Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont."

Transcrição

1 Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1, y 1, z 1 ), P = (x, y, z ) e P = (x, y, z ) estão alinhados se os vetores P 1 P e P 1 P forem paralelos. Do contrário, P 1, P e P determinam um triângulo. Assim, P 1, P e P estão alinhados se, e somente se, P 1 P P 1 P = 0. Posição relativa entre ponto e reta Consideremos um ponto Q = (x 1, y 1, z 1 ) e uma reta r : X = P + t r, t R. Se existeum parâmetro t 0 x = x 0 + tr 1 para o qual Q = P + t 0 r, então o ponto Q pertence à reta r. Em outras palavras, se y = y 0 + tr, z = z 0 + tr x 1 = x 0 + t 0 r 1 t R é a equação paramétrica da reta r, o ponto Q r y 1 = y 0 + t 0 r para algum parâmetro z 1 = z 0 + t 0 r t 0 R. Posição relativa entre ponto e plano Consideremos um ponto P = (x 0, y 0, z 0 ) e um plano π : ax + by + cz + d = 0. P π ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0. Posição relativa entre duas retas Sejam r : X = P + λ r e s : X = Q + µ s duas retas. As retas são paralelas se, e somente se, os vetores diretores r e s são paralelos. Caso contrário, as retas podem ser concorrentes quando r s = {ponto} ou reversas quando r s =. Exemplos: x = 1 + λ x = µ 1) Sejam r : y = 1 + λ, λ R e s : y = µ, µ R duas retas. Note que os vetores diretores z = λ z = µ r = (1,, 1) e s = (, 1, ) não são paralelos. Portanto as retas podem ser concorrentes ou reversas. Verifiquemos se existem um ponto de r e s em comum. Para tanto igualamos as coordenadas dos pontos das retas: 1 + λ = µ, 1 + λ = µ e λ = µ. Da primeira equação λ = 1 + µ. Substituindo na segunda obtemos 1 + 4µ = µ, isto é, µ = 1 e portanto λ = 1. Porém a última equação não se verifica com esses valores. Portanto as retas não possuem nenhum ponto em comum, logo r e s são reversas. ) Um par de retas reversas possui uma reta perpendicular a ambas. Para ver isso no caso das retas r e s do exemplo anterior, considere o plano π que passa pelo ponto (1, 1, 0) da reta r e tem a direção dos vetores r e η = r s = (1,, 1) (, 1, ) = (, 0, ). Uma equação de π é dada pelo determinante x 1 y 1 z 1 1 = 6(x 1) + 6(y 1) + 6z = 0. 0 A reta s fura o plano π : x y z = 0 num ponto, digamos M, e a reta perpendicular procurada é a reta que passa por M e tem a direção do vetor η. Para determinar as coordenadas de M basta substituir as coordenadas dos pontos da reta s na equação geral de π. Ou seja, µ µ + µ = 0, e portanto µ = 0. Logo, Q = (0, 0, 0). Assim a reta procurada tem equação X = (0, 0, 0) + t(, 0, ); t R. 1

