REFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA

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1 1 TEORIA 1 DEFININDO ESPELHOS PLANOS Podemos definir espelhos planos como toda superfície plana e polida, portanto, regular, capaz de refletir a luz nela incidente (Figura 1). Figura 1: Reflexão regular da luz num espelho plano Superfícies refletoras planas, mas com a superfície irregular, não podem ser consideradas espelhos planos, pois produzem o que chamamos de reflexão difusa da luz (Figura 2). Figura 2: Reflexão difusa Fonte: Assim, para conhecermos em detalhe a maneira pela qual um espelho conjuga suas imagens, precisamos conhecer as Leis da Reflexão (Figura 3)..

2 2 2 LEIS DA REFLEXÃO A reflexão da luz é um fenômeno físico que consiste na mudança de direção dos raios de luz incidentes sobre uma superfície refletora, exceção feita à situação na qual o ângulo de incidência seja igual a 90 o, em que a direção se mantém, mas apenas o sentido da propagação se altera. Figura 3: O fenômeno da reflexão da luz: (a) para casos em que o ângulo de incidência é diferente de 90 o ; (b) para casos no qual o ângulo de incidência é igual a 90 o Em síntese, são duas as Leis da Reflexão da Luz (Figura 4). 1 a Lei: O ângulo de incidência (i ˆ ) é igual ao ângulo de reflexão ( rˆ ). Figura 4: Primeira Lei da Reflexão: o ângulo de incidência î é igual ao ângulo de reflexão rˆ 2 a Lei: O Raio Incidente I, a normal à superfície refletora (N) e o raio refletido (R) estão no mesmo plano (Figura 5). Considere uma reta N, perpendicular à superfície refletora que denominaremos Normal à superfície.

3 3 Figura 5: Segunda Lei da Reflexão: o raio de luz incidente I, a normal à superfície N e o raio de luz refletido R estão no mesmo plano. 3 CONSTRUÇÃO DE IMAGENS NOS ESPELHOS PLANOS Vamos estudar a construção de imagens conjugadas por um espelho plano a partir de um ponto considerado objeto. Consideremos, portanto, um ponto P, diante de um espelho plano E, como indica a figura 6 a seguir:

4 4 Figura 6: Ponto P diante de um espelho plano E. Se admitirmos raios de luz incidentes I sobre o espelho E, passando pelo ponto P, temos que considerar a existência de raios de luz refletidos R, de forma tal, que os ângulos de reflexão rˆ serão iguais aos ângulos de incidência î (1 a Lei de Reflexão), como está indicado na figura 7 a seguir. Figura 7: Traçado de luz dos raios incidentes e refletidos Para determinarmos o ponto imagem P, basta que façamos um prolongamento dos raios de luz refletidos. A convergência desses pontos é P. Observe a figura 8 a seguir: Figura 8: Determinação gráfica do ponto imagem P

5 5 Pode se perceber que a distância do ponto P ao espelho E é igual à distância do espelho E ao ponto imagem P (PE = EP ), ou seja, a imagem P é simétrica ao ponto P (Figura 9). Figura 9: Simetria do ponto imagem P em relação ao ponto objeto P Além disso, como o ponto imagem P é formado pelo prolongamento dos raios de luz, podemos dizer que ele é virtual (Figura 10). 4 ENANTIOMORFISMO Como vimos, as imagens conjugadas por espelhos planos são simétricas aos objetos, isto é, a distância de cada ponto do espelho ao objeto é igual à distância da imagem ao espelho, o que nos permite concluir que apesar de a imagem ter o mesmo tamanho do objeto, eles não são exatamente iguais. Na verdade, a imagem fica invertida em relação ao objeto. Esse fenômeno recebe o nome de enantiomorfismo. Figura 10: Enantiomorfismo

6 6 5 TRANSLAÇÃO DE UM ESPELHO PLANO Quando movemos um espelho, a imagem por ele conjugada também se movimenta. Considere um objeto P localizando a uma distância d 1 de um espelho E, como indica a figura 11 a seguir. Figura 11: Objeto P distante d 1 de um espelho E Como espelhos planos conjugam imagens simétricas em relação ao objeto, temos que a imagem P também se encontra a uma distância d 1 do espelho (Figura 12). Figura 12: Imagem P simétrica ao objeto P Se deslocarmos o espelho de uma certa distância a, então teremos, ver figura 13:

7 7 Figura 13: Translação do espelho plano Perceba que a distância X entre as duas posições sucessivas das imagens P e P pode ser expressa por: X X = 2d 2 2d1 [1] = 2( d d ) 2 1 Observe a figura 13 e perceba que: d 2 d 1 = a [2] Então: X = 2a Dessa forma, conclui se que o deslocamento da imagem é o dobro do deslocamento do espelho. 6 ROTAÇÃO DE UM ESPELHO PLANO Se, DE ACORDO COM A FIGURA 14, ao invés de deslocar o espelho de uma distância a, nós o girarmos de um certo ângulo α, podemos mostrar, de maneira análoga, que giramos a imagem de um ângulo Δ = 2α. [3]

