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1 Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1, y 1, z 1 ), P = (x, y, z ) e P = (x, y, z ) estão alinhados se os vetores P 1 P e P 1 P forem paralelos. Do contrário, P 1, P e P determinam um triângulo. Assim, P 1, P e P estão alinhados se, e somente se, P 1 P P 1 P = 0. Posição relativa entre ponto e reta Consideremos um ponto Q = (x 1, y 1, z 1 ) e uma reta r : X = P + t r, t R. Se existeum parâmetro t 0 x = x 0 + tr 1 para o qual Q = P + t 0 r, então o ponto Q pertence à reta r. Em outras palavras, se y = y 0 + tr, z = z 0 + tr x 1 = x 0 + t 0 r 1 t R é a equação paramétrica da reta r, o ponto Q r y 1 = y 0 + t 0 r para algum parâmetro z 1 = z 0 + t 0 r t 0 R. Posição relativa entre ponto e plano Consideremos um ponto P = (x 0, y 0, z 0 ) e um plano π : ax + by + cz + d = 0. P π ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0. Posição relativa entre duas retas Sejam r : X = P + λ r e s : X = Q + µ s duas retas. As retas são paralelas se, e somente se, os vetores diretores r e s são paralelos. Caso contrário, as retas podem ser concorrentes quando r s = {ponto} ou reversas quando r s =. Exemplos: x = 1 + λ x = µ 1) Sejam r : y = 1 + λ, λ R e s : y = µ, µ R duas retas. Note que os vetores diretores z = λ z = µ r = (1,, 1) e s = (, 1, ) não são paralelos. Portanto as retas podem ser concorrentes ou reversas. Verifiquemos se existem um ponto de r e s em comum. Para tanto igualamos as coordenadas dos pontos das retas: 1 + λ = µ, 1 + λ = µ e λ = µ. Da primeira equação λ = 1 + µ. Substituindo na segunda obtemos 1 + 4µ = µ, isto é, µ = 1 e portanto λ = 1. Porém a última equação não se verifica com esses valores. Portanto as retas não possuem nenhum ponto em comum, logo r e s são reversas. ) Um par de retas reversas possui uma reta perpendicular a ambas. Para ver isso no caso das retas r e s do exemplo anterior, considere o plano π que passa pelo ponto (1, 1, 0) da reta r e tem a direção dos vetores r e η = r s = (1,, 1) (, 1, ) = (, 0, ). Uma equação de π é dada pelo determinante x 1 y 1 z 1 1 = 6(x 1) + 6(y 1) + 6z = 0. 0 A reta s fura o plano π : x y z = 0 num ponto, digamos M, e a reta perpendicular procurada é a reta que passa por M e tem a direção do vetor η. Para determinar as coordenadas de M basta substituir as coordenadas dos pontos da reta s na equação geral de π. Ou seja, µ µ + µ = 0, e portanto µ = 0. Logo, Q = (0, 0, 0). Assim a reta procurada tem equação X = (0, 0, 0) + t(, 0, ); t R. 1

2 r P s s M Em geral, a direção da reta perpendicular às retas reversas r e s é o produto vetorial dos vetores diretores r s. Para determinar a equação da reta perpendicular falta determinar um ponto. Este ponto é obtido como interseção da reta s com o plano que tem a direção do vetor r s e contém a reta r. Posição relativa entre reta e plano Sejam r a reta de equação paramétrica x = x 0 + tr 1 y = y 0 + tr z = z 0 + tr, t R e π o plano de equação geral ax + by + cz + d = 0. Substituindo-se as coordenadas dos pontos da reta r na equação geral do plano π obtemos a equação a(x 0 + tr 1 ) + b(y 0 + tr ) + c(z 0 + tr ) + d = 0, na variável t. Tal equação pode ter três tipos de solução, a saber: (i) uma única solução t = t 0, neste caso a reta fura o plano no ponto de coordenadas (x 0 + t 0 r 1, y 0 + t 0 r, z 0 + t 0 r ), (ii) infinitas soluções, neste caso a reta r está contida no plano π ou (iii) não existe solução, neste caso a reta é paralela ao plano. Os casos (ii) e (iii) são caracterizados pelo produto escalar do vetor diretor r = (r 1, r, r ) da reta e o vetor normal η = (a, b, c) do plano se anular, isto é, η r = 0, enquanto o caso (i) é caracterizado pelo oposto, isto é, η r 0. Posição relativa entre planos Sejam π 1 e π dois planos dados pelas equações gerais a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d = 0 respectivamente. Podemos ter: (i) π 1 e π paralelos, quando os vetores normais η 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e η = (a, b, c ) são paralelos, ou seja, existe um escala α tal que η 1 = α η. Se além disso, d 1 = αd então π 1 = π. (ii) Caso contrário π 1 e π se interceptam numa reta. Essa reta tem direção dada pelo produto vetorial η 1 η. Um ponto por onde passa essa reta tem coordenadas que verificam as duas equações gerais. Exemplo: Sejam π 1 : x y = 0 e π : x y z 1 = 0 dois planos. Os vetores normais η 1 = (1, 1, 0) e η = (1,, 1) não são paralelos. Portanto os planos se interceptam numa reta. Seja r = π 1 π. A direção de r é dada pelo vetor η 1 η = (1, 1, 1). Os pontos de π 1 têm coordenadas x = y. Substituindo na equação do plano π obtemos y z 1 = 0. Portanto z = y 1. Assim, um ponto comum aos dois planos é por exemplo, P = (0, 0, 1). Logo a reta r interseção dos dois planos tem equação r : X = (0, 0, 1) + t(1,, 1), t R. Observação: Sejam π 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0, π : a x+b y+c z+d = 0 e π : a x+b y+c z+d = 0 três planos distintos. Então três possibilidades se apresentam, a saber, π 1 π π =, π 1 π π = {ponto} ou π 1 π π = {reta}. De fato, vamos analisar geometricamente as várias possibilidades: 1) Os três planos π 1, π e π são paralelos. Neste caso eles não têm ponto em comum. π 1 π π =. ) Apenas dois planos são paralelos. Neste caso, o terceiro plano corta os dois ao longo de retas (paralelas). π 1 π π =. ) Nenhum par de planos é paralelo. Seja r = π 1 π.

3 Se a reta r está contida no terceiro plano π então a interseção π 1 π π é a reta r. Neste caso, diz-se que os três planos constituem um feixe de planos. Se a reta r é paralela ao terceiro plano π então π intercepta os outros dois planos ao longo de retas (paralelas) e portanto π 1 π π =. Se a reta r é concorrente com o plano π, r π = {P } então a interseção π 1 π π é o ponto P. Analiticamente, sejam η i = (a i, b i, c i ), i = 1,, vetores normais aos planos π i, i = 1,,. Se o vetor η1 η for não nulo então π 1 π é uma reta e se η1 η η = 0 então π 1 π π = {reta}, caso contrário, um ponto. Ou seja, (i) Se o produto vetorial de quaisquer dois dos vetores normais for não nulo então se o produto misto dos vetores normais for nulo a interseção dos três planos é uma reta. Se o produto misto dos vetores normais for não nulo a interseção dos três planos é um ponto. (ii) Se o produto vetorial de quaisquer dois dos vetores normais for nulo então a interseção dos três planos é vazio.. Distâncias Distância entre pontos Dados dois pontos P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P = (x, y, z ) a distância entre eles é o número d(p 1, P ) = P 1 P. Dados três pontos alinhados P 1, P e P dizemos que P é o simétrico de P 1 em relação a P se d(p 1, P ) = d(p, P ). Distância entre ponto e reta Dados um ponto P = (x 0, y 0, z 0 ) e uma reta r a distância entre P e r é o número d(p, r) = P Q, onde o ponto Q é o pé da (única) perpendicular à reta r passando pelo ponto P. P A Q r Seja r : X = A + t r, t R uma equação vetorial da reta r. A área do triângulo retângulo AP Q é igual a AP AQ. Por outro lado, este triângulo tem base AQ e altura igual a d(p, r). Logo, AP AQ = d(p, r) AQ Portanto, d(p, r) = AP AQ. AQ Finalmente, como A e Q são pontos da reta r então AQ = t 0 r, para algum t0 R. Se t 0 = 0 então A = Q e d(p, r) = d(a, P ). Supondo t 0 0 temos: d(p, r) = AP t 0 r t = t 0 AP r 0 r t 0 r = AP r. r Observação: No plano de coordenadas x e y (ou seja, quando z = 0) a equação da reta r reduz-se x = x 1 + tr 1 a y = y 1 + tr, t R. E, como vimos (observação 6, página ), a reta pode ser escrita na forma z = 0 ax + by + c = 0 (equação geral) com a b = r r 1. Em outras palavras, o vetor de componentes ( b, a, 0) é um vetor diretor da reta r. Assim, aplicando a fórmula acima, a distância de um ponto P = (x 0, y 0, 0) à reta r é

4 4 d(p, r) = (x 0 x 1 ), (y 0 y 1 ), 0) ( b, a, 0) ( b, a, 0) = ax 0 + by 0 ax 1 by 1 (a + b ) = ax 0 + by 0 + c. (a + b ) Dados dois pontos P 1 e P e uma reta r, dizemos que P é o simétrico de P 1 em relação a r se a reta determinada pelos pontos P 1 e P é perpendicular à reta r e d(p 1, r) = d(p, r). Distância entre ponto e plano Sejam P = (x 0, y 0, z 0 ) um ponto e π : ax + by + cz + d = 0 um plano. A distância de P a π é o número d(p, π) = d(p, Q), onde Q é o ponto do plano π interseção da reta perpendicular a π passando por P. Seja A = (x 1, y 1, z 1 ) um ponto qualquer do plano π. Então d(p, π) é o módulo da projeção ortogonal do vetor AP sobre o vetor normal η = (a, b, c). Calculando-se a projeção ortogonal e tomando-se o módulo obtemos: d(p, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a + b + c. Dados dois pontos P 1 e P e um plano π, dizemos que P é o simétrico de P 1 em relação a π se a reta determinada pelos pontos P 1 e P é perpendicular ao plano π e d(p 1, π) = d(p, π). Distância entre duas retas Sejam r e s duas retas. Se r e s são paralelas então d(r, s) = d(p, s), onde P r é um ponto qualquer. Se r e s são concorrentes então d(r, s) = 0. Se r e s são reversas então d(r, s) = d(p, Q), sendo P r e Q s e o segmento P Q é o segmento perpendicular comum às retas reversas. Dadas três retas paralelas r, s e t, dizemos que t é a reta simétrica de r em relação a s se as três retas são coplanares e d(r, s) = d(t, s). Distância entre uma reta e um plano Sejam r uma reta e π um plano. Se r e π são paralelos então d(r, π) = d(p, π), onde P r é um ponto qualquer. Se r e π são concorrentes então d(r, π) = 0. Distância entre dois planos Sejam π 1 e π dois planos. Se π 1 e π são concorrentes então d(π 1, π ) = 0. Se π 1 e π são paralelos então d(π 1, π ) = d(p, π ), onde P π 1 é um ponto qualquer. Exemplo: A distância entre os planos paralelos π 1 : x+y +z +1 = 0 e π : x+y +z = 0 é a distância entre, por exemplo, o ponto P = (0, 0, 1) e o plano π. Portanto, d(π 1, π ) = d(p, π ) = 1 =. Observação: Os planos π 1 : ax + by + cz + d 1 = 0 e π : ax + by + cz + d = 0 são paralelos porém d(π 1, π ) d 1 d.. Ângulos Ângulo entre duas retas Sejam r : X = P + λ r, λ R e s : X = Q + µ s, µ R duas retas. O ângulo entre r e s é o ângulo agudo (entre 0 e π ) entre as retas. Assim, o ângulo entre as retas r e s será o ângulo entre os vetores diretores r e s ou entre r e s. Observações: 1) Seja θ o ângulo entre as retas r e s. Sejam u = r e v = s r vetores diretores unitários de r e s. s Então cos(θ) = u. v.

5 ) Nos casos extremos, quando o ângulo entre as retas for igual a 0 ou π temos denominações específicas para a posição relativa entre duas retas. Se o ângulo entre as retas r e s for igual a zero e r s = então as retas são ditas paralelas, caso contrário, se r s as retas são coincidentes. Se o ângulo entre as retas r e s for igual a π e r s = então as retas (reversas) são ditas ortogonais, caso contrário, se r s as retas são ditas perpendiculares (concorrentes). Ângulo entre uma reta e um plano Sejam r uma reta e π um plano. Seja θ o ângulo entre a reta r e uma reta normal ao plano π. O ângulo entre r e π é igual a π θ. Observação: Nos casos extremos, quando o ângulo entre uma reta e um plano for igual a 0 ou π temos denominações específicas para a posição relativa entre eles. Se o ângulo entre a reta r e o plano π for igual a zero e r π = então a reta é paralela ao plano π, caso contrário, se r π a reta está contida no plano. Se o ângulo entre a reta r e o plano π for igual a π então r é perpendicular ao plano π, também chamada reta normal ao plano. Ângulo entre dois planos Sejam π 1 e π dois planos. O ângulo entre π 1 e π é o ângulo entre retas normais a π 1 e π. Observações: Nos casos extremos, quando o ângulo entre planos for igual a 0 ou π temos denominações específicas para a posição relativa entre dois planos. Se o ângulo entre os planos π 1 e π for igual a zero e π 1 π = então os planos são ditos paralelos, caso contrário, se π 1 π os planos são coincidentes. Se o ângulo entre os planos π 1 e π for igual a π então os planos são ditos perpendiculares. Exercícios 1) Considere as retas r : X = (1, 1, )+λ(0, 1, 1); λ R, s : X = (0, 1, 1)+µ(1, 0, 1); µ R e t : (x+z = 0) (x y + z 1 = 0) (interseção de dois planos.) Mostre que existe um único ponto comum a essas três retas. Calcule o volume do tetraedro determinado por elas e pelo plano π : x + y z = 0. [15-14] ) Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos: (a) r : X = (1, 1, 1) + λ(, 1, 1); λ R e s : (y + z = ) (x + y z = 6). (b) r : (x y z = ) (x + y z = 0) e s : (x y + z 5 = 0) (x + y z = 0). (c) r : (x + 1)/ = y/ = (z + 1)/ e s : (0, 0, 0) + λ(1,, 0); λ R. [16-1] ) Obtenha uma equação paramétrica da reta perpendicular comum às retas r e s no seguintes casos: (a) r : X = (, 0, 1) + λ(1, 1, 1); λ R e s : x + y = z = 0. (b) r : X = (4,, ) + λ(, 1, ); λ R e s : x = y = z. [17-7] 4) Calcule a distância do ponto de interseção das retas r : X = (1,, 4) + λ(1,, ); λ R e s : X = (1, 1, 0) + µ( 1, 0, 1); µ R ao plano determinado pelas retas t : X = (0, 1, 0) + α(0, 6, 1); α R e h : x = y 6z + 8 = x. [0-] 5) Obtenha um vetor diretor da reta que é paralela ao plano x + y + z = 0 e forma ângulo de π/4 com o plano x y = 0. [19-0] 6) Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem (0, 0, 0) e forma ângulo de π/ com a reta r : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1); λ R e com o plano x y 4 = 0. [19-0] 7) Uma fonte luminosa situada no ponto F = (0, 0, 1) emite um raio na direção do ponto A = (1, 1, 0) o qual é refletido por um espelho contido no plano y =. Determine o ponto do plano y = onde o raio incide e o ponto do plano y = 0 atingido pelo raio refletido. [19-1] 8) Obtenha a equação geral do plano que contém a reta r : X = (1, 0, )+λ(4, 1, 0); λ R e é perpendicular ao plano x + y + z = 0. [17-] 5

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