2 r P s s M Em geral, a direção da reta perpendicular às retas reversas r e s é o produto vetorial dos vetores diretores r s. Para determinar a equação da reta perpendicular falta determinar um ponto. Este ponto é obtido como interseção da reta s com o plano que tem a direção do vetor r s e contém a reta r. Posição relativa entre reta e plano Sejam r a reta de equação paramétrica x = x 0 + tr 1 y = y 0 + tr z = z 0 + tr, t R e π o plano de equação geral ax + by + cz + d = 0. Substituindo-se as coordenadas dos pontos da reta r na equação geral do plano π obtemos a equação a(x 0 + tr 1 ) + b(y 0 + tr ) + c(z 0 + tr ) + d = 0, na variável t. Tal equação pode ter três tipos de solução, a saber: (i) uma única solução t = t 0, neste caso a reta fura o plano no ponto de coordenadas (x 0 + t 0 r 1, y 0 + t 0 r, z 0 + t 0 r ), (ii) infinitas soluções, neste caso a reta r está contida no plano π ou (iii) não existe solução, neste caso a reta é paralela ao plano. Os casos (ii) e (iii) são caracterizados pelo produto escalar do vetor diretor r = (r 1, r, r ) da reta e o vetor normal η = (a, b, c) do plano se anular, isto é, η r = 0, enquanto o caso (i) é caracterizado pelo oposto, isto é, η r 0. Posição relativa entre planos Sejam π 1 e π dois planos dados pelas equações gerais a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d = 0 respectivamente. Podemos ter: (i) π 1 e π paralelos, quando os vetores normais η 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e η = (a, b, c ) são paralelos, ou seja, existe um escala α tal que η 1 = α η. Se além disso, d 1 = αd então π 1 = π. (ii) Caso contrário π 1 e π se interceptam numa reta. Essa reta tem direção dada pelo produto vetorial η 1 η. Um ponto por onde passa essa reta tem coordenadas que verificam as duas equações gerais. Exemplo: Sejam π 1 : x y = 0 e π : x y z 1 = 0 dois planos. Os vetores normais η 1 = (1, 1, 0) e η = (1,, 1) não são paralelos. Portanto os planos se interceptam numa reta. Seja r = π 1 π. A direção de r é dada pelo vetor η 1 η = (1, 1, 1). Os pontos de π 1 têm coordenadas x = y. Substituindo na equação do plano π obtemos y z 1 = 0. Portanto z = y 1. Assim, um ponto comum aos dois planos é por exemplo, P = (0, 0, 1). Logo a reta r interseção dos dois planos tem equação r : X = (0, 0, 1) + t(1,, 1), t R. Observação: Sejam π 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0, π : a x+b y+c z+d = 0 e π : a x+b y+c z+d = 0 três planos distintos. Então três possibilidades se apresentam, a saber, π 1 π π =, π 1 π π = {ponto} ou π 1 π π = {reta}. De fato, vamos analisar geometricamente as várias possibilidades: 1) Os três planos π 1, π e π são paralelos. Neste caso eles não têm ponto em comum. π 1 π π =. ) Apenas dois planos são paralelos. Neste caso, o terceiro plano corta os dois ao longo de retas (paralelas). π 1 π π =. ) Nenhum par de planos é paralelo. Seja r = π 1 π.

3 Se a reta r está contida no terceiro plano π então a interseção π 1 π π é a reta r. Neste caso, diz-se que os três planos constituem um feixe de planos. Se a reta r é paralela ao terceiro plano π então π intercepta os outros dois planos ao longo de retas (paralelas) e portanto π 1 π π =. Se a reta r é concorrente com o plano π, r π = {P } então a interseção π 1 π π é o ponto P. Analiticamente, sejam η i = (a i, b i, c i ), i = 1,, vetores normais aos planos π i, i = 1,,. Se o vetor η1 η for não nulo então π 1 π é uma reta e se η1 η η = 0 então π 1 π π = {reta}, caso contrário, um ponto. Ou seja, (i) Se o produto vetorial de quaisquer dois dos vetores normais for não nulo então se o produto misto dos vetores normais for nulo a interseção dos três planos é uma reta. Se o produto misto dos vetores normais for não nulo a interseção dos três planos é um ponto. (ii) Se o produto vetorial de quaisquer dois dos vetores normais for nulo então a interseção dos três planos é vazio.. Distâncias Distância entre pontos Dados dois pontos P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P = (x, y, z ) a distância entre eles é o número d(p 1, P ) = P 1 P. Dados três pontos alinhados P 1, P e P dizemos que P é o simétrico de P 1 em relação a P se d(p 1, P ) = d(p, P ). Distância entre ponto e reta Dados um ponto P = (x 0, y 0, z 0 ) e uma reta r a distância entre P e r é o número d(p, r) = P Q, onde o ponto Q é o pé da (única) perpendicular à reta r passando pelo ponto P. P A Q r Seja r : X = A + t r, t R uma equação vetorial da reta r. A área do triângulo retângulo AP Q é igual a AP AQ. Por outro lado, este triângulo tem base AQ e altura igual a d(p, r). Logo, AP AQ = d(p, r) AQ Portanto, d(p, r) = AP AQ. AQ Finalmente, como A e Q são pontos da reta r então AQ = t 0 r, para algum t0 R. Se t 0 = 0 então A = Q e d(p, r) = d(a, P ). Supondo t 0 0 temos: d(p, r) = AP t 0 r t = t 0 AP r 0 r t 0 r = AP r. r Observação: No plano de coordenadas x e y (ou seja, quando z = 0) a equação da reta r reduz-se x = x 1 + tr 1 a y = y 1 + tr, t R. E, como vimos (observação 6, página ), a reta pode ser escrita na forma z = 0 ax + by + c = 0 (equação geral) com a b = r r 1. Em outras palavras, o vetor de componentes ( b, a, 0) é um vetor diretor da reta r. Assim, aplicando a fórmula acima, a distância de um ponto P = (x 0, y 0, 0) à reta r é

4 4 d(p, r) = (x 0 x 1 ), (y 0 y 1 ), 0) ( b, a, 0) ( b, a, 0) = ax 0 + by 0 ax 1 by 1 (a + b ) = ax 0 + by 0 + c. (a + b ) Dados dois pontos P 1 e P e uma reta r, dizemos que P é o simétrico de P 1 em relação a r se a reta determinada pelos pontos P 1 e P é perpendicular à reta r e d(p 1, r) = d(p, r). Distância entre ponto e plano Sejam P = (x 0, y 0, z 0 ) um ponto e π : ax + by + cz + d = 0 um plano. A distância de P a π é o número d(p, π) = d(p, Q), onde Q é o ponto do plano π interseção da reta perpendicular a π passando por P. Seja A = (x 1, y 1, z 1 ) um ponto qualquer do plano π. Então d(p, π) é o módulo da projeção ortogonal do vetor AP sobre o vetor normal η = (a, b, c). Calculando-se a projeção ortogonal e tomando-se o módulo obtemos: d(p, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a + b + c. Dados dois pontos P 1 e P e um plano π, dizemos que P é o simétrico de P 1 em relação a π se a reta determinada pelos pontos P 1 e P é perpendicular ao plano π e d(p 1, π) = d(p, π). Distância entre duas retas Sejam r e s duas retas. Se r e s são paralelas então d(r, s) = d(p, s), onde P r é um ponto qualquer. Se r e s são concorrentes então d(r, s) = 0. Se r e s são reversas então d(r, s) = d(p, Q), sendo P r e Q s e o segmento P Q é o segmento perpendicular comum às retas reversas. Dadas três retas paralelas r, s e t, dizemos que t é a reta simétrica de r em relação a s se as três retas são coplanares e d(r, s) = d(t, s). Distância entre uma reta e um plano Sejam r uma reta e π um plano. Se r e π são paralelos então d(r, π) = d(p, π), onde P r é um ponto qualquer. Se r e π são concorrentes então d(r, π) = 0. Distância entre dois planos Sejam π 1 e π dois planos. Se π 1 e π são concorrentes então d(π 1, π ) = 0. Se π 1 e π são paralelos então d(π 1, π ) = d(p, π ), onde P π 1 é um ponto qualquer. Exemplo: A distância entre os planos paralelos π 1 : x+y +z +1 = 0 e π : x+y +z = 0 é a distância entre, por exemplo, o ponto P = (0, 0, 1) e o plano π. Portanto, d(π 1, π ) = d(p, π ) = 1 =. Observação: Os planos π 1 : ax + by + cz + d 1 = 0 e π : ax + by + cz + d = 0 são paralelos porém d(π 1, π ) d 1 d.. Ângulos Ângulo entre duas retas Sejam r : X = P + λ r, λ R e s : X = Q + µ s, µ R duas retas. O ângulo entre r e s é o ângulo agudo (entre 0 e π ) entre as retas. Assim, o ângulo entre as retas r e s será o ângulo entre os vetores diretores r e s ou entre r e s. Observações: 1) Seja θ o ângulo entre as retas r e s. Sejam u = r e v = s r vetores diretores unitários de r e s. s Então cos(θ) = u. v.

