CAPÍTULO 3 PROBLEMA 3.1

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1 PÍTULO 3 PROLM 3.1 onsidere a placa em forma de L, que faz parte da fundação em ensoleiramento geral de um edifício, e que está sujeita às cargas indicadas. etermine o módulo, a direcção, o sentido e o ponto de aplicação da resultante. Z 5P a 3P a/4 Y 4P a 2P X a/4 2

2 PROLM 3.2 O guindaste da figura encontra-se parcialmente encastrado no solo, podendo ser mobilizado um momento resistente máximo de 62,5 kn.m (em ambos os sentidos). s únicas cargas que suporta são um contrapeso de 50 kn e um peso P que pode deslizar ao longo do braço. estrutura férrea tem um peso de 1 kn/m em todos os elementos. a) alcule a reacção vertical para o máximo peso P que a estrutura pode suportar com a carga na posição da figura. b) Para P = 7 kn, quais os limites do movimento do motor de elevação ao longo do braço? c) Supondo que o vento exerce uma força equivalente a 1 kn ao nível do braço da grua, quais as alterações nos resultados anteriores? Vento 50 kn P 20 m 5 m 15 m 5 m 3

3 PROLM 3.3 Pretende-se fazer rodar uma caixa cúbica de peso P em torno da sua aresta, através de uma alavanca H de comprimento l. Para isso, aplica-se uma força vertical na extremidade H da alavanca. Partindo do princípio que não existe atrito no ponto de contacto da alavanca com a caixa, qual o peso máximo que a caixa pode ter, sabendo que a máxima força vertical que se pode aplicar em H é Q. 4 m Q = 1500 N 4 m 15º H 1 m 3 m 4,5 m 1,5 m 4

4 PROLM 3.4 figura representa um candeeiro de peso P = 50 N suspenso por três cabos. Um deles é ligado directamente à parede, estando os outros dois presos na consola, que se encontra encastrada. a) etermine os esforços a que os cabos estão sujeitos. b) alcule as reacções no encastramento da consola. 0,20 m 0,30 m 0,25 m 0,20 m 0,20 m 0,40 m 0,05 m 0,05 m 0,10 m 5

5 PROLM 3.5 placa rectangular de 75 kg representada na figura seguinte está suspensa de um suporte horizontal por anéis em e. Um anel na barra em impede o deslizamento ao longo de. Um cabo liga o ponto a uma roldana na parede. etermine o valor da força P necessária para que a placa fique inclinada de 40 com a vertical. Z Y 0,3 m 0,9 m X P 1,5 m 1,2 m 1,5 m PROLM 3.6 Num salão de exposições fixou-se um cubo de material sintético à parede, através de uma rótula esférica, num dos seus vértices e de três escoras, e, como se indica na figura. Sabendo que o cubo pesa 1000 N, determine os esforços a que cada uma das escoras ficou submetida, explicitando os que são de tracção e os que são de compressão. Z 0,6 m 0,4 m 1,0 m 0,7 m 1,0 m Y 0,1 m Y 1,8 m 0,7 m 0,7 m 0,5 m 0,2 m 0,5 m 0,7 m 0,6 m X 6

6 PROLM 3.7 O caixote representado na figura tem um apoio fixo em e um apoio móvel em que só permite translação segundo y. poia-se em sobre uma esfera. Sabendo que o caixote pesa 500 N, determine a reacção em quando uma força horizontal de 300 N é aplicada ao ponto médio de. Y Z 150 mm 300 N 188 mm X 250 mm 188 mm PROLM 3.8 onsidere a placa O, apoiada segundo o eixo O e suportada pelo tirante, sujeita a uma força de 20 N aplicada em. a) alcule o momento em relação ao eixo O devido à força aplicada em ; b) etermine a tracção no tirante para garantir o equilíbrio de momentos em torno do eixo O. z 1,00 m O 0,50 m y 0,50 m x 1,00 m 20 N 7

7 PROLM 4.3 onsidere o campo de momentos que toma os seguintes valores em 3 pontos dados: (0; 0; 0) e 2e 7 ) M = + + (kn m) e3 (0; 1; 2) e 8e 4 ) M = (kn m) e3 (1; 0; 1) e 7e 6 ) M etermine o valor do campo no ponto (1; 1; 1). = + + (kn m) e3 PROLM 4.4 onsidere o sistema de forças formado por 5 forças de intensidade P aplicadas nas arestas de um cubo de lado a, como indicado na figura. a) etermine os elementos de redução do sistema em e. b) lassifique o sistema. c) Verifique a propriedade projectiva entre e. d) screva a equação da recta de momentos mínimos e determine a sua intersecção com o plano YZ. e) etermine as coordenadas do ponto dessa recta mais próximo do ponto. f) etermine a força a aplicar no ponto para transformar o sistema num conjugado. Qual o momento resultante? Z P H P P a P Y P a X a 9

8 PROLM 4.5 onsidere um sistema de forças aplicado a um cubo de lado a, do qual se conhecem os momentos resultantes em 3 pontos distintos do espaço. Identifique o caso de redução. a) efina vectorialmente o momento de menor intensidade assim como o vector principal do sistema. b) Qual a menor força a aplicar em de modo que o sistema resultante seja equivalente a vector único passando por. Z M H a M M M Y a X a 10

9 PROLM 4.8 onsidere o sistema de forças representado na figura. é um quadrado de lado a pertencente ao plano XY. a) Identifique o caso de redução, justificando b) etermine a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço nos quais a intensidade do momento resultante é de 3a. omente a forma desse lugar geométrico. = = = 1 = Z a a Y X 4 PROLM 4.9 onsidere o sistema constituído pelos vectores 1 e 2, cujas linhas de acção se representam na figura. Sabe-se que 2 = 2 e 1 =. a) alcule os elementos de redução do sistema de forças no Ponto H. b) alcule o momento em : i. irectamente, somando o momento provocado por cada força; ii. Usando a equação de propagação de momentos. 13

10 PROLM 4.10 onsidere a placa ilustrada na figura sujeita ao conjunto de forças representado. a) alcule os elementos de redução no ponto O. b) etermine a equação do eixo central do sistema de vectores. Z 7P O 3P Y 4P 6P a a X 14

11 PROLM 6.3 Uma ponte rolante desloca-se sobre carris ao longo de uma oficina, cujo edifício é constituído por arcos de três articulações com 1 de vão. viga transversal pode deslocar-se sobre os carris, tem de comprimento 9,0 m e pesa 12 kn. O peso da grua é de 8 kn. O peso de metade do arco é de 60 kn e está aplicado no respectivo centro de massa, a 1,70 m de distância da vertical que passa pelo apoio ou. s restantes forças aplicadas representam a acção do vento sobre a cobertura e sobre as faces laterais do edifício. etermine as reacções de apoio em e e as forças de ligação em, para as condições indicadas na figura. 5 kn 1,73 m 10 kn 1,73 m 5 kn 12 kn 35 kn 8 kn 10 kn 60 kn 60 kn 1,7 m 1,3 m 4,3 m 1,7 m 20

12 PÍTULO 7 PROLM 7.1 Para as estruturas esquematizadas representar os diagramas de corpo livre (..L.) de todas as barras de eixo recto. a) 50 kn 10 kn/m 15 kn b) 30 kn/m 25 kn/m 50 kn 20 kn 50 kn 4,0 m 4,0 m 21

13 c) 1,0 1,0 20 kn d) 40 kn/m 10 kn/m 20 kn H I 25 kn J 1,0 4,0 m 22

14 e) 5 kn/m 20 kn 4 m 10 kn f) 20 kn.m 50 kn/m 10 kn/m 10 kn/m 10 kn H 1,0 1,0 1,0 1,0 23

15 g) 25 kn/m 15 kn/m 20 kn/m 40 kn 20 kn.m 20 kn/m H I J 1,0 1,0 5,0 m 1,0 24

16 PROLM 7.2 squematize os diagramas de corpo livre dos vários corpos rígidos que constituem cada uma das estruturas representadas a seguir. Para cada estrutura, identifique as incógnitas e as equações que as permitem determinar. Proceda analogamente para cada uma das barras de eixo rectilíneo que não tenham ainda sido separadamente consideradas. a) 30 kn/m 56 kn 4 m 4 m 6 m 8 m b) H I 50 kn 30 kn/m 40 kn 1,5 m 1,5 m 3,0 c) 30 kn/m 20 kn.m H 1,5 m 1,5 m 5,0 m 25

17 PROLM 7.3 onsidere a viga representada na figura, existente no plano XY e sujeita ao carregamento indicado. a) alcule as reacções no encastramento. b) Trace os diagramas de corpo livre das barras, e. c) Trace os diagramas de esforços internos. Z 2 kn/m 10 kn 3 m 5 kn X 5 m 3 m Y 26

18 PROLM 7.9 onsidere as duas estruturas isostáticas indicadas, com os respectivos carregamentos. Indique para cada uma delas o andamento dos diagramas de esforço (M, V, N) com a conveniente informação do tipo de função e pontos notáveis (valores de máximos, pontos de esforço nulo, etc.) a) 15 kn/m 2 m 30 kn H I 2 m 2 m 1 m 1 m 1 m 1 m b) 30 kn/m 45 kn 4 m 15 kn.m 4,0 m 30

19 PROLM 7.10 Para a estrutura indicada na figura, trace os diagramas de momentos flectores esforços transversos e esforços normais, indicando o tipo e grau das funções, a localização dos pontos notáveis e os valores que elas assumem nesses pontos. 25 kn 5 kn/m 50 kn.m PROLM 7.11 Trace o diagrama de momentos flectores na estrutura esquematizada e determine as expressões analíticas que definem esse diagrama no troço. 40 kn/m 40 kn/m 40 kn/m 4,0 m 31

