Mecânica Aplicada. Engenharia Biomédica ESFORÇOS INTERNOS EM PEÇAS LINEARES

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1 Mecânica plicada Engenharia iomédica ESFORÇOS INTERNOS EM PEÇS INERES Versão 0.2 Setembro de 2008

2 1. Peça linear Uma peça linear é um corpo que se pode considerar gerado por uma figura plana cujo centro de gravidade se desloca ao longo de uma linha de grande raio de curvatura à qual se mantém perpendicular. figura plana designa-se por secção transversal da peça linear, tem dimensões muito inferiores ao comprimento da referida linha que, por sua vez, se designa por eixo da peça linear. s peças lineares podem ter eixo rectilíneo ou curvilíneo e podem ter secção transversal constante ou variável ao longo do eixo da peça. s peças lineares de eixo rectilíneo e secção transversal constante designam-se por peças prismáticas. s peças lineares são normalmente representadas simplificadamente pelo seu eixo. Em problemas no âmbito da Engenharia iomédica, existem vários exemplos de corpos que podem ser considerados peças lineares. Na figura seguinte representa-se uma pessoa, em posição sentada, que utiliza uma bota com um peso para fazer exercícios de flexão/extensão da perna, para aumentar a resistência do músculo quadriceps. Na figura seguinte representa-se o diagrama de corpo livre da perna. F M é a intensidade da força que o músculo quadriceps exerce no ponto da tíbia através do tendão patelar, F J é a intensidade da força de reacção exercida pelo fémur no ponto O da tíbia, W é o peso da perna aplicado no seu centro de gravidade e W 0 é o peso da bota. perna pode ser representada por uma peça linear submetida às forças indicadas na figura seguinte.

3 F J F M φ O a θ b c W 1 β W 0 O exercício físico representado na figura seguinte consiste na abdução do braço até este atingir a posição horizontal. Na figura seguinte representa-se o diagrama de corpo livre do braço na posição horizontal. F M é a intensidade da força que o músculo deltóide exerce no ponto do úmero, F J é a intensidade da força de reacção na articulação O do ombro, W é o peso do braço aplicado no seu centro de gravidade e W 0 é o peso do haltere. O braço pode ser representado por uma peça linear submetida às forças indicadas na figura seguinte.

4 F J β F M θ O a W b c W 0 2. Esforços internos em peças lineares. onvenção de sinais onsidere-se uma peça linear em equilíbrio estático sob a acção de um carregamento genérico e uma secção transversal S como se representa na figura seguinte. S Suponha-se agora que a peça linear é seccionada através da secção de corte S. Se se retirar a parte da peça linear à direita da secção S, para que não se altere o estado de equilíbrio ou movimento da parte da peça linear à esquerda da referida secção, é necessário aplicar na face S 1 da superfície de corte um sistema de forças que representa a acção da parte da peça à direita da secção S sobre a parte da peça à esquerda da mesma secção. Por outro lado, se se retirar a parte da peça linear à esquerda da secção S, para que o estado de equilíbrio ou movimento da parte da peça à direita da referida secção não se altere, é necessário aplicar na face S 2 da superfície de corte um sistema de forças que representa a acção da parte da peça à esquerda da secção S sobre a parte da peça à direita da mesma secção. Pelo princípio da acção e reacção, independentemente de a peça linear se encontrar em equilíbrio ou em movimento, as forças que representam a acção da parte da peça à esquerda da secção S sobre a parte da peça à direita da mesma secção são iguais e de sentido contrário às que representam a acção da parte à direita sobre a parte à esquerda. Note-se que tanto as forças que a parte da esquerda da peça linear exerce sobre a parte da direita através da secção S, como as que a parte da direita exerce sobre a parte da esquerda são forças interiores ao sistema peça linear.

5 esignam-se por esforços internos na secção transversal S os elementos de redução no centro de massa G da secção transversal dos sistemas de forças (interiores) que cada uma das partes da peça linear exerce sobre a outra parte através da secção S. Sejam R e M os elementos de redução do sistema de forças interiores exercidas pela parte da peça linear à direita da secção S sobre a parte da peça à esquerda da mesma no centro de massa G da face S 1, ou, dito de outra forma, os esforços internos que actuam sobre a face S 1 da secção S. S 1 R M S 2 G G x 1 M R Pelo princípio da acção e reacção, os elementos de redução do sistema de forças interiores exercidas pela parte da peça linear à esquerda da secção S sobre a parte da peça à direita da mesma no centro de massa G da face S 2, ou, dito de outra forma, os esforços internos que actuam sobre a face S 2 da secção S são R e M. s interacções entre as duas partes da peça linear separadas pela secção S são pois caracterizadas pelos dois pares opostos de esforços internos ( R e M ) e ( R e M ). efinido um sentido de percurso ao longo do eixo da peça linear, que na figura anterior é dado pelo sentido positivo do eixo, elimina-se essa ambiguidade de sinal adoptando para esforços internos (em verdadeiro sentido) aqueles que actuam sobre a parte da peça linear que na secção S tem normal exterior no sentido do eixo positivo da peça, isto é, os esforços internos ( R e M ) que na figura representam a acção da parte da peça à direita da secção S sobre a parte à esquerda da mesma secção, ou ainda, a acção sobre a face S 1, que se designa por face positiva. face S 2 designa-se, por sua vez por face negativa e nela actuam os esforços internos opostos ( R e M ). componente N do elemento de redução R designa-se por esforço normal, as componentes V 1 e V 2 designam-se por esforços transversos segundo x 1 e, respectivamente. componente T do elemento de redução M designa-se por momento torsor e as componentes M 1 e M 2 designam-se por momentos flectores segundo x 1 e, respectivamente. Estes esforços serão positivos na face S 1 (face positiva) se tiverem os sentidos indicados na figura seguinte, isto é, se tiverem o sentido positivo dos eixos coordenados.

6 Face positiva S 1 N T x 1 G V 1 M 1 V 2 M 2 Na face S2 (face negativa) os esforços são positivos se tiverem os sentidos indicados na figura seguinte, isto é, se tiverem o sentido negativo dos eixos coordenados. Face negativa S 2 T N G x 1 V 1 M 1 V 2 M 2 No caso de a peça linear estar sujeita a forças actuantes num único plano que contém também o seu eixo, só existem três esforços internos: o esforço normal N, o esforço transverso V 2 que se representa simplesmente por V e o momento flector M 1 que se representa simplesmente por M. Os sentidos positivos dos esforços internos na face positiva e na face negativa representam-se na figura seguinte. Face positiva M R Face negativa V N M G N G V R

7 O efeito do esforço normal é o de alongar (ou encurtar) a peça linear na direcção do seu eixo: N N O efeito do esforço transverso é o de distorcer a peça linear: V V O efeito do momento flector é o de flectir a peça linear: M M Os gráficos que representam a variação dos esforços internos ao longo do eixo da peça linear denominam-se diagramas de esforços.

8 Exemplo E1. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: 60º P a s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático no plano: R H 60º P R V a R V ΣM = 0 <=> R V P sen(60º) a = 0 <=> R V = P a sen(60º)/ ΣF 3 = 0 <=> P cos(60º) R H = 0 <=> R H = P cos(60º) ΣF 2 = 0 <=> P sen(60º) R V R V = 0 <=> R V = P sen(60º) (1 a /) onsidere-se agora uma secção de corte S, à distância genérica do apoio, e trace-se o diagrama de corpo livre da parte S da viga, explicitando os esforços internos em S que representam a acção da parte S da viga sobre a parte S e que foram arbitrados com o sentido positivo de acordo com a convenção de sinais. P cos(60º) S M( ) N( ) P sen(60º) (1-a/) V( )

9 partir deste diagrama é possível determinar os esforços internos na secção S a partir das equações de equilíbrio estático no plano: ΣM S = 0 <=> M( ) P sen(60º) (1 a/) = 0 <=> M( ) = P sen(60º) (1 a/) ΣF 3 = 0 <=> N( ) P cos(60º) = 0 <=> N( ) = P cos(60º) ΣF 2 = 0 <=> V( ) P sen(60º) (1 a /) = 0 <=> V( ) = P sen(60º) (1 a /) Note-se que estes esforços também poderiam ser determinados a partir do diagrama de corpo livre do troço S. Este diagrama de corpo livre e estas expressões dos esforços internos são válidos para 0 < a. Para > a, o diagrama de corpo livre do novo troço S já inclui a força P como se indica na figura seguinte: P cos(60º) 60º P S M( ) N( ) P sen(60º) (1-a/) a V( ) partir deste diagrama é possível determinar os esforços internos na nova secção de corte S a partir das equações de equilíbrio estático no plano: ΣM S = 0 <=> M( ) P sen(60º) ( a) P sen(60º) (1 a/) = 0 <=> M( ) = P a sen(60º) (1 /) ΣF 3 = 0 <=> N( ) P cos(60º) P cos(60º) = 0 <=> N( ) = 0 ΣF 2 = 0 <=> V( ) P sen(60º) P sen(60º) (1 a /) = 0 <=> V( ) = P a sen(60º) / Estes resultados são válidos para a <. Os resultados obtidos mostram que os esforços internos variam com a posição da secção de corte S. Esta variação é representada graficamente nos diagramas de esforços. O diagrama de esforço normal é representado por

10 P cos(60º) Quando o esforço normal é positivo o seu valor é marcado no sentido negativo do eixo, isto é, é marcado por cima do eixo da viga. Quando o esforço normal é negativo o seu valor é marcado no sentido positivo do eixo, isto é, é marcado por baixo do eixo da viga. Note-se que o diagrama de esforço normal apresenta uma descontinuidade em = a, pois nessa secção existe uma carga concentrada com componente axial. Mostrarse-á na Secção 3 que sempre que numa certa secção de uma peça linear existir uma carga concentrada com componente axial, o diagrama de esforço normal apresentará, nessa secção, uma descontinuidade de valor absoluto igual à componente axial da carga concentrada. Neste caso, a descontinuidade tem valor P cos(60º). O diagrama de esforço transverso é representado por P sen(60º) (1 a /) Quando o esforço transverso é positivo o seu valor é marcado no sentido negativo do eixo, isto é, é marcado por cima do eixo da viga. Quando o esforço transverso é negativo o seu valor é marcado no sentido positivo do eixo, isto é, é marcado por baixo do eixo da viga. Note-se que o diagrama de esforço transverso apresenta uma descontinuidade em = a, pois nessa secção existe uma carga concentrada com componente normal ao eixo da viga. Mostrar-se-á na Secção 3 que sempre que numa certa secção de uma peça linear existir uma carga concentrada com componente transversal, o diagrama de esforço transverso apresentará, nessa secção, uma descontinuidade de valor absoluto igual à componente transversal da carga concentrada. Neste caso, a descontinuidade tem valor P sen(60º). O diagrama de momentos flectores é representado por P a sen(60º)/ P a sen(60º) (1 a /)

11 Note-se que a convenção para o traçado do diagrama de momentos flectores é inversa da dos restantes esforços. Quando o momento flector é positivo o seu valor é marcado no sentido positivo do eixo, isto é, é marcado por baixo do eixo da viga. Quando o momento flector é negativo o seu valor é marcado no sentido negativo do eixo, isto é, é marcado por cima do eixo da viga. Exemplo E2. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: M a s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático no plano: M M R H R V a R V ΣM = 0 <=> R V M = 0 <=> R V = M / ΣF 3 = 0 <=> R H = 0 ΣF 2 = 0 <=> R V R V = 0 <=> R V = M / O sinal negativo no valor da reacção vertical em indica que esta reacção tem o sentido contrário ao inicialmente arbitrado.

12 onsidere-se agora uma secção de corte S, à distância genérica do apoio, e trace-se o diagrama de corpo livre da parte S da viga explicitando os esforços internos em S que foram arbitrados com o sentido positivo de acordo com a convenção de sinais. S M( ) N( ) M/ V( ) partir deste diagrama é possível determinar os esforços internos na secção S utilizando equações de equilíbrio estático no plano: ΣM S = 0 <=> M( ) M/ = 0 <=> M( ) = M/ ΣF 3 = 0 <=> N( ) = 0 ΣF 2 = 0 <=> V( ) M/ = 0 <=> V( ) = M/ Este diagrama de corpo livre e estas expressões dos esforços internos são válidos para 0 < a. Para > a, o diagrama de corpo livre do novo troço S já inclui o momento M como se indica na figura seguinte: M M( ) S N( ) M/ a V( ) partir deste diagrama é possível determinar os esforços internos na nova secção de corte S a partir das equações de equilíbrio estático no plano: ΣM S = 0 <=> M( ) M M/ = 0 <=> M( ) = M (1 /) ΣF 3 = 0 <=> N( ) = 0 ΣF 2 = 0 <=> V( ) M/ = 0 <=> V( ) = M/ Estes resultados são válidos para a <.

13 O diagrama de esforço normal é nulo em todas as secções da viga. O diagrama de esforço transverso é representado por M / O diagrama de momentos flectores é representado por M (1 a /) M a / Note-se que o diagrama de momentos flectores apresenta uma descontinuidade em = a pois nessa secção existe um momento concentrado. Mostrar-se-á na Secção 3 que sempre que numa dada secção de uma peça linear existir um momento concentrado, o diagrama de momentos flectores apresentará, nessa secção, uma descontinuidade de valor absoluto igual ao momento concentrado. Neste caso, a descontinuidade tem valor M. Note-se ainda que o declive do diagrama de momentos flectores é o mesmo no troço e no troço. Tal não sucede por acaso como se verá na Secção 3. Exemplo E3. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura sujeita a uma carga uniformemente distribuída por unidade de comprimento de valor p: p

14 s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático no plano (note-se que a carga distribuída é substituída pela sua resultante): p R H R V R V ΣM = 0 <=> R V (p ) /2 = 0 <=> R V = p /2 ΣF 3 = 0 <=> R H = 0 ΣF 2 = 0 <=> p R V R V = 0 <=> R V = p /2 onsidere-se agora uma secção de corte S, à distância genérica do apoio, e trace-se o diagrama de corpo livre da parte S da viga, explicitando os esforços internos em S que foram arbitrados com o sentido positivo de acordo com a convenção de sinais. p S M( ) N( ) p /2 V( ) partir deste diagrama é possível determinar os esforços internos na secção S a partir das equações de equilíbrio estático no plano: ΣM S = 0 <=> M( ) (p ) /2 (p /2) = 0 <=> M( ) = p /2 p 2 /2 ΣF 3 = 0 <=> N( ) = 0 ΣF 2 = 0 <=> V( ) (p ) p /2 = 0 <=> V( ) = p /2 p

15 O diagrama de esforço normal é nulo em todas as secções da viga. O diagrama de esforço transverso é representado por p /2 p /2 Note-se que o diagrama de esforço transverso se anula na secção de meio vão porque, devido à simetria, a carga total aplicada entre o apoio e a secção de meio vão é igual à reacção de apoio em. O diagrama de momentos flectores é representado por p 2 /8 2º grau Tangente horizontal Note-se que (à parte um sinal) p é igual à derivada de V, que V é igual à derivada de M e que o diagrama de momentos flectores tem um máximo na secção de meio vão onde V se anula. Tal não sucede por acaso como se verá na Secção Relações entre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos flectores. Equações diferenciais de equilíbrio. onsidere-se uma peça linear em equilíbrio sujeita à acção de uma distribuição de cargas p 2 ( ) normais ao seu eixo e de uma distribuição de cargas p 3 ( ) actuando na direcção do seu eixo. estaque-se do seu interior um troço de comprimento elementar d limitado pelas secções e e trace-se o seu diagrama de corpo livre. dmitindo que as funções que representam as cargas p 2 e p 3 neste troço elementar são contínuas, se os esforços internos na secção forem respectivamente N, V e M, então os esforços na secção serão obtidos somando aos esforços em variações elementares, respectivamente, dn, dv e dm.

16 p 2 ( ) p 3 ( ) p 2 ( ) M M dm N N dn V p 3 ( ) d V dv Os esforços nas secções de corte e foram arbitrados com os sentidos positivos de acordo com a convenção estabelecida. O equilíbrio de forças permite escrever ΣF 3 = 0 <=> (N dn) p 3 d N = 0 ΣF 2 = 0 <=> (V dv) p 2 d V = 0. partir destas equações obtém-se dn d = p 3 (1) e dv d = p 2. (2) O equilíbrio de momentos em relação ao ponto permite escrever

17 ΣM = 0 <=> (M dm) V d M (p 2 d ) d /2 = 0. partir desta equação, desprezando infinitésimos de ordem superior, obtém-se dm d = V. (3) s equações (1), (2) e (3) traduzem as relações de equilíbrio existentes entre os diagramas de cargas, de esforço normal, de esforço transverso e de momentos flectores. Se o diagrama de carga distribuída axialmente p 3 for representado por um polinómio de grau n, o diagrama de esforço normal será representado por um polinómio de grau n1. Se o diagrama de carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga p 2 for representado por um polinómio de grau n, o diagrama de esforço transverso será representado por um polinómio de grau n1 e o diagrama de momentos flectores será representado por um polinómio de grau n2. Estas equações permitem ainda concluir que: se p 3 > 0 => N decresce com se p 3 = 0 => N passa por um ponto de estacionaridade se p 3 < 0 => N cresce com se p 2 > 0 => V decresce com se p 2 = 0 => V passa por um ponto de estacionaridade se p 2 < 0 => V cresce com se V > 0 => M cresce com se V = 0 => M passa por um ponto de estacionaridade se V < 0 => M decresce com. Note-se que a carga distribuída axialmente p 3 é positiva se tiver o sentido do eixo e a carga distribuída perpendicularmente ao eixoda viga p 2 é positiva se tiver o sentido do eixo, isto é, se actuar de cima para baixo. Nos exemplos E.1, E.2 e E.3, a carga distribuída axialmente é nula pelo que o diagrama de esforço normal é constante por troços. Nos exemplos E.1 e E.2, a carga distribuída normal ao eixo da viga é nula pelo que o diagrama de esforço transverso é constante por troços e o diagrama de momentos flectores é linear por troços. No exemplo E.1, o esforço transverso no troço é positivo pelo que o momento flector neste troço é crescente. No troço, o esforço transverso é negativo pelo que o momento flector é decrescente. O diagrama de momentos flectores apresenta então um ponto anguloso e um máximo na secção. No exemplo E.2, o esforço transverso é constante e positivo na viga pelo que o diagrama de momentos flectores cresce à mesma taxa nos troços e. No exemplo E.3, a carga distribuída normal ao eixo da viga é constante pelo que o diagrama de esforço transverso é linear e o diagrama de momentos flectores é quadrático. O esforço transverso anula-se a meio vão pelo que o momento flector tem nessa secção um ponto de estacionaridade. Neste caso o ponto de estacionaridade é um máximo pois o esforço transverso é positivo à esquerda e negativo à direita da secção de meio vão.

18 s equações (1), (2) e (3) podem ser escritas na forma dn = p 3 d, (4) dv = p 2 d (5) e dm = V d. (6) Integrando as equações (4), (5) e (6) entre duas secções genéricas e obtém-se N dn = p 3 d <=> N N = p 3 d, N (7) V dv = p 2 d <=> V V = p 2 d (8) V e M dm = V d <=> M M = V d. (9) M equação (7) mostra que a variação do esforço normal entre a secção e a secção é igual a menos a área do diagrama da carga distribuída axialmente compreendida entre e. nalogamente, a equação (8) mostra que a variação do esforço transverso numa secção pode ser obtido subtraindo ao esforço transverso entre a secção e a secção é igual a menos a área do diagrama da carga distribuída perpendicularmente ao eixo da peça linear compreendida entre e. equação (9) mostra que a variação do momento flector entre a secção e a secção é igual à área do diagrama de esforço transverso compreendida entre e. Suponha-se agora que numa dada secção S de uma peça linear actuam forças concentradas com componente axial P 3 e transversal P 2 e um momento concentrado M S como se representa na figura seguinte.

19 N - M - P 3 P 2 M S M N V - S V O equilíbrio de forças e momentos permite escrever [[N]] = P 3 (10) [[V]] = P 2 (11) [[M]] = M S (12) em que [[]] = -. Isto é a descontinuidade do esforço normal numa certa secção transversal (isto é, o limite à direita do esforço normal nessa secção menos o seu limite à esquerda) é igual a menos o valor da carga concentrada axial que actua nessa secção. descontinuidade do esforço transverso numa certa secção transversal (isto é, o limite à direita do esforço transverso nessa secção menos o seu limite à esquerda) é igual a menos o valor da carga concentrada transversal que actua nessa secção. descontinuidade do momento flector numa certa secção transversal (isto é, o limite à direita do momento flector nessa secção menos o seu limite à esquerda) é igual a menos o valor do momento concentrado que actua nessa secção.

20 Exemplo E4. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: 80 kn 60º 10 knm 30 kn/m E (m) s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático no plano: R H 80 kn 60º 10 knm 30 kn/m E R V (m) R V E ΣM = 0 <=> R V E sin(60º) 2 (30 3) 6.5 = 0 <=> R V E = 89.2 kn ΣF 3 = 0 <=> 80 cos(60º) - R H = 0 <=> R H = 40 kn ΣF 2 = 0 <=> sin(60º) R V R V E = 0 <=> R V = 70.1 kn O diagrama de esforço normal é constante entre as secções e e entre as secções e E. O esforço normal em vale 40 kn e em E vale 0. O diagrama de esforço normal tem uma descontinuidade em de valor 80 cos(60º) = 40 kn. 40 kn E

21 O diagrama de esforço transverso é constante entre as secções e e entre as secções e. O esforço transverso em vale 70.1 kn. O diagrama de esforço transverso tem uma descontinuidade em de valor 80 sen(60º) = 69.3 kn passando a tomar o valor = 0.8 kn à direita de. O esforço transverso em E vale 89.2 kn e, como a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga entre as secções e E é constante, o diagrama de esforço transverso é representado por um polinómio de 1º grau entre estas secções kn 0.8 kn E d 89.2 kn O esforço transverso anula-se portanto entre as secções e E a uma distância d medida a partir da secção. Esta distância pode ser determinada através de uma semelhança de triângulos: d 3 - d = <=> d = m O diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 1º grau entre as secções e, e e e. O momento flector em é nulo. O momento flector em pode ser calculado a partir da equação (9): M = M = knm. O momento flector na secção imediatamente à esquerda de pode ser calculado a partir da equação (9) aplicada às secções e : M = M = knm. O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade em de valor 10 knm passando a tomar o valor = knm à direita de. O momento flector em pode ser calculado a partir da equação (9) aplicada às secções e : M = = knm. omo o esforço transverso é constante no troço, o declive do diagrama de momentos flectores no troço é igual ao do troço. O diagrama de de momentos flectores é representado por um polinómio de 2º grau entre as secções e E. Neste troço, enquanto o esforço transverso for positivo, o momento flector é crescente e quando o esforço transverso for negativo o momento flector é decrescente. O momento flector apresentará portanto um máximo à distância d medida a partir da secção de valor

22 M máx = d/2 = knm. O momento flector em E é nulo. d E knm knm knm 2º grau Tangente horizontal knm knm Exemplo E5. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: P s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático no plano: M P R H R V

23 ΣM = 0 <=> M P = 0 <=> M = P ΣF 3 = 0 <=> R H = 0 ΣF 2 = 0 <=> P R V = 0 <=> R V = P O diagrama de esforço normal é nulo em todas as secções da viga. O diagrama de esforço transverso é constante entre as secções e. O esforço transverso em e em tem valor P. P omo o esforço transverso é constante entre as secções e, o diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 1º grau entre estas secções. O momento flector em tem valor P e em é nulo. P Exemplo E6. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: p

24 s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático no plano: M p R H R V ΣM = 0 <=> M (p ) /2 = 0 <=> M = p 2 /2 ΣF 3 = 0 <=> R H = 0 ΣF 2 = 0 <=> (p ) R V = 0 <=> R V = p O diagrama de esforço normal é nulo em todas as secções da viga. omo a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga entre as secções e é constante, o diagrama de esforço transverso é representado por um polinómio de 1º grau entre estas secções. O esforço transverso em tem valor p e em é nulo. p O diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 2º grau entre as secções e. O momento flector em tem valor p 2 /2 e em é nulo. Na secção o esforço transverso é positivo pelo que a tangente ao diagrama de momentos flectores nesta secção tem declive positivo. Na secção o esforço transverso é nulo pelo que a tangente ao diagrama de momentos flectores nesta secção é horizontal. p 2 /2 2º grau Tangente horizontal

25 Exemplo E7. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: p s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático no plano: p M R H R V ΣM = 0 <=> M (p /2) /3= 0 <=> M = p 2 /6 ΣF 3 = 0 <=> R H = 0 ΣF 2 = 0 <=> (p /2) R V = 0 <=> R V = p/2 O diagrama de esforço normal é nulo em todas as secções da viga. omo a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga varia linearmente entre as secções e, o diagrama de esforço transverso é representado por um polinómio de 2º grau entre estas secções. O esforço transverso em tem valor p/2 e em é nulo. Na secção a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga é positiva pelo que a tangente ao diagrama de esforço transverso nesta secção tem declive negativo. Na secção a carga

26 distribuída perpendicularmente ao eixo da viga é nula pelo que a tangente ao diagrama de esforço transverso nesta secção é horizontal. p /2 2º grau Tangente horizontal O diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 3º grau entre as secções e. O momento flector em tem valor p 2 /6 e em é nulo. Na secção o esforço transverso é positivo pelo que a tangente ao diagrama de momentos flectores nesta secção tem declive positivo. Na secção o esforço transverso é nulo pelo que a tangente ao diagrama de momentos flectores nesta secção é horizontal. p 2 /6 3º grau Tangente horizontal Exemplo E8. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: p

27 s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático no plano: M p R H R V ΣM = 0 <=> M (p /2) 2 /3= 0 <=> M = p 2 /3 ΣF 3 = 0 <=> R H = 0 ΣF 2 = 0 <=> (p /2) R V = 0 <=> R V = p/2 O diagrama de esforço normal é nulo em todas as secções da viga. omo a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga varia linearmente entre as secções e, o diagrama de esforço transverso é representado por um polinómio de 2º grau entre estas secções. O esforço transverso em tem valor p/2 e em é nulo. Na secção a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga é nula pelo que a tangente ao diagrama de esforço transverso nesta secção é horizontal. Na secção a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga é positiva pelo que a tangente ao diagrama de esforço transverso nesta secção tem declive negativo. p /2 Tangente horizontal 2º grau O diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 3º grau entre as secções e. O momento flector em tem valor p 2 /3 e em é nulo. Na secção o esforço transverso é positivo pelo que a tangente ao diagrama de momentos flectores nesta secção tem declive positivo. Na secção o esforço transverso é nulo pelo que a tangente ao diagrama de momentos flectores nesta secção é horizontal.

28 p 2 /3 3º grau Tangente horizontal Exemplo E9. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: 15 kn/m (m) omo foi visto no capítulo anterior, dada uma estrutura plana, a Estática fornece três equações para a determinação das reacções. Todas as estruturas consideradas até agora tinham um número de ligações ao exterior tal que era possível através das três equações de equilíbrio estático determinar as reacções de apoio. Nesta estrutura o número de reacções de apoio é quatro (superior a três). No entanto ela possui em uma rótula o que faz com que o sistema de equações seja determinado pois cada rótula introduz uma nova equação. s rótulas são descontinuidades introduzidas nas estruturas que permitem que duas secções vizinhas, uma de cada lado da rótula, rodem independentemente uma da outra. ssim, sendo o esforço associado à rotação o momento flector, pode-se afirmar que através de uma rótula não há transmissão deste esforço, isto é, que o momento flector numa rótula é nulo. omo o momento flector numa dada secção é obtido através da soma de todos os momentos aplicados à esquerda (ou à direita) da secção com os momentos produzidos relativamente à secção por todas as forças à esquerda (ou à direita) da secção tendo em conta o correspondente sinal pode-se afirmar que esta soma é nula à esquerda (ou à direita) de uma rótula. s reacções nos apoios, e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das três equações de equilíbrio estático no plano mais a equação adicional que traduz que o momento flector na rótula é nulo:

29 15 kn/m R H R V R V 8.0 (m) R V ΣM esq = 0 <=> R V 4 (15 4) 2 = 0 <=> R V = 30 kn ΣM = 0 <=> R V 14 R V 8 (15 14) 7 = 0 <=> R V = kn ΣF 3 = 0 <=> R H = 0 ΣF 2 = 0 <=> R V R V R V = 0 <=> R V = kn Note-se que em vez de se ter escrito ΣM esq = 0 poder-se-ia ter escrito ΣM dir = 0. O diagrama de esforço normal é nulo em todas as secções da viga. omo a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga entre as secções e e e é constante, o diagrama de esforço transverso é representado por um polinómio de 1º grau entre estas secções. O esforço transverso em vale 30 kn. O esforço transverso na secção imediatamente à esquerda de pode ser calculado a partir da equação (8): V = V 15 6 = 60 kn. O diagrama de esforço transverso tem uma descontinuidade em de valor kn passando a tomar o valor = kn à direita de. O esforço transverso em vale kn. omo a carga distribuída é constante em toda a viga, o declive do diagrama de esforço transverso no troço é igual ao do troço. O esforço transverso anula-se portanto entre as secções e a uma distância d 1 medida a partir da secção. Esta distância pode ser determinada através de uma semelhança de triângulos: d d1 = <=> d 1 = 2 m O esforço transverso anula-se também entre as secções e a uma distância d 2 medida a partir da secção. Esta distância pode ser determinada através de uma semelhança de triângulos: d d 2 = <=> d 2 = 4.75 m

30 71.25 kn 30 kn d kn 60 kn d 2 O diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 2º grau entre as secções e e e. O momento flector em, em e em é nulo. No troço, enquanto o esforço transverso for positivo, o momento flector é crescente e quando o esforço transverso for negativo o momento flector é decrescente. O momento flector apresentará portanto um máximo à distância d 1 medida a partir da secção cujo valor pode ser calculado a partir da equação (9) M máx1 = M 30 2/2 = 30 knm. O momento flector em pode ser calculado a partir da equação (9): M = M máx1 60 4/2 = 90 knm. No troço, enquanto o esforço transverso for positivo, o momento flector é crescente e quando o esforço transverso for negativo o momento flector é decrescente. O momento flector apresentará portanto um máximo à distância d 2 medida a partir da secção cujo valor pode ser calculado a partir da equação (9) M máx2 = M /2 = knm. 90 knm 2º grau 30 knm d 1 Tangente horizontal Tangente horizontal knm d 2

31 Exemplo E10. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: 1 kn/m 1 knm (m) s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das três equações de equilíbrio estático no plano mais a equação adicional que traduz que o momento flector na rótula é nulo:

32 1 kn/m R H 1 knm 0.3 R V R H (m) R V ΣM esq = 0 <=> R V 0.8 (1 0.8) 0.4 = 0 <=> R V = 0.4 kn ΣM = 0 <=> R V R H 0.3 (1 0.8) 0.8 = 0 <=> R H = 2.8 kn ΣF 3 = 0 <=> R H R H = 0 <=> R H = 2.8 kn ΣF 2 = 0 <=> R V R V = 0 <=> R V = 0.4 kn Na figura seguinte representam-se os referenciais locais de cada barra necessários para o traçado dos diagramas de esforços: omo não existe carga distribuída axialmente o esforço normal é constante em cada barra. O esforço normal na secção tem o valor 2.8 kn e é então constante na barra. omo a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga entre as secções e é constante, o diagrama de esforço transverso é representado por um polinómio de 1º grau entre estas secções. O esforço transverso em tem o valor 0.4 kn. O esforço transverso na secção pode ser calculado a partir da equação (8):

33 V = V = 0.4 kn. O esforço transverso anula-se portanto exactamente a meio das secções e a uma distância d igual a 0.4 m medida a partir da secção. O diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 2º grau entre as secções e. O momento flector em e em é nulo. No troço, enquanto o esforço transverso for positivo, o momento flector é crescente e quando o esforço transverso for negativo o momento flector é decrescente. O momento flector apresentará portanto um máximo à distância d igual a 0.4 m medida a partir da secção cujo valor pode ser calculado a partir da equação (9) M máx = M /2 = 0.08 knm. Os esforços na secção da barra podem ser calculados utilizando o princípio da acção e reacção conhecidos os esforços na secção da barra (ver figura seguinte) kn 2.8 kn kn 0.4 kn Os esforços normal e transverso na secção da barra são obtidos a partir das componentes axial e transversal das forças representadas na figura anterior. 2.8 cos(α) 0.4 sen(α) = 2 kn sen(α) 0.4 sen(α) = 2 kn α O esforço normal na secção da barra tem o valor 2 kn. omo não existe carga distribuída axialmente o esforço normal é constante na barra. O esforço transverso na secção da barra tem o valor 2 kn. omo não existe carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga entre as secções e, o esforço transverso é constante na barra.

