Análise Dimensional Notas de Aula

Transcrição

1 Primeira Edição Análise Dimensional Notas de Aula Prof. Ubirajara Neves

2 Fórmulas dimensionais 1 As fórmulas dimensionais são formas usadas para expressar as diferentes grandezas físicas em função das grandezas fundamentais.

3 Seção 1 Introdução 1. Encontra-se uma equação que permita calcular a grandeza de interesse. Qualquer equação serve, desde que correta, é claro! 2. Colocam-se colchetes em todos os termos da equação, indicando que se deve trabalhar com as respectivas fórmulas dimensionais. Para a Mecânica, são consideradas grandezas fundamentais: a massa (m) M 3. Manipula-se algebricamente a expressão obtida, até que a mesma fique irredutível. Vejamos alguns exemplos. o comprimento (l) L o tempo (t) T Assim, na Mecânica, qualquer grandeza derivada X pode ser expressa em função dessas três grandezas, através da forma em que MxLyTz é a fórmula dimensional da grandeza X, indicada por [X], e x, y e z são as dimensões de X em relação a M, L e T, respectivamente. Para determinar a fórmula dimensional de uma grandeza derivada pode-se seguir as etapas: 2

4 Seção 2 Exemplos Usemos a equação para determinar o volume de um palelepípedo retângulo de base retangular, cujas arestas tenham comprimento a, b e c.. Logo, o volume é uma grandeza que apresenta três dimensões de comprimento. Área (A) Podemos usar a equação para o cálculo da área de um retângulo: Densidade (ρ) Pela definição de densidade (volumétrica): A = a b, em que A é a área, a é a medida do comprimento de um lado, e b é a medida do comprimento do outro lado. Colocando-se colchetes em todos os termos: em que ρ é a densidade volumétrica, m é a massa e V é o volume. Façamos a análise dimensional: [A] = [a] [b] = L L = L2. Portanto, a fórmula dimensional de área é L2, que significa que a área é uma grandeza que tem duas dimensões de comprimento. Assim, a densidade é uma grandeza que apresenta uma dimensão de massa e três dimensões negativas de comprimento. Volume (V) Velocidade (v) Usemos a equação da velocidade média: 3

5 Podemos partir da equação da 2.ª lei de Newton para uma força resultante F: o que nos leva a concluir que velocidade é uma grandeza que possui uma dimensão de comprimento, uma dimensão negativa de tempo, e que não tem dimensão de massa. Note que a existência de uma dimensão negativa apenas significa que a grandeza em questão apresenta uma proporcionalidade inversa em relação àquela grandeza fundamental. Aceleração (a) Usando a equação da aceleração média: Momento linear (p) A partir da equação do momento linear, também conhecido como quantidade de movimento, obtemos: Note que a grandeza momento linear tem uma dimensão de massa, uma dimensão de comprimento e uma dimensão negativa de tempo. Trabalho (W) Pela definição de trabalho: Pressão (P) Sendo a pressão a razão entre a força e a área, temos: Torque (M) Para uma força F aplicada a uma distância d do ponto de apoio de um corpo extenso: Energia cinética (K) Partamos da equação para o cálculo da energia cinética de um corpo com massa m que se desloca a uma velocidade v: Força (F) 4

6 Não esqueça que g é a aceleração da gravidade. Observe que neste caso apareceu a expressão, ou seja, a fórmula dimensional de um numeral. Ora, numerais são adimensionais, isto é, apresentam dimensões zero. Então, Constante elástica (k) A partir da equação para determinar a força elástica, obtemos: Podemos generalizar e afirmar que a fórmula dimensional de um numeral, desde que não seja uma constante de proporcionalidade, é sempre 1. Assim, em que x é a deformação do corpo uma mola, por exemplo. Observe como as grandezas trabalho, torque e energia cinética são dimensionalmente homogêneas, ou seja, têm a mesma fórmula dimensional. São, portanto, grandezas que apresentam as mesmas dimensões e que devem se relacionar de alguma forma, como será estudado posteriormente. Energia potencial gravitacional (UG) Sendo uma forma de energia, espera-se que tenha a mesma fórmula dimensional da energia cinética. Vejamos: Energia potencial elástica (UE) Pela definição da energia potencial elástica: Potência (Pot) Sendo a potência a razão entre a energia e o tempo, 5

7 R EVISÃO 1.1 Grandezas Pergunta 1 de 3 Das opções a seguir, qual não se refere a uma grandeza fundamental? A. Tempo B. Aceleração C. Comprimento D. Massa Verificar Resposta

8 Homogeneidade dimensional 2 Aquela equação resultante de um longo processo de dedução estaria correta? Há alguma maneira de descartar a possibilidade de erro? É aí que entra o tema do presente capítulo.

9 Seção 1 Usando a homogeneidade Substituindo as fórmulas dimensionais, obtemos: Para que uma equação seja válida é necessário que apresente uma homogeneidade dimensional. Em outras palavras, o primeiro e o segundo membros devem apresentar as mesmas fórmulas dimensionais. Observe que uma equação com essa característica pode estar certa; por outro lado, uma equação não dimensionalmente homogênea certamente estará errada. Tomemos como exemplo a seguinte situação: um estudante, ao resolver um problema de mecânica, chegou à equação Portanto, a equação encontrada pelo estudante é dimensionalmente homogênea, o que a torna uma equação possível. Não podemos garantir que esteja correta, mas diminuímos a chance de ela estar errada. em que F é a força, m é a massa, g é a aceleração da gravidade, v é velocidade e d é a distância em relação a um referencial. Analisemos essa equação quanto a suas dimensões: 8

10 Determinação de equações 3 Como fazemos para descobrir uma equação desconhecida? Analisando uma determinada grandeza, é possível, por análise dimensional, descobrir suas relações com outras grandezas.