5 ) Nos casos extremos, quando o ângulo entre as retas for igual a 0 ou π temos denominações específicas para a posição relativa entre duas retas. Se o ângulo entre as retas r e s for igual a zero e r s = então as retas são ditas paralelas, caso contrário, se r s as retas são coincidentes. Se o ângulo entre as retas r e s for igual a π e r s = então as retas (reversas) são ditas ortogonais, caso contrário, se r s as retas são ditas perpendiculares (concorrentes). Ângulo entre uma reta e um plano Sejam r uma reta e π um plano. Seja θ o ângulo entre a reta r e uma reta normal ao plano π. O ângulo entre r e π é igual a π θ. Observação: Nos casos extremos, quando o ângulo entre uma reta e um plano for igual a 0 ou π temos denominações específicas para a posição relativa entre eles. Se o ângulo entre a reta r e o plano π for igual a zero e r π = então a reta é paralela ao plano π, caso contrário, se r π a reta está contida no plano. Se o ângulo entre a reta r e o plano π for igual a π então r é perpendicular ao plano π, também chamada reta normal ao plano. Ângulo entre dois planos Sejam π 1 e π dois planos. O ângulo entre π 1 e π é o ângulo entre retas normais a π 1 e π. Observações: Nos casos extremos, quando o ângulo entre planos for igual a 0 ou π temos denominações específicas para a posição relativa entre dois planos. Se o ângulo entre os planos π 1 e π for igual a zero e π 1 π = então os planos são ditos paralelos, caso contrário, se π 1 π os planos são coincidentes. Se o ângulo entre os planos π 1 e π for igual a π então os planos são ditos perpendiculares. Exercícios 1) Considere as retas r : X = (1, 1, )+λ(0, 1, 1); λ R, s : X = (0, 1, 1)+µ(1, 0, 1); µ R e t : (x+z = 0) (x y + z 1 = 0) (interseção de dois planos.) Mostre que existe um único ponto comum a essas três retas. Calcule o volume do tetraedro determinado por elas e pelo plano π : x + y z = 0. [15-14] ) Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos: (a) r : X = (1, 1, 1) + λ(, 1, 1); λ R e s : (y + z = ) (x + y z = 6). (b) r : (x y z = ) (x + y z = 0) e s : (x y + z 5 = 0) (x + y z = 0). (c) r : (x + 1)/ = y/ = (z + 1)/ e s : (0, 0, 0) + λ(1,, 0); λ R. [16-1] ) Obtenha uma equação paramétrica da reta perpendicular comum às retas r e s no seguintes casos: (a) r : X = (, 0, 1) + λ(1, 1, 1); λ R e s : x + y = z = 0. (b) r : X = (4,, ) + λ(, 1, ); λ R e s : x = y = z. [17-7] 4) Calcule a distância do ponto de interseção das retas r : X = (1,, 4) + λ(1,, ); λ R e s : X = (1, 1, 0) + µ( 1, 0, 1); µ R ao plano determinado pelas retas t : X = (0, 1, 0) + α(0, 6, 1); α R e h : x = y 6z + 8 = x. [0-] 5) Obtenha um vetor diretor da reta que é paralela ao plano x + y + z = 0 e forma ângulo de π/4 com o plano x y = 0. [19-0] 6) Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem (0, 0, 0) e forma ângulo de π/ com a reta r : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1); λ R e com o plano x y 4 = 0. [19-0] 7) Uma fonte luminosa situada no ponto F = (0, 0, 1) emite um raio na direção do ponto A = (1, 1, 0) o qual é refletido por um espelho contido no plano y =. Determine o ponto do plano y = onde o raio incide e o ponto do plano y = 0 atingido pelo raio refletido. [19-1] 8) Obtenha a equação geral do plano que contém a reta r : X = (1, 0, )+λ(4, 1, 0); λ R e é perpendicular ao plano x + y + z = 0. [17-] 5

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

Lista 8 - Geometria Analítica

Lista 8 - Geometria Analítica Lista 8 - Geometria Analítica Posição Relativa, Distância e Ângulos e paralelo a reta x = y = z 7 1 Estude a posição relativa das retas r e s. Se as retas forem concorrentes encontre o ponto de intersecção

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Paralelismo e Perpendicularismo. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Paralelismo e Perpendicularismo. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Paralelismo e Perpendicularismo 3 a série EM Geometria Analítica 1 Paralelismo e Perpendicularismo 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1 Determine se as retas de equações

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço

Retas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço Retas e lanos Equações de Retas Equação aramétrica da Reta no Espaço Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional Um vetor v = (a, b, c) determina uma direção no espaço Dado um ponto 0 = (x

Leia mais

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r 94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,

Leia mais

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).