34 O diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 1º grau entre as secções e e entre as secções e. O momento flector em é nulo. No troço, o esforço transverso é negativo pelo que o momento flector é decrescente. O momento flector na secção imediatamente à esquerda de pode ser calculado a partir da equação (9) M = M = 0.5 knm. O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade em de valor 1 knm passando a tomar o valor = 0.5 knm à direita de. No troço, o esforço transverso é negativo pelo que o momento flector é decrescente. O momento flector em é nulo e isso pode ser verificado a partir da equação (9) aplicada às secções e : M = = 0. omo o esforço transverso é constante no troço, o declive do diagrama de momentos flectores no troço é igual ao do troço. Nas figuras seguintes representam-se os diagramas dos três esforços nesta estrutura N (kn) m 0.4 V (kn) 2

35 Tangente horizontal º grau m M (knm) 0.5 Exemplo E11. alcular as reacções de apoio e traçar os diagramas de esforços internos da seguinte estrutura: P/ P P

36 s reacções nos apoios e arbitradas com os sentidos indicados na figura seguinte podem ser determinadas a partir das três equações de equilíbrio estático no plano mais a equação adicional que traduz que o momento flector na rótula é nulo: P/ P R V P R H M R V ΣM dir = 0 <=> R V (P/ )/2 2/3 = 0 <=> R V = P/3 ΣM = 0 <=> M R V P P 2 (P/ )/2 2/3 = 0 <=> M = P ΣF 3 = 0 <=> P R H = 0 <=> R H = P ΣF 2 = 0 <=> (P/ )/2 R V R V = 0 <=> R V = P/6 Na figura seguinte representam-se os diagramas de corpo livre de cada barra e do nó bem como os referenciais locais de cada barra necessários para o traçado dos diagramas de esforços:

37 N M = 0 V P P P P/6 Os esforços em arbitrados com os sentidos positivos podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio de forças no plano (note-se que o momento flector em é 0): ΣF 3 = 0 <=> P/6 N = 0 <=> N = P/6 ΣF 2 = 0 <=> V P = 0 <=> V = P. Note-se que o esforço normal em temo sentido contrário ao arbitrado. Utilizando o princípio da acção e reacção, o diagrama de corpo livre do nó (onde actua a força horizontal ) e depois da barra representam-se por (note-se que o momento flector em é nulo): P/ P P/6 P P/6 P/6 P/3

38 O esforço normal na secção tem o valor P/6. omo não existe carga distribuída axialmente o esforço normal é constante na barra. O esforço transverso na secção tem o valor P. omo não existe carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga entre as secções e, o esforço transverso é constante na barra. O diagrama de momentos flectores é representado por um polinómio de 1º grau entre as secções e e entre as secções e. O momento flector em tem o valor P. No troço, o esforço transverso é positivo pelo que o momento flector é crescente. O momento flector na secção imediatamente à esquerda de pode ser calculado a partir da equação (9) M = M P = 0. O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade em de valor P passando a tomar o valor 0 P = P à direita de. No troço, o esforço transverso é positivo pelo que o momento flector é crescente. O momento flector em é nulo e isso pode ser verificado a partir da equação (9) aplicada às secções e : M = P P = 0. omo o esforço transverso é constante no troço, o declive do diagrama de momentos flectores no troço é igual ao do troço. O esforço normal na secção da barra é nulo e como não existe carga distribuída axialmente o esforço normal é constante (e nulo) na barra. omo a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga varia linearmente entre as secções e, o diagrama de esforço transverso é representado por um polinómio de 2º grau entre estas secções. O esforço transverso em tem valor P/6 e em temvalor P/3. Na secção a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga é nula pelo que a tangente ao diagrama de esforço transverso nesta secção é horizontal. Na secção a carga distribuída perpendicularmente ao eixo da viga é positiva pelo que a tangente ao diagrama de esforço transverso nesta secção tem declive negativo. O esforço transverso anula-se portanto entre as secções e a uma distância d medida a partir da secção. Esta distância pode ser determinada através do seguinte equilíbrio: P/ d/ M máx P/6 d V = 0.

39 ΣF 2 = 0 <=> (P/ d/) d/2 P/6 = 0 <=> d = 3 /3. O diagrama de momentos flectores entre as secções e é representado por um polinómio de 3º grau. O momento flector em e em é nulo. No troço, enquanto o esforço transverso for positivo, o momento flector é crescente e quando o esforço transverso for negativo o momento flector é decrescente. O momento flector apresentará portanto um máximo à distância d da secção que pode ser obtido por equilíbrio (ver figura anterior): ΣM = 0 <=> M máx (P/ d/) d/2 2 d/3 = 0 <=> M máx = 3 P/27. Nas figuras seguintes representam-se os diagramas dos três esforços nesta estrutura. 0 P/6 (N) P/6 Tangente horizontal 2ºgrau - P/3 3º grau 3 /3 3 P/27 Tangente horizontal P P (V) P 3 /3 (M) P

40 Problema P1. alcule as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços internos das seguintes estruturas: a) 1 kn 1 kn/m 0.8 kn (m) b) 10 kn 2 kn/m 2 kn/m 30º E F (m) c) 4 kn/m 1 kn 45º (m)

41 d) 2 kn/m 10 kn (m) e) 1 knm kn/m (m)

42 f) 5 kn/m 10 kn kn 30º (m)

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