Espelhos Esféricos Gauss 2013

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1 Espelhos Esféricos Gauss (Unesp 2012) Observe o adesivo plástico apresentado no espelho côncavo de raio de curvatura igual a 1,0 m, na figura 1. Essa informação indica que o espelho produz imagens nítidas com dimensões até cinco vezes maiores do que as de um objeto colocado diante dele. Considerando válidas as condições de nitidez de Gauss para esse espelho, calcule o aumento linear conseguido quando o lápis estiver a 10 cm do vértice do espelho, perpendicularmente ao seu eixo principal, e a distância em que o lápis deveria estar do vértice do espelho, para que sua imagem fosse direita e ampliada cinco vezes. 2. (Uftm 2012) Sobre o comportamento dos espelhos esféricos, assinale a alternativa correta. a) Se um objeto real estiver no centro de curvatura de um espelho esférico sua imagem será real, direita e de mesmo tamanho que a do objeto. b) Os raios de luz que incidem, fora do eixo principal, sobre o vértice de um espelho esférico refletem-se passando pelo foco desse espelho. c) Os espelhos esféricos côncavos só formam imagens virtuais, sendo utilizados, por exemplo, em portas de garagens para aumentar o campo visual. d) Os espelhos convexos, por produzirem imagens ampliadas e reais, são bastante utilizados por dentistas em seu trabalho de inspeção dental. e) Os espelhos utilizados em telescópios são côncavos e as imagens por eles formadas são reais e se localizam, aproximadamente, no foco desses espelhos. 3. (Cesgranrio 2011) Um espelho esférico côncavo tem distância focal (f) igual a 20 cm. Um objeto de 5 cm de altura é colocado de frente para a superfície refletora desse espelho, sobre o eixo principal, formando uma imagem real invertida e com cm de altura. A distância, em centímetros, entre o objeto e a imagem é de a) 9 b) 12 c) 25 d) 5 e) 75 Página 1 de 13

2 . (Upe 2011) No esquema a seguir, E 1 é um espelho plano, e E 2 é um espelho esférico côncavo cujo raio de curvatura é 60cm. Considere relativo ao espelho E 2, C como sendo o centro de curvatura, F, o foco e V, o vértice. Em F, é colocada uma fonte pontual de luz. Considere que a luz sofre dupla reflexão, primeiramente no espelho espelho E 2. E 1 e, posteriormente, no Analise as afirmações a seguir e conclua. ( ) A distância focal do espelho esférico é de 30 cm. ( ) Considerando a primeira reflexão, pode-se afirmar que a distância da imagem ao vértice do espelho é de 90 cm. ( ) Após a segunda reflexão, pode-se afirmar que a nova imagem está a uma distância em relação à primeira imagem igual a 30 cm. ( ) Após a segunda reflexão, pode-se afirmar que a distância da fonte pontual de luz à sua imagem é igual a 15 cm. ( ) Após a segunda reflexão, observa-se que a imagem formada no espelho é virtual e está posicionada a 5 cm à direita do vértice. E 2 5. (Uem 2011) Um objeto real, direito, de 5 cm de altura, está localizado entre dois espelhos esféricos, um côncavo (R = 10 cm) e um convexo (R = 30 cm), sobre o eixo principal desses espelhos. O objeto está a uma distância de 30 cm do espelho convexo e de 10 cm do espelho côncavo. Com relação às características das imagens formadas nos dois espelhos e ao aumento linear transversal, analise as alternativas abaixo e assinale o que for correto. 01) A imagem formada no espelho convexo é virtual, direita e menor que o objeto. 02) As distâncias focais dos espelhos côncavo e convexo são, respectivamente, 5 cm e -15 cm. 0) O aumento linear transversal da imagem formada no espelho convexo é 0,5x. 08) O aumento linear transversal da imagem formada no espelho côncavo é x. 16) A imagem formada no espelho côncavo é real, invertida e igual ao objeto. 6. (Unemat 2010) Uma pessoa encontra-se de pé a uma distância de 10 cm de um espelho esférico. Esta pessoa vê, no espelho, sua imagem direita e aumentada em 5 vezes. Com os dados acima, pode-se dizer que a sua distância focal em relação ao espelho é: a) 12,5 cm. b) 10 cm. c) 20 cm. d) 30,5 cm. e) 25,5 cm. E 2 Página 2 de 13

3 7. (Fgv 2010) Dois espelhos esféricos côncavos, um de distância focal 2,0 m e outro de distância focal 5,0 m, foram colocados um voltado para o outro, de forma que seus eixos principais coincidissem. Na metade da distância entre os dois espelhos, a 1 m da superfície refletora de cada um deles, foi colocado o objeto AB. A distância entre as imagens do objeto AB, conjugadas pelos espelhos, isoladamente, em m, é de a) 21. b) 19. c) 17. d) 15. e) (Ufal 2010) Um espelho esférico côncavo possui diâmetro d e distância focal f, associados através da expressão: a) d = f b) d = 2f c) d = f/2 d) d = f e) d = f/ 9. (Ufal 2010) Um palito de fósforo, de 8 cm de comprimento, é colocado a 80 cm de distância de um espelho esférico convexo. A imagem do palito possui comprimento de 1,6 cm e a mesma orientação deste. Pode-se concluir que o valor absoluto da distância focal do espelho vale: a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 0 cm e) 50 cm 10. (Mackenzie 2009) Um objeto real se encontra sobre o eixo principal de um espelho côncavo, de distância focal 10cm, e a 20cm do vértice do espelho. Sendo obedecidas as condições de Gauss, sua imagem é: a) real e direta. b) real e invertida. c) virtual e direta. d) virtual e invertida. e) imprópria, localizada no infinito. Página 3 de 13

4 11. (Ueg 2008) Conforme a ilustração a seguir, um objeto de 10 cm de altura move-se no eixo de um espelho esférico côncavo com raio de curvatura R = 20 cm, aproximando-se dele. O objeto parte de uma distância de 50 cm do vértice do espelho, animado com uma velocidade constante de 5 cm/s. Responda ao que se pede. a) No instante t = 2 s, quais são as características da imagem formada? Justifique. b) Em qual instante a imagem do objeto se formará no infinito? Justifique. c) No instante t = 7 s, qual é a posição e tamanho da imagem formada? Justifique. 12. (Pucsp 2008) A litografia produzida pelo artista gráfico holandês M. C. Escher ( ) comporta-se como um espelho convexo, no qual o artista, situado a 90 cm do espelho, observa sua imagem, refletida na superfície da esfera refletora, com um tamanho dez vezes menor. Nessas condições, o módulo da distância focal do espelho, em centímetros, é igual a a) 1 b) 3 c) 5 d) 10 e) 20 Página de 13

5 13. (Mackenzie 2008) Dispõe-se de dois espelhos esféricos, um convexo e um côncavo, com raios de curvatura 20,0 cm cada um, e que obedecem às condições de Gauss. Quando um objeto real é colocado perpendicularmente ao eixo principal do espelho convexo, a 6,0 cm de seu vértice, obtém-se uma imagem conjugada de 1,5 cm de altura. Para que seja obtida uma imagem conjugada, também de 1,5 cm de altura, colocando esse objeto perpendicularmente ao eixo principal do espelho côncavo, sua distância até o vértice desse espelho deverá ser a) 11,0 cm b) 15,0 cm c) 26,0 cm d) 30,0 cm e) 52,0 cm 1. (Unicamp 2008) Para espelhos esféricos nas condições de Gauss, a distