ɸ E = ΣE.A (5) 14/04/2015. Bacharelado em Engenharia Civil. Física III

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1 Bacharelado em Engenharia Civil Física III Prof a.: M.Sc. Mariana de Faria Gardingo Diniz FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO Imagine que as linhas de campo da figura abaixo representem um campo elétrico de cargas em repouso, em vez de um campo de velocidades. A definição de FLUXO ELÉTRICO é similar à de fluxo de velocidade, sendo v substituído por E em todas as etapas. Em analogia com a equação 3, defini-se o Fluxo do Campo Elétrico ɸ E como: ɸ E = ΣE.A (5) A equação 5 se aplica apenas aos casos em que E é constante em intensidade, direção e sentido para cada área A incluída no somatório. A lei de Gauss trata do fluxo de um campo elétrico através de uma superfície fechada. O fluxo de campo elétrico é uma grandeza escalar, sendo suas unidades N.m 2 /C. 1

2 Para definir ɸ E de forma mais genérica, particularmente para os casos em que E é não uniforme, iremos considerar uma superfície fechada arbitária imersa em um campo elétrico não uniforme. O sentido de ΔA é adotado como o da normal saindo da superfície. Uma vez que os quadrados são muito pequenos, E pode ser considerado constante para todos os pontos dentro de um mesmo quadrado. Observando a figura 27-2 percebemos que E e ΔA, que caracterizam cada quadrado formam um ângulo Ɵ, entre si. Como mostra a vista amplia de três quadrados em uma superfície, designados por a, b e c. Observe que em a, Ɵ > 90º (E aponta para dentro); b, Ɵ = 90º (E é paralelo à superfície; c, Ɵ < 90º (E aponta para fora). 2

3 Uma definição provisória para fluxo total do campo elétrico sobre uma superfície é, em analogia com a equação 3: ɸ = Σ E. ΔA (5) que evidencia a necessidade de se adicionar a quantidade escalar E. ΔA a todos os elementos de área foi subdividida. Se E esta orientado para fora em todos os pontos (Ɵ < 90º), cada produto E.ΔA é positivo e o ɸ E será positivo para toda a superfície. Se E esta orientado para dentro em todos os pontos (Ɵ > 90º), cada produto E.ΔA é negativo e o ɸ E será negativo para toda a superfície. Quando E for paralelo à superfície em todos os pontos (Ɵ = 90º), cada produto E.ΔA é nulo e o ɸ E será nulo para toda a superfície. A definição exata de fluxo elétrico é determinada, considerando-se no limite, a partição da superfície em elementos infinitesimais de área, representada na equação 5. Substituindo-se a soma sobre a superfície total pela integral sobre a superfície, obtém-se: ɸ E = E.ΔA (6) Esta integral de superfície indica que a superfície em questão deve ser dividida em elementos infinitesimais de área da e que a quantidade escalar E.dA deve ser calculada para elemento e somada, contemplando-se toda a área da superfície. No caso da Lei de Gauss, deseja-se calcular essa integral sobre uma superfície fechada. Neste caso, o símbolo é escrito com um círculo,, para evidenciar a diferença. 3

4 Exercício A Figura 27-3 apresenta um cilindro hipotético fechado de raio R imerso em um campo elétrico uniforme E, sendo o eixo longitudinal do cilindro paralelo ao campo. Qual é o valor de ɸ E para esta superfície fechada? FLUXO E LINHAS DE CAMPO Para ilustrar a relação entre fluxo e número de linhas de campo elétrico atravessando uma superfície fechada, admite-se que cada unidade de carga é representada por um número específico de linhas de campo. Seis linhas de campo apontam para fora de uma carga +q e seis linhas de campo apontam para dentro de uma carga q. Se cada carga for envolvida por uma superfície fechada, então o fluxo elétrico através da superfície envolvendo uma carga positiva será +6 unidades, e o fluxo através da superfície envolvendo a carga negativa terá -6 unidades. Conta-se +1 unidade arbitrária de fluxo para as linhas de campo que atravessam a superfície saindo; E -1 unidade, para as linhas de campo que atravessam a superfície entrado. Não importa o tamanho da superfície que envolve cada carga, pequena ou grande, haverá sempre seis linhas de campo que atravessam e o fluxo será de seis unidades. 4

5 Observe a figura ao lado, onde a linha de campo da parte inferior atravessa a superfície três vezes. A RELAÇÃO ENTRE O FLUXO TOTAL ATRAVÉS DE UMA SUPERFÍCIE FECHADA E A CARGA RESULTANTE ENVOLVIDA POR ELA É SEMPRE VÁLIDA, CONTUDO ESTA RELAÇÃO SÓ PODE SER USADA PARA DETERMINAR O CAMPO ELÉTRICO EM PONTOS DO ESPAÇO, SE A GEOMETRIA DA CARGA E DA SUPERFÍCIE TIVEREM ELEVADO GRAU DE SIMETRIA. A LEI DE GAUSS Conceito: O FLUXO ELÉTRICO QUE ATRAVESSA QUALQUER SUPERFÍCIE FECHADA É IGUAL À CARGA TOTAL ENVOLVIDA POR ESSA SUPERFÍCIE. ɛ 0 ɸ E = q Ɛ 0 E.dA = q A figura ao lado mostra as linhas de força (e, assim, as linhas do campo elétrico) de um dipolo. Foram desenhadas 4 superfícies gaussianas fechadas. Na superfície S 1, o campo elétrico aponta para fora em todos os pontos e tem-se o mesmo caso do elemento de superfície c da figura já vista em outras aulas. Assim E.dA é positivo em todos os pontos de S 1. 5

6 Quanto a superfície S 2, o campo elétrico ao contrário do caso anterior, penetra na superfície em todos os pontos, como acontece com o elemento de superfície a da figura já vista em outras aulas. A superfície S 3, não envolve nenhuma carga e, de acordo com a Lei de Gauss, o fluxo total através da superfície deve ser nulo. Neste caso E.dA é negativo para cada elemento de áera. A superfície S 4, também não envolve nenhuma carga resultante, uma vez que se admitiu a mesma intensidade para as duas cargas. Toda linha de campo que sai da carga positiva termina, eventualmente, na carga negativa. A Lei de Gauss e lei de Coulomb A Lei de Coulomb pode ser deduzida da Lei de Gauss a partir de considerações de simetria. Para deduzi-la, a Lei de Gauss será aplicada a uma carga pontual positiva isolada +q, conforme mostra a figura a seguir. Apesar da Lei de Gauss ser válida para qualquer superfície arbitrária, escolheuse uma superfície esférica de raio r, centrada na carga. A vantagem desta superfície esférica é que, da simetria, E deve ser perpendicular a ela, e o ângulo Ɵ entre E e da é nulo para qualquer ponto da superfície. 6

7 CONSTRUIR UMA SUPERFÍCIE GAUSSIANA QUE APROVEITE A SIMETRIA É DE VITAL IMPORTÂNCIA PARA A APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS. Na fig tanto E quanto da apontam radialmente para fora em qualquer ponto da superfície e assim a quantidade E.dA tornase somente EdA. A lei de Gauss reduz-se então à forma: Ɛ 0 E.dA = Ɛ 0 E.dA = q APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS A Lei de Gauss pode ser usada para calcular E se existir uma elevada simetria da distribuição de carga. Um exemplo deste cálculo, o campo de uma carga pontual, acabou de ser discutido, outros exemplos serão dados a partir de agora. Linha Infinita de Carga A figura a seguir apresenta uma seção de uma linha infinita de carga com uma intensidade linear (valor de carga por unidade de comprimento), positiva e constante λ. Deseja-se calcular o campo elétrico a uma distância r da linha. E é constante ao longo de toda superfície cilíndrica e perpendicular a ela. O fluxo de E através desta superfície é E(2πrh), onde 2πrh é a área da superfície. Não há fluxo através das tampas porque, nessa região, E é paralelo à superfície em cada ponto, então E.dA = 0 em qualquer ponto das tampas. A carga q envolvida pela superfície gaussiana da figura anterior mostrada é λh. 7

8 A Lei de Gauss determina que Ɛ 0 E.dA = q Ɛ 0 E(2πrh) = λh E = λ/2πɛ 0 r A LEI DE GAUSS TEM A PROPRIEDADE DE OFERECER UMA TÉCNICA DE CÁLCULO MUITO ÚTIL, DESDE QUE O PROBLEMA APRESENTE UM CERTO GRAU DE SIMETRIA E, NESSES CASOS, A SOLUÇÃO É, DE FATO, MUITO SIMPLES. Plano Infinito de Cargas A figura a seguir mostra uma parte de uma placa fina, não-condutora e infinita de carga, com densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área) constante e positiva. Uma superfície gaussiana conveniente para o problema é a de um cilindro fechado com seção transversal de área A, disposta de modo a transpassar a placa conforme mostra a figura. Devido a simetria, pode-se concluir que E aponta para fora dos planos das extremidades do cilindro, perpendicularmente a eles. Uma vez que E não atravessa a superfície lateral do cilindro, não há contribuição desta área lateral para o fluxo. Pode-se admitir que as extremidades do cilindro estão equidistantes da placa de carga. Da simetria, o campo tem a mesma intensidade nas extremidades do cilindro. O fluxo através de cada extremidade é EA, sendo positivo para ambas. 8

9 A Lei de Gauss determina que: ɛ 0 E.dA = q ɛ 0 (EA + EA) = σa Onde σa é a carga envolvida. Resolvendo a equação para E, Uma esfera condutora de 10 cm de raio possui uma carga de valor desconhecido. Sabendo-se que o campo elétrico à distância de 15 cm do centro da esfera tem módulo igual a 3 x 10 3 N/C e aponta radialmente para dentro, qual é carga líquida sobre a esfera? E = σ / 2ɛ 0 Observe que E é o mesmo para todos os pontos em cada lado da placa. Uma esfera metálica de parede fina tem um raio de 25 cm e uma carga de 2 x 10-7 C. Determine E para um ponto (a) dentro da esfera, (b) imediatamente fora da esfera e (c) a 3 m do centro da esfera. A figura a seguir mostra uma seção através de um tubo longo metálico, cujas paredes são finas. O tubo tem um raio R e uma carga por unidade de comprimento λ sobre a sua superfície. Obtenha expressões para E em função da distância r ao eixo do tubo, considerando que λ = 2 x 10-8 C/m e R = 3 cm. DISTRIBUIÇÃO DE CARGA COM SIMETRIA ESFÉRICA Nesse caso, a carga é distribuída em torno do volume esférico. Uma seção transversal de uma distribuição esfericamente simétrica de carga, na qual a densidade de carga volumétrica pode variar com r, neste material admitido como nãocondutor. Qualquer distribuição de carga com simetria esférica como mostrado anteriormente, pode ser considerado como trama de cascas finas concêntricas. 9

10 Aplicando-se a Lei de Gauss à superfície S 1, para caso de r > R, temos: ɛ 0 E r (4πr 2 ) = q Ou Aplicando-se a Lei de Gauss à superfície S 2, para caso de r < R, temos: E r = 0 Porque a S 2 não envolve nenhuma carga. E r = 1/4πɛ 0. q/r 2 (CASCA ESFÉRICA, r > R) A densidade de carga no volume ρ pode variar de uma casca para a seguinte, mas as cascas podem ser consideradas tão finas que se possa admitir ρ uniforme em cada casca em particular. Será calculado agora a componente radial do campo elétrico em pontos que estejam a uma distância r maior do que o raio R da esfera. Cada casca concêntrica, com uma carga dq, contribui com uma componente radial de r, para o campo elétrico. A soma para todas as cascas fornece: E r = de r = ¼πɛ 0. dq/r 2 ou E r = ¼πɛ 0. q/r 2 Onde q é a carga total da esfera. O campo elétrico será analisado agora, para pontos interiores à distribuição de cargas, com r < R, a Lei de Gauss leva a: ɛ 0 E.dA = ɛ 0 E r (4πr 2 ) = q ou E r = ¼πɛ 0. q /r 2 Onde q é a parte contida na esfera de raio r. 10

11 Para pontos no interior de uma esfera uniformemente carregada a fração de carga dentro de r é igual à fração de volume interior a r e, então: Para dar seguimento ao calculo deve-se conhecer a carga q que está dentro da esfera de raio r, isto é, deve-se conhecer ρ(r). Onde 4/3πR 3 carga. q /q = 4/3πr 3 / 4/3πR 3 ou q = q (r/r) 3 é o volume da distribuição esférica de A expressão para E r torna-se então: E r = ¼πɛ 0. qr/r 3 11