11 Seção 1 Determinando equações Podemos usar a análise dimensional para determinar equações desconhecidas. Vejamos dois exemplos interessantes. O período de oscilação de um pêndulo Um pêndulo de comprimento l, sujeito a um campo gravitacional g, oscila num plano com período T. Determinemos a equação que nos permita calcular o período de oscilação desse pêndulo, sabendo que isso depende do comprimento e da aceleração da gravidade local. Seja C uma constante numérica qualquer (não de proporcionalidade). Note que o resultado acima só será verdadeiro se: Com as duas últimas equações podemos montar um sistema e resolvê-lo: Resolvendo a segunda equação em relação a y, obtemos Com base no exposto, sabemos que a equação procurada terá a forma Substituindo na primeira equação, Façamos, então, a análise dimensional da equação acima: 10

12 Voltando para a equação inicial, podemos fazer: Então, Assim, IMPORTANTE! A determinação da constante numérica C não pode ser feita por análise dimensional, mas existem outros métodos para encontrá-la. Velocidade de queda de um corpo Sabendo que a velocidade v de queda de um corpo, desprezando-se a resistência do ar, depende da aceleração da gravidade g, da altura h e, possivelmente, da massa m, vamos determinar a equação para o cálculo dessa velocidade. Resolvendo a segunda equação em relação a x, obtemos Substituindo na primeira equação, chegamos a Então, 11

13 Note como a análise dimensional deixou claro que a velocidade de um corpo em queda livre não depende de sua massa. 12

14 Notas de Aula - Análise Dimensional O trabalho Notas de Aula - Análise Dimensional do prof. Ubirajara Neves foi licenciado com uma licença Creative Commons - Atribuição - Não Comercial - Sem Derivados 3.0 Não Adaptada. xiii

15 Arestas Num sólido geométrico, o termo aresta refere-se à intersecção entre duas faces. Aresta Arraste os termos relacionados até aqui Capítulo 1 - Exemplos

16 Dimensões No contexto da análise dimensional, dimensão refere-se ao expoente associado a uma grandeza fundamental. Grandezas fundamentais Capítulo 1 - Introdução

17 Energia cinética É a energia mecânica associada ao movimento de um corpo. Assim, um corpo em repouso em relação a um certo referencial não possui energia cinética. Arraste os termos relacionados até aqui Capítulo 1 - Exemplos

18 Fórmula dimensional Expressão literal que mostra as grandezas fundamentais associadas a uma grandeza derivada, bem como suas dimensões. Grandeza derivada, Grandezas fundamentais Capítulo 1 - Introdução

19 Grandeza Tudo aquilo que pode ser medido, direta (grandeza fundamental) ou indiretamente (grandeza derivada). Grandeza derivada, Grandezas fundamentais Capítulo 1 - Introdução

20 Grandeza derivada Grandeza que resulta da associação de uma ou mais grandezas fundamentais e que não pode ser medida diretamente. Grandeza, Grandezas fundamentais Capítulo 1 - Introdução

21 Grandezas fundamentais Grandezas que podem ser medidas diretamente. São sete: massa, comprimento, tempo, temperatura termodinâmica, quantidade de matéria, intensidade de corrente elétrica, e intensidade luminosa. Grandeza, Grandeza derivada Capítulo 1 - Introdução

22 Mecânica Ramo da Física que estuda os movimentos dos corpos. Arraste os termos relacionados até aqui Capítulo 1 - Introdução

23 Momento linear Grandeza vetorial que representa a quantidade de movimento associada a um corpo, em relação a um certo referencial. É obtida pelo produto da massa do corpo pela sua velocidade no referencial em questão. Arraste os termos relacionados até aqui Capítulo 1 - Exemplos

24 Oscilação Movimento periódico em torno de um ponto central. Pêndulo Capítulo 3 - Determinando equações

25 Palelepípedo Sólido geométrico cujas faces são paralelogramos paralelos. Arraste os termos relacionados até aqui Capítulo 1 - Exemplos

26 Pêndulo Corpo dotado de massa pendurado em apoio, que apresenta movimento oscilatório em torno de um ponto de equilíbrio. Oscilação Capítulo 3 - Determinando equações

27 Período Tempo necessário para que se execute uma oscilação completa. Oscilação Capítulo 3 - Determinando equações

28 Quantidade de movimento Mesmo que momento linear. Momento linear Capítulo 1 - Exemplos

29 Retângulo Quadrilátero com lados opostos paralelos. Arraste os termos relacionados até aqui Capítulo 1 - Exemplos

30 Torque Grandeza responsável pela variação do momento angular de um corpo. Arraste os termos relacionados até aqui Capítulo 1 - Exemplos

31 Trabalho Energia mecânica em trânsito entre dois corpos pela ação de uma força que provoca deslocamento. Arraste os termos relacionados até aqui Capítulo 1 - Exemplos