos, entre suas velocidades. (d) Calcule a velocidade de escape para os dois satélites, e sua razão respectiva. (e) O que aconteceria com os dois satélites se, por alguma razão, a força gravitacional se tornasse nula? 5
6 Questões: (A) A força gravitacional exercida pelo Sol sobre a Lua é cerca de duas vezes maior do que a força gravitacional exercida pela Terra sobre a Lua. Por que, então, a Lua não escapa da Terra? (B) Explique porque o seguinte raciocínio está errado. O Sol atrai todos os corpos que estão sobre a Terra. À meia-noite, quando o Sol está diretamente abaixo de nós, a força que ele exerce sobre um objeto tem a mesma direção e sentido que a força exercida pela Terra sobre aquele objeto; ao meio-dia, quando o Sol está diretamente acima, a força que ele exerce sobre um objeto atua em sentido oposto à da Terra. Assim, todos os objetos deveriam ser mais pesados à meia-noite (ou à noite) do que ao meio-dia (durante o dia). (C) Marés particularmente grandes, denominadas marés de primavera, ocorrem na lua cheia e na lua nova, quando as configurações do sistema Sol, Terra e Lua são as que aparecem na figura. Da figura, você poderia concluir (incorretamente!) que os efeitos do Sol e da Lua sobre as marés tendem a se somar na lua nova, mas se cancelam na lua cheia. Em vez disso, eles se somam em ambas as configurações. Explique por quê. (D) Um foguete sempre precisa ter a velocidade de escape de 11,2 km/s para escapar da Terra? Se isto não é verdade, então o que significa realmente a expressão velocidade de escape? (E) Satélites artificiais terrestres podem localizar o nível médio do mar com grande precisão. Acima de rochas petrolíferas, o nível do mar pode estar até 1m mais alto que acima d rochas não-petrolíferas (geralmente mais densas). Explique este fato. 6 Exercícios e Problemas 1. Uma estrela típica de nêutrons pode ter uma massa igual à do Sol, mas um raio de apenas 10,0 km. a) Qual é a aceleração gravitacional na superfície de uma estrela como esta? b) A que velocidade estaria se movendo um objeto após cair, a partir do repouso, uma distância de 1,20 m, próximo a uma estrela deste tipo? 2. Mostre que, sobre um planeta hipotético que tenha a metade do diâmetro da Terra, mas duas vezes a sua densidade, a aceleração da gravidade seria igual à da Terra. 3. O fato de que g varia de ponto a ponto sobre a superfície da Terra despertou a atenção quando Jean Richer, em 1672, levou um relógio de pêndulo de Paris até Caiena, na Guiana Francesa, e descobriu que ele atrasava 2,5 min/dia. Se g=9,81 m/s 2 em Paris, calcule g em Caiena. 4. A maior velocidade de rotação possível para um planeta é aquela em que a força gravitacional sobre corpos no equador mal fornece a força centrípeta necessária para a rotação (Por quê?) a) Mostre, então,
7 que o período de rotação mais curto correspondente é dado por = onde ρ é a densidade do planeta, supostamente homogêneo. b) Calcule o período de rotação supondo uma densidade de 3,0 g/cm 3, típica de muitos planetas, satélites e asteróides. Nunca foi encontrado um destes objetos girando com um período menor do que o encontrado nesta análise. 5. a) Mostre que, num túnel escavado através da Terra, ao longo de uma corda e não de um diâmetro, o movimento de um objeto será harmônico simples; suponha uma densidade terrestre uniforme. b) Determine o período. c) O objeto alcançará, ao longo da corda, a mesma velocidade máxima que ele alcança ao longo de um diâmetro? 6. Uma partícula de massa m está localizada à distância y de um bastão fino de comprimento infinito, e densidade linear de massa λ. Mostre que a força gravitacional entre o bastão e a partícula é = 2, dirigida perpendicularmente ao bastão. 7. Mostre que a velocidade de escape do Sol, num ponto localizado à distância que separa a Terra do Sol, é igual a 2 vezes a velocidade da Terra na sua órbita; suposta circular. (Este caso é um caso específico de um resultado geral para órbitas circulares = 2 ) 8. Um foguete é acelerado até a velocidade =2, perto da superfície da Terra e, então, segue para cima. a) Mostre que ele escapará da Terra. b) Mostre que, muito longe da Terra, sua velocidade é =2. 9. Considere um satélite artificial em uma orbita circular em torno da Terra. Diga como as seguintes propriedades do satélite variam em função do raio de sua órbita: a) período, b) energia cinética, c) momento angular, e d) velocidade. 10. Um método possível para avariar um satélite em órbita da Terra é lançar uma grande quantidade de bolinhas metálicas, de tal modo que elas se movam na mesma órbita do satélite, mas em sentido oposto. Considere um satélite em uma órbita circular cuja altitude acima da superfície da Terra seja de 500 km. Um sensor de bordo detecta a aproximação de uma bolinha de 10,0 g e verifica que uma colisão frontal é inevitável. a) Qual é a energia cinética da bolinha no referencial do satélite? b) Qual é a razão entre a energia cinética e a de uma bala atirada por um moderno fuzil militar? (Uma bala como esta tem uma massa de 4,00 g e sua velocidade ao deixar o cano da arma é de 950 m/s) Respostas: 1) a) 1, m/s 2 ; b) 1, m/s 3) 9,78 m/s 2 4) b) 1,9 h 5) b) ; c) Não 9) Proporcionais a a) r 3/2 ; b) r -1 ; c) r 1/2 ; d) r -1/2 10) a) 2,3MJ; b)
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