8 8 Figura 14: Rotação do espelho plano Fonte: 7 ASSOCIAÇÃO DE ESPELHOS PLANOS Quando associamos dois espelhos planos de forma paralela, um em relação ao outro, ou de maneira a formarem ângulos entre si, nós podemos multiplicar o número de imagens conjugadas de um determinado objeto. Assim, se consideramos dois espelhos planos E 1 e E 2 que formam entre si um ângulo α, como está indicado na figura 15 a seguir, Figura 15: Associação de espelhos planos

9 9 o número n de imagens de P que essa associação pode conjugar é igual a: 360 n = 1 [4] α Perceba que se α for igual a 180 o, então, temos, na prática, apenas um espelho e, portanto, n=1, ou seja, há a conjugação de uma única imagem. Para α igual a zero, temos que os espelhos estão paralelos e, dessa forma, matematicamente teríamos uma impossibilidade. Entretanto, se pensarmos em um valor muito pequeno para α m, então perceberemos que n seria igual a infinito, ou seja, infinitas imagens. Isso só seria possível se o sistema não absorvesse energia. Essa expressão só é válida para valores de α que sejam submúltiplos de 360 o. Caso contrário, o número de imagens não é inteiro. 8 DEFININDO ESPELHOS ESFÉRICOS Para entendermos o que é um espelho esférico, considere uma esfera cuja superfície reflete a luz, conforme a figura 16, a seguir. Figura 16 Esfera refletora seccionada ao meio gerando espelhos esféricos. Fonte: cepa.if.usp.br/.../basico/cap05/cap5_01.php Dividindo essa esfera em duas partes, obtemos duas calotas esféricas. Cada uma delas apresenta uma superfície côncava e outra convexa. Assim, os espelhos esféricos podem ser classificados em côncavos e convexos, como indica a figura 17.

10 10 Figura 17 Espelhos esféricos: côncavo e convexo. Fonte: cepa.if.usp.br/.../basico/cap05/cap5_01.php Diferentemente das lentes esféricas, que são atravessadas pelos raios de luz incidentes, nos espelhos esféricos os raios de luz não os atravessam. Quando um feixe de raios de luz paralelos incide sobre um espelho, ocorre o fenômeno de reflexão. Se as condições de Gauss forem respeitadas, então todos os raios de luz incidentes no espelho esférico serão refletidos por ele de maneira a passarem por um único ponto denominado foco do espelho (F). A distância desse ponto ao espelho é chamada de distância focal (f), e a distância entre o centro de curvatura do espelho (C) e seu vértice (V) é chamada de raio de curvatura do espelho (R). No caso do espelho convexo, é o prolongamento do raio de luz incidente que passa pelo foco. Figura 18 Características dos espelhos esféricos. É possível notar, pela figura 18, que no espelho côncavo, os raios de luz tendem a convergir para o foco do espelho. Por isso dizemos que nos espelhos côncavos, o foco é real.

11 11 No caso dos espelhos convexos, os raios de luz tendem a divergir, contudo, os prolongamentos dos raios incidentes tendem para o foco. Por isso dizemos que nos espelhos convexos, o foco é virtual. 9 RELAÇÃO ENTRE A DISTÂNCIA FOCAL E O RAIO DE CURVATURA DE UM ESPELHO ESFÉRICO Uma relação interessante e válida, tanto para os espelhos côncavos quanto para os espelhos convexos, é que a distância focal é a metade do raio de curvatura do espelho esférico. Observe a figura 19 a seguir, admitindo F como sendo o foco do espelho, C o centro de curvatura do espelho, V o vértice do espelho, R o raio de curvatura do espelho, I o ponto de incidência da luz no espelho, θ i eθ r, os ângulos de incidência e de reflexão, respectivamente. Figura 19 Relação distância focal e raio de curvatura. Como no fenômeno da reflexão o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, podemos considerar o triângulo CFI isósceles, portanto, FC = FI. Para cumprir as condições de nitidez de Gauss, o ângulo de abertura do espelho deve ser pequeno, em torno de 10o, dessa forma, FI FV. Portanto, podemos concluir que: R f = 2 [5] 10 CONSTRUÇÃO DE IMAGENS EM ESPELHOS ESFÉRICOS Antes de discutirmos o processo de construção das imagens, é importante conhecermos as propriedades dos raios de luz incidentes nos espelhos esféricos. A primeira propriedade, nós já discutimos, pois diz respeito ao fato de que todo raio de luz incidente em um espelho esférico, ao refletir, passa pelo foco. Considere a figura 20 a seguir, onde C é o centro de curavtura do espelho, F é o foco do espelho e V o vértice do espelho.