Leia mais

1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA

1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL I 1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Só relembrando a primeira aula de Geometria Plana, aqui vão algumas dicas bem úteis para abordagem geral de uma questão de geometria:

Leia mais

Computação Gráfica Interativa

Computação Gráfica Interativa Computação Gráfica Interativa conceitos, fundamentos geométricos e algoritmos 1. Introdução Computação Gráfica é a criação, armazenamento e a manipulação de modelos de objetos e suas imagens pelo computador.

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO Jorge Costa do Nascimento Introdução Na produção desse texto utilizamos como fonte de pesquisa material

Leia mais

Åaxwell Mariano de Barros

Åaxwell Mariano de Barros ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

Prof. José Carlos Morilla

Prof. José Carlos Morilla 1 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Santos 009 1 CÁLCULO VETORIAL... 4 1.1 Segmentos Orientados... 4 1. Vetores... 4 1..1 Soma de um ponto com um vetor... 5 1.. Adição de vetores... 5 1..3 Diferença

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3 Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as

Leia mais

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,

Leia mais

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3

Leia mais

Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E

Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E Sistema cartesiano ortogonal Lista. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos: a)

Leia mais

Lista 1: Vetores -Turma L

Lista 1: Vetores -Turma L Lista 1: Vetores -Turma L Professora: Ivanete Zuchi Siple 1. Dados os vetores u e v da gura, mostrar num gráco um representante do vetor: (a) u v (b) v u (c) u + 4 v u v. Represente o vetor x = u + v w

Leia mais

Capítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados

Capítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados Capítulo 3 Cálculo Vetorial O objetivo deste capítulo é o estudo de vetores de um ponto de vista geométrico e analítico. De acordo com a necessidade, a abordagem do assunto será formal ou informal. O estudo

Leia mais

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.

MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA I PROF. Diomedes. E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. I- CONCEITOS INICIAIS - Distância entre dois pontos na reta E) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B. d(a,b) = b a E: Dados os pontos A e B de coordenadas

Leia mais

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA

Geometria Analítica. Katia Frensel - Jorge Delgado. NEAD - Núcleo de Educação a Distância. Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Geometria Analítica NEAD - Núcleo de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática UFMA Katia Frensel - Jorge Delgado Março, 011 ii Geometria Analítica Conteúdo Prefácio ix 1 Coordenadas na

Leia mais

Produtos. 4.1 Produtos escalares

Produtos. 4.1 Produtos escalares Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja

Leia mais

As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos:

As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos: Exercício 01. Dada à hipérbole de equação 5x 2 4y 2 20x 8y 4 = 0 determine os focos e as equações das assintotas. Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x 2 4x + 4 4] 4[y 2 + 2y + 1]

Leia mais

REFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA

REFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA 1 TEORIA 1 DEFININDO ESPELHOS PLANOS Podemos definir espelhos planos como toda superfície plana e polida, portanto, regular, capaz de refletir a luz nela incidente (Figura 1). Figura 1: Reflexão regular

Leia mais

Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo?

Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo? Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo? Elon Lages Lima IMPA, Rio de Janeiro Quando pensamos num polígono convexo, imaginamos seus vértices todos apontando para fora, ou seja, que ele não possui

Leia mais

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas

Vestibular 2ª Fase Resolução das Questões Discursivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO VESTIBULAR 010 Prova de Matemática Vestibular ª Fase Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis

Leia mais

02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) A = 5 Λ i + 3 Λ j, b) B = 10 Λ i -7 Λ j, c) C = 2 Λ i - 3 Λ j + 4 Λ k.

02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) A = 5 Λ i + 3 Λ j, b) B = 10 Λ i -7 Λ j, c) C = 2 Λ i - 3 Λ j + 4 Λ k. Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 1 01 Três vetores A, B e C possuem as seguintes componentes nas direções x e y: A x = 6, A y = -3; B x = -3, B y =4; C x =2, C y

Leia mais

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D 6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também

Leia mais

O coeficiente angular

O coeficiente angular A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir

Leia mais

I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO

I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO Matemática Frente I CAPÍTULO 19 RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO 1 - RECORDANDO Na última aula, nós vimos duas condições bem importantes: Logo, se uma reta passa por um ponto e tem um coeficiente angular,

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4 Lei de Gauss Considere uma distribuição arbitrária de cargas ou um corpo carregado no espaço. Imagine agora uma superfície fechada qualquer envolvendo essa distribuição ou corpo. A superfície é imaginária,

Leia mais

Vetores. Definição geométrica de vetores

Vetores. Definição geométrica de vetores Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são

Leia mais

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 1 3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 3.3.1 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Como vimos no caso do R, para localizar um ponto no plano precisamos de duas informações e assim um ponto P

Leia mais

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS A RTIGO PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES E O CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂN- GULOS: EXEMPLOS SIGNIFICATIVOS Fábio Marson Ferreira e Walter Spinelli Professores do Colégio Móbile, São Paulo Recentemente nos desafiamos

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. Dirce Uesu Pesco 29/01/2013

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. Dirce Uesu Pesco 29/01/2013 GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA Dirce Uesu Pesco 29/01/2013 I) Dados um ponto do plano e vetor normal ao plano; II) III) Dados um ponto do plano e dois vetores paralelos

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,

Leia mais

Pesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof.

Pesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof. Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Prof. José Luiz Função Linear - Introdução O conceito de função é encontrado em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período

Leia mais

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária

Leia mais

TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa

TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa Reflexão da luz TIPOS DE REFLEXÃO Regular Difusa LEIS DA REFLEXÃO RI = raio de luz incidente i normal r RR = raio de luz refletido i = ângulo de incidência (é formado entre RI e N) r = ângulo de reflexão

Leia mais

AV1 - MA 13-2011 UMA SOLUÇÃO. b x

AV1 - MA 13-2011 UMA SOLUÇÃO. b x Questão 1. figura abaixo mostra uma sequência de circunferências de centros 1,,..., n com raios r 1, r,..., r n, respectivamente, todas tangentes às retas s e t, e cada circunferência, a partir da segunda,

Leia mais

Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º - Data / / SISTEMA DE FORÇAS

Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º - Data / / SISTEMA DE FORÇAS Força (F ) e (Beer and Johnston,1991) SISTEMA DE FRÇAS Força não tem definição, é um conceito primitivo ou intuitivo. Matematicamente a força é o vetor aplicado (P,F ), caracterizado por módulo, direção

Leia mais

(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b)

(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b) Equação Vetorial da Reta Dois pontos P e Q, definem um único vetor v = PQ, que representa uma direção. Todo ponto R cuja direção PR seja a mesma de PQ está contido na mesma reta definida pelos pontos P

Leia mais

Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.

Vetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. Vetores no R 2 : O conjunto R 2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xoy. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante OP

Leia mais

Desenho geométrico. Ponto: Elemento geométrico considerado sem dimensão, apenas com posição. Reta:

Desenho geométrico. Ponto: Elemento geométrico considerado sem dimensão, apenas com posição. Reta: Desenho geométrico Ponto: Elemento geométrico considerado sem dimensão, apenas com posição. Reta: Linha que estabelece a menor distância entre 2 pontos. Por 1 ponto podem passar infinitas retas. Por 2

Leia mais

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA 40 5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano situados a uma distância constante r de um ponto fixo O é a circunferência de centro O e raio r. Notação: Circunf(O,r). Sempre

Leia mais

Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab.

Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab. MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito Questão 01 [ 2,00 pts ] Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético

Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.

Leia mais

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:

Leia mais

Reflexão. A reflexão ocorre quando a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios com propriedades distintas.

Reflexão. A reflexão ocorre quando a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios com propriedades distintas. Ótica Reflexão A reflexão ocorre quando a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios com propriedades distintas. A reflexibilidade é a tendência dos raios de voltarem para o mesmo meio

Leia mais

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

A função do primeiro grau

A função do primeiro grau Módulo 1 Unidade 9 A função do primeiro grau Para início de conversa... Já abordamos anteriormente o conceito de função. Mas, a fim de facilitar e aprofundar o seu entendimento, vamos estudar algumas funções

Leia mais

Exercícios resolvidos P2

Exercícios resolvidos P2 Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem.

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. TRIDIMENSIONALIDADE O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem. As formas tridimensionais são aquelas que têm

Leia mais

Métodos Estatísticos II 1 o. Semestre de 2010 ExercíciosProgramados1e2 VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF)

Métodos Estatísticos II 1 o. Semestre de 2010 ExercíciosProgramados1e2 VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF) Métodos Estatísticos II 1 o. Semestre de 010 ExercíciosProgramados1e VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF) Esses exercícios abrangem a matéria das primeiras semanas de aula (Aula 1) Os alunos

Leia mais

Universidade Federal do Paraná

Universidade Federal do Paraná Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo Curitiba, 1 de Dezembro de 005 1. A posição de uma particula é dada por: r(t) = (sen t)i+(cost)j

Leia mais

QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.

QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas. Resolução por Maria Antônia Conceição Gouveia da Prova de Matemática _ Vestibular 5 da Ufba _ 1ª fase QUESTÕES de 1 a 8 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados

Leia mais

Espelho, espelho meu...

Espelho, espelho meu... A UU L AL A Espelho, espelho meu... No meio do trânsito ouve-se a sirene da ambulância. Ernesto vira-se e pergunta ao pai: - Por que as letras escritas no capô da ambulância estão todas invertidas? Figura

Leia mais

POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS

POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS http://apostilas.netsaber.com.br/ver_apostila.php?c=622 ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA 97003133 - BM3 01-011 POLÍGONOS E FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS ANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRÍCULA

Leia mais

UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA

UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA UFR_VESTIBULAR _004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO OR ROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA QUESTÃO Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços,

Leia mais

CADERNO DE ATIVIDADES

CADERNO DE ATIVIDADES 1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática CADERNO DE ATIVIDADES DESENVOLVIMENTO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O PROCESSO DE APRENDIZAGEM

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR 2013 2 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. 0. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da

Leia mais

Aula 10 Triângulo Retângulo

Aula 10 Triângulo Retângulo Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,

Leia mais

As cônicas. c, a 2 elipse é uma curva do plano em que qualquer um de seus pontos, por exemplo,, satisfaz a relação:

As cônicas. c, a 2 elipse é uma curva do plano em que qualquer um de seus pontos, por exemplo,, satisfaz a relação: As cônicas As cônicas podem ser definidas a partir de certas relações que caracterizam seus pontos. A partir delas podemos obter suas equações analíticas e, a partir delas, suas propriedades.. A elipse

Leia mais

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w).

Bem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w). Produto Interno INTRODUÇÃO Galera, vamos aprender agora as definições e as aplicações de Produto Interno. Essa matéria não é difícil, mas para ter segurança nela é necessário que o aluno tenha certa bagagem

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS. Usando a definição de parábola determinar, em cada um dos itens a

Leia mais

Conceitos e fórmulas

Conceitos e fórmulas 1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que

Leia mais

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013

Álgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013 Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante

Leia mais

MÓDULO 9. A luz branca, que é a luz emitida pelo Sol, pode ser decomposta em sete cores principais:

MÓDULO 9. A luz branca, que é a luz emitida pelo Sol, pode ser decomposta em sete cores principais: A COR DE UM CORPO MÓDULO 9 A luz branca, que é a luz emitida pelo Sol, pode ser decomposta em sete cores principais: luz branca vermelho alaranjado amarelo verde azul anil violeta A cor que um corpo iluminado

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

1 TEOREMA DE TALES 2 APLICAÇÃO PARA TRIÂNGULOS 3 TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA. Matemática 2 Pedro Paulo

1 TEOREMA DE TALES 2 APLICAÇÃO PARA TRIÂNGULOS 3 TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XI 1 TEOREMA DE TALES No Nivelamento, um dos assuntos abordados foi Razão e Proporção. A proporção aparece em várias situações no dia-a-dia: por exemplo, na leitura

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma

Leia mais

RESUMO 2 - FÍSICA III

RESUMO 2 - FÍSICA III RESUMO 2 - FÍSICA III CAMPO ELÉTRICO Assim como a Terra tem um campo gravitacional, uma carga Q também tem um campo que pode influenciar as cargas de prova q nele colocadas. E usando esta analogia, podemos

