Capítulo 1 - Estática

Transcrição

1 Capítulo 1 - Estática 1.1. Generalidades sobre forças A Grandeza Vetorial A finalidade da Estática, parte da Mecânica Geral, é o estudo das condições nas quais um sólido ou um sistema de sólidos, submetido à ação de forças, encontrase em equilíbrio. As forças mais conhecidas são os pesos, que têm sempre sentido vertical para baixo. Uma força de direção qualquer, aplicada num sólido, pode também ser originada por um peso, conforme apresentado na Figura 1.1. Naturalmente, supõe-se que a roldana não tenha atrito e que o fio que passa sobre ela não tenha peso. ara medir forças, costuma-se utilizar dispositivos conhecidos como dinamômetros, que indicam a intensidade da força pela deformação elástica de uma mola. Todas as forças encontradas na realidade, são distribuídas: por exemplo, o peso de um corpo sobre elementos do seu volume, a pressão d água em um vaso sobre os elementos da superfície interna do mesmo e a força da Figura 1.1 sobre a seção do fio. A força concentrada, tratada na Mecânica como vetor, é uma idealização que representa em inúmeros casos a realidade com precisão suficiente, como, por exemplo, no caso da Figura 1.1, em que a espessura do fio é pequena em relação às dimensões do sólido. sólido Força roldana fio eso Figura 1.1 Força aplicada por um peso Adotando-se o SI (Sistema Internacional de Unidades), utiliza-se para as forças, a unidade N (Newton) e para comprimentos m (metro). As forças distribuídas sobre volumes terão como unidade N/m 3, e sobre áreas, N/m. Costuma-se utilizar também, como idealização de forças distribuídas sobre uma superfície em forma de faixa estreita, a força distribuída sobre uma linha, com a unidade N/m. Quanto à aplicação do cálculo vetorial ao estudo das forças concentradas, deve-se observar o seguinte: um vetor é definido pela sua direção (incluindo sentido) e seu valor absoluto, fazendo abstração da sua posição no espaço. A força, entretanto, é uma grandeza vetorial que necessita, para sua definição, além da intensidade (N), da direção e do sentido, também da indicação do ponto de aplicação. As forças podem, portanto, ser representadas apenas por vetores aplicados, não-livres Corpo Rígido Todo sólido submetido à ação de forças se deforma. Em muitos casos, a natureza do problema em estudo permite fazer abstração desta deformação,

2 chegando-se, assim, à definição de corpo rígido : capaz de receber forças sem se deformar. ara perceber algumas circunstâncias de que depende a possibilidade de idealizar corpos rígidos, consideremos os problemas da Figura 1. onde deseja-se obter as forças nos fios que suspendem um peso. No caso (a), uma simples decomposição da força em componentes nas direções dos fios resolve o problema. Supõe-se, neste cálculo, que o ponto A praticamente não se desloca pela ação do peso, ou seja, o fios são supostos inextensíveis ou corpos rígidos, como é de se esperar quando se utiliza fios de aço. α= 0 A α A aço α α A A borracha α A (a) (b) (c) Figura 1. eso suspenso por fios No caso (b), com fios de borracha, o ângulo α aumenta sensivelmente para α, devido ao carregamento, e a idealização dos fios como rígidos não pode ser mantida. Em conseqüência, o cálculo torna-se mais complicado porque do ângulo α de decomposição dependem as forças nos fios, que determinam, por sua vez, o alongamento dos mesmos e daí o ângulo final α. Uma vez conhecido este ângulo, os fios na sua forma esticada podem ser supostos rígidos. esfera A 1 A Figura 1.3 Esfera suspensa Já no caso (c), mostra-se um exemplo no qual, por ser α = 0, mesmo com um fio de aço, o alongamento deve ser considerado. Finalmente, define-se o teorema: o ponto de aplicação de uma força pode ser deslocado sobre a linha de ação dela sem alterar a contribuição da mesma para o equilíbrio do corpo rígido. Uma força aplicada num corpo rígido é, portanto, suficientemente determinada pela reta de ação, sentido e intensidade. Como ilustração do teorema, considerando-se a esfera de peso da Figura 1.3, que possui um furo central dentro do qual o fio pode ser fixado num ponto arbitrário, por exemplo, A 1 ou A. A posição deste ponto de aplicação da força não influi, naturalmente, no equilíbrio da esfera.