20 PROLM 7.12 onsidere as estruturas reticuladas planas carregadas no seu plano que se apresentam nas figuras. Trace, justificando devidamente, o andamento aproximado dos diagramas de todos os esforços instalados nas duas estruturas, sujeitas ao carregamento nelas esquematizado, indicando para cada um deles o tipo de função e grau, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos na estrutura. a) 300 kn 50 kn/m 5,0 m 140 kn b) 30º 150 kn 30 kn/m 200 kn.m 2,5 m 1,0 1,5 m 100 kn/m 32

21 PROLM 7.13 etermine, justificando, o diagrama de momentos flectores da estrutura autoequilibrada indicada, indicando os respectivos sinais e os valores máximos e mínimos, com a indicação das secções em que os mesmos ocorrem. Nota nos troços curvos, marcar as ordenadas segundo as direcções radiais. R = 3 m R = 3 m 70 kn 70 kn PROLM 7.14 onsidere a estrutura isostática indicada com o respectivo carregamento. Indique o andamento dos diagramas de esforço (M, V, N) com a conveniente informação do tipo de função e pontos notáveis (valores de máximos, pontos de esforço nulo, etc.). 60 kn/m 60 kn/m 80 kn.m 6,0 m 33

22 PROLM 7.15 onsidere as estruturas reticuladas planas, carregadas no seu plano, que se apresentam nas figuras. etermine, justificando, o andamento aproximado de todos os esforços instalados nas duas estruturas que se seguem, sujeitas ao carregamento nelas esquematizado, indicando para cada uma delas o tipo de função e grau, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos na estrutura. a) 45 kn/m 3,5 m 45º 160 kn.m 7,0 m 1 b) 0,9 m 0,9 m 2,7 m 25 kn/m 2,3 m 15 kn 20º 0,9 m 0,9 m 34

23 PROLM 7.16 onsidere as estruturas reticuladas planas que se apresentam nas figuras. etermine, justificando, o andamento aproximado dos diagramas de todos os esforços internos, indicando para cada um deles o tipo de função e grau, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos na estrutura. a) 20º 1,5 kn/m 4,0 m 15 kn 0,1 m b) 5 kn/m 10 kn/m 45º 20 kn 30º 35

24 c) 60 kn/m H 1,0 m 4,0 m 4,0 m d) 50 kn 10 kn/m 15 kn 36

25 PROLM 7.17 Sem determinar previamente as reacções de apoio, trace o diagrama de momentos flectores para a viga contínua a seguir esquematizada, indicando o respectivo valor numérico nos pontos de máximo e mínimo. 20 kn 7,5 m 2,5 m 2,5 m 5,0 m 2,5 m PROLM 7.18 onsidere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. a) etermine as reacções nos apoios e. b) Trace o diagrama de corpo livre da barra, explicitando o valor de todas as cargas que a mantêm em equilíbrio. 40 kn 200 kn.m H 60 kn 30 kn/m 1,0 m 1,0 m 4,0 m 37

26 PROLM 7.19 onsidere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. a) etermine as reacções nos apoios,, e I. b) Trace o diagrama de corpo livre da barra H, explicitando o valor de todas as cargas que a mantêm em equilíbrio. 60 kn/m 40 kn/m I H 1,0 m 300 kn.m 1,0 m 38

27 PROLM 7.20 onsidere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. a) etermine as reacções nos apoios e. b) Trace o diagrama de corpo livre da barra, explicitando o valor de todas as cargas que a mantêm em equilíbrio. 50 kn 30 kn 20 kn/m 39

28 PROLM 7.21 onsidere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. À articulação liga-se um cabo que passa pela roldana e em cuja extremidade se suspende um peso de 80 kn. a) etermine as reacções nos apoios e. b) Trace o diagrama de corpo livre da barra, explicitando o valor de todas as cargas que a mantêm em equilíbrio. c) Trace os diagramas de esforços internos em todas as barras da estrutura. 20 kn/m 300 kn.m 80 kn 4,0 m 5,0 m 40

29 PROLM 7.22 onsidere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado. o ponto liga-se um cabo que passa pela roldana e em cuja extremidade se suspende um peso de 28 kn. a) etermine as reacções nos apoios e, utilizando o menor número possível de equações de equilíbrio. b) Trace os diagramas de corpo livre da barra e do corpo que é constituído pelas barras e. c) Trace os diagramas de corpo livre de cada uma das barras,, e, explicitando o valor de todas as cargas que as mantêm em equilíbrio. d) Verifique que o nó está em equilíbrio. e) Trace os diagramas de esforços internos em todas as barras da estrutura, indicando para cada um deles o tipo de função e grau, o valor atingido nos pontos notáveis e a localização desses pontos na estrutura. 40 kn/m 80 kn 5,0 m 5,0 m 4,0 m 41

30 PROLM 7.23 Para cada uma das vigas encastradas representadas, trace os diagramas de esforços transversos e de momentos flectores, tirando partido das relações existentes entre diagrama de carga, diagrama de esforço transverso e diagrama de momento flector. 30 kn/m 30 kn/m 20 kn 4,2 m 4,2 m a) c) 30 kn/m 15 kn/m 4,2 m 4,2 m b) d) 42

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