12 12 Figura 20 Raio de luz incidindo sobre o foco de espelhos esféricos. A segunda propriedade diz respeito ao fato de os raios de luz incidentes que passam pelo centro da curvatura (C) de uma lente esférica refletirem passando por si mesmos. Figura 21 Raio de luz incidindo sobre o centro de curvatura de espelhos esféricos. A terceira propriedade diz respeito ao fato de os raios de luz incidentes, que passam pelo vértice do espelho esférico, refletirem com o mesmo ângulo no qual ocorreu a incidência.

13 13 Figura 22 Raio de luz incidindo sobre o vértice de espelhos esféricos. As imagens fornecidas por um espelho esférico podem ser obtidas utilizando se dois dos três raios particulares. Obs.: trataremos aqui apenas de imagens formadas for objetos reais Construção de imagens no espelho convexo Objeto extenso localizado na frente do espelho: imagem virtual, direita, menor. Figura 23 Formação de imagens em espelhos esféricos convexos. Observe que as características da imagem A B para o espelho convexo não dependem da posição do objeto AB sobre o eixo principal Construção de imagens no espelho côncavo Objeto extenso à esquerda do ponto C (Objeto além do centro): imagem real, invertida, menor. Figura 24 Formação de imagens em espelhos esféricos côncavos com o objeto à esquerda do centro de curvatura do espelho. Objeto extenso sobre C (Objeto colocado no centro de curvatura do espelho): imagem real, invertida, igual.

14 14 Figura25 Formação de imagens em espelhos esféricos côncavos com o objeto sobre o centro de curvatura do espelho. Objeto extenso entre C e F (Objeto colocado entre o centro de curvatura e o foco): imagem real, invertida, maior. Figura 26 Formação de imagens em espelhos esféricos côncavos com o objeto colocado entre o centro de curvatura do espelho e seu foco. Objeto extenso sobre F (Objeto colocado no foco do espelho): imagem imprópria, também dita no infinito. Figura 27 Formação de imagens em espelhos esféricos côncavos com o objeto colocado sobre foco do espelho.

15 15 Objeto extenso entre F e V(Objeto colocado entre o foco e o vértice): imagem virtual, direita, maior. Figura 28 Formação de imagens em espelhos esféricos côncavos com o objeto colocado à direita do foco do espelho. Observe que: as características da imagem A B para o espelho côncavo dependem da posição do objeto AB sobre o eixo principal. a imagem do ponto B está sobre o eixo principal. para qualquer tipo de espelho, uma imagem real será sempre invertida, enquanto uma imagem virtual será sempre direita. 11 EQUAÇÃO DE GAUSS Para estudarmos as características das imagens conjugadas por espelhos esféricos, Gauss deduziu uma equação semelhante a que utilizou para estudar as lentes esféricas. A seguir, apresentamos a dedução de Gauss. Figura 29 Imagem conjugada por um espelho esférico côncavo.

16 16 Podemos observar que o triângulo ADC é semlehante ao triângulo A D C e que o triângulo A D F é semelhante ao triângulo BFV, portanto: 11.1 Equação de Aumento Linear (A) A D = AD A D = AD 2 f p = p 2 f 2 f pp = 2 p f pp = 1 f 2 p f p f 1 = + p D C DC D F FV p f f p f + pf 1 p 2 f p = p 2 f p f = f = pp pf + pf 2 p f ( dividindo por + 2 f 2 pp f ) Figura 30 Ampliação da imagem por um espelho esférico côncavo. Observe que os triângulos ADV e BEV são semelhantes, portanto, podemos escrever: BE AD = BV DV i p = o p i p A = = o p [6] Conclusão:

17 17 Se A for maior que zero, ou seja, positivo, então i e o têm o mesmo sinal, portanto a imagem é direita. Se A for menor que zero, ou seja, negativo, i e o têm sinais contrários, portanto a imagem é invertida. Em resumo ao estudo dos espelhos esféricos, podemos afirmar que, considerando sempre o objeto real ( p > 0 ), nestas equações temos: Espelho côncavo f > 0 Espelho convexo f < 0 Imagem real p' > 0 Imagem virtual p' < 0 Imagem direita i > 0 Imagem invertida i < 0 Autor Marco Aurélio Alvarenga Monteiro. Doutor em Educação para a Ciência pela UNESP- BAURU. Pós- Doutorado em Ensino de Física pelo Instituto de Física da USP. Professor do Comando da Aeronáutica e Diretor Científico da Revista de Educação e Tecnologia Aplicadas à Aeronáutica.