Leia mais

1 P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r w w w. f u t u r o m i l i t a r. c o m. b r

1 P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r w w w. f u t u r o m i l i t a r. c o m. b r Exercícios Potencial Elétrico 01. O gráfico que melhor descreve a relação entre potencial elétrico V, originado por uma carga elétrica Q < 0, e a distância d de um ponto qualquer à carga, é: 05. Duas cargas

Leia mais

ÓPTICA GEOMÉTRICA PREGOLINI

ÓPTICA GEOMÉTRICA PREGOLINI ÓPTICA GEOMÉTRICA PREGOLINI ÓPTICA GEOMÉTRICA É a parte da Física que estuda os fenômenos relacionados com a luz e sua interação com meios materiais quando as dimensões destes meios é muito maior que o

Leia mais

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição 90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em

Leia mais

ELIPSES INSCRITAS NUM TRIÂNGULO

ELIPSES INSCRITAS NUM TRIÂNGULO ELIPSES INSCRITAS NUM TRIÂNGULO SERGIO ALVES IME-USP Freqüentemente apresentada como um exemplo notável de sistema dedutivo, a Geometria tem, em geral, seus aspectos indutivos relegados a um segundo plano.

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Mudança de Coordenadas

Mudança de Coordenadas Mudança de Coordenadas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 13 de deembro de 2001 1 Rotação e Translação

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU 1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais,

Leia mais

Hoje estou elétrico!

Hoje estou elétrico! A U A UL LA Hoje estou elétrico! Ernesto, observado por Roberto, tinha acabado de construir um vetor com um pedaço de papel, um fio de meia, um canudo e um pedacinho de folha de alumínio. Enquanto testava

Leia mais

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36 MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade

Leia mais

1. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que:

1. Encontre as equações simétricas e paramétricas da reta que: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: retas; planos; interseções de retas e planos; posições relativas entre retas e planos; distância

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I:

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I: Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode

Leia mais

Construções Fundamentais. r P r

Construções Fundamentais. r P r 1 Construções Fundamentais 1. De um ponto traçar a reta paralela à reta dada. + r 2. De um ponto traçar a perpendicular à reta r, sabendo que o ponto é exterior a essa reta; e de um ponto P traçar a perpendicular

Leia mais

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010 PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. / / 00 QUESTÃO N o 9 Dadas as funções reais definidas por f(x) x x e g(x) x x, considere I, II, III e IV abaixo. I) Ambas

Leia mais

Movimentos Periódicos: representação vetorial

Movimentos Periódicos: representação vetorial Aula 5 00 Movimentos Periódicos: representação vetorial A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever o movimento harmônico simples é representando-o como uma projeção perpendicular

Leia mais

GA Estudo das Retas. 1. (Pucrj 2013) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = (4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0).

GA Estudo das Retas. 1. (Pucrj 2013) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = (4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0). GA Estudo das Retas 1. (Pucrj 01) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 5 e vértices A = (, 5), B = (, 0) e C = (c, 0). A equação da reta r que passa pelos vértices A e C é: a) y x 7 x b) y 5 x c)

Leia mais

APOSTILA I DAC CRIADO POR DÉBORA M. BUENO FRANCO PROFESSORA DE DESENHO ASSISTIDO POR COMPUTADOR FACULDADE EDUCACIONAL DE ARAUCÁRIA - FACEAR

APOSTILA I DAC CRIADO POR DÉBORA M. BUENO FRANCO PROFESSORA DE DESENHO ASSISTIDO POR COMPUTADOR FACULDADE EDUCACIONAL DE ARAUCÁRIA - FACEAR APOSTILA I DAC FORMATOS DE PAPEL ESTABELECIDOS PELA ABNT Os tamanhos de papel são padronizados para a elaboração de desenhos técnicos. A base do formato do papel é A0 (origem alemã Deutsch Industrien Normen-A

Leia mais

Equações do segundo grau

Equações do segundo grau Módulo 1 Unidade 4 Equações do segundo grau Para início de conversa... Nesta unidade, vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Na unidade anterior, você estudou sobre as equações de primeiro

Leia mais