3 3 1.. Forças Aplicadas no Mesmo onto Trata-se aqui do caso em que as forças concentradas 1,,..., n são aplicadas no mesmo ponto, ou no mesmo corpo rígido, mas com retas de ação concorrentes neste mesmo ponto, excluindo, por enquanto, o caso em que este ponto seja impróprio forças paralelas. Deve-se estudar os seguintes problemas: esquisa da resultante de um sistema de forças; esquisa das condições que determinam o equilíbrio de um sistema de forças; Decomposição de uma força em componentes. retende-se formular as respostas de três formas diferentes: Fórmulas vetoriais; Fórmulas em coordenadas, rocessos gráficos. 1 A 1 4 R = Figura 1.4 olígono das forças A resultante é definida como a soma vetorial das forças: R = n i = Se cada força i for definida pelas componentes na direção de eixos x, y e z, ortogonais entre si, i = X i i + Yi j + Zi k, tem-se as componentes de R : R x X i ; R y Y i = n i = 1 = n i = 1 e R z Z i = n i= 1 1. com R = R = R + R + R 1.3 x y z

4 4 onde R = R é a intensidade da resultante. De maneira gráfica, obtém-se a resultante pela construção do polígono das forças. Quanto à aplicação do polígono das forças, é de notar que seu uso se torna prático apenas no caso particular de forças coplanares porque, no caso geral (espaço tri-dimensional), a construção deveria ser executada em projeções seguindo as regras da geometria descritiva; é então mais simples adotar o processo analítico, conforme a equação 1.. Uma vez estabelecidos os processos de determinação da resultante, torna-se fácil formular as condições de equilíbrio de forças aplicadas num mesmo ponto: em vetores: = 0 em coordenadas: X = 0 ; Y = 0 e Z = 0 graficamente: polígono das forças fechado Decomposição de Forças (Vetores) A seguir, tem-se a decomposição de uma dada força R em componentes segundo a direção de eixos ortogonais. Dados os vetores presentes na Figura 1.5, considerando-se que o sentido do ângulo é anti-horário, cada um dos vetores, A, B e C pode ser definido segundo suas componentes nas direções, x, y e z, respectivamente. Sendo assim, tem-se, Figura 1.5 Decomposição de vetores Rx = Ax + Bx + Cx 1.4 Ry = Ay + By + Cy e Rx = A. cosα + B cosβ + Ccosγ 1.5 Ry = A.senα + B senβ + Csenγ sendo Rx = R.cosδ 1.6 Ry = R. senδ e finalmente Ry δ = arctg 1.7 Rx Exemplo Numérico Dados: A = 3; α = 30 o B = ; β = 10 o C = 1; γ = 165 o Resolvendo, tem-se, R x = 3. cos 30 o +. cos 10 o + 1. cos 165 o R x = 3. 0, (-0,500) + 1. (-0,966) R x =,600 1,000-0,966 = 0,634

5 5 R y = 3. sen 30 o +. sen 10 o + 1. sen 165 o R y = 3. 0, (0,866) + 1. (0,59) R y = 1, ,73 + 0,59 = 3,491 R = Rx + Ry = 0, ,491 = 1,584 R = 3,547 δ 3,491 = arctg 0,634 δ = 79 o Forças Coplanares Aplicadas na Mesma Chapa Rígida Momento Estático A chapa rígida é o equivalente do corpo rígido usado em problemas planos. ara facilitar o estudo de um sistema de forças coplanares, torna-se indispensável introduzir a noção de momento estático de um força em relação a um ponto do plano das forças. O momento estático M, em relação a um ponto O, de uma força F, é definido como o produto da força F pelo braço de alavanca d, conforme apresentado na Figura 1.6. Nesta figura pode-se perceber que o dedo polegar indica o sentido do momento, enquanto os quatro dedos restantes indicam o sentido do giro. M = F. d lano a = F (reta) e o ponto 0 0 d F Figura 1.6 Momento estático A unidade do momento é força vezes comprimento, ou seja, N.m e é indicado por uma seta dupla para diferenciar do vetor força.

6 Binário Inicialmente, apresenta-se o caso de um sistema composto de duas forças paralelas que mostrará logo a utilidade do conceito do momento estático. O momento de um binário em relação a qualquer ponto do plano é igual ao produto da força pela distância entre as forças. Aplicando a definição de momento para F e F em relação ao ponto qualquer 0, tem-se, Sentido do giro 0 a d F -F M 0 = F. a F (a + d) M 0 = F. a F. a F. d M 0 = F. d lano a (sendo o sentido dado pela regra da mão direita) M 0 Figura 1.7 Binário duas forças paralelas Deslocamento de uma força pela aplicação de um binário Considera-se um corpo em equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças e de momentos. ode-se deslocar uma força paralela a si mesma mais o efeito de um binário sem alterar o equilíbrio do corpo. Seja a força F aplicada em um corpo em equilíbrio. Há no corpo outras forças não mostradas que o mantêm em equilíbrio. Ao aplicar-se sobre o corpo em equilíbrio duas forças F e F iguais e opostas, não se altera o seu equilíbrio. Admite-se que a força F é igual à força F. A força F anula-se com a força F ficando só a força F aplicada em A mais o binário M = F. d. Assim, a força F desloca-se paralelamente a si mesma, aplicada num ponto desejado, no caso o ponto A, mais um momento do binário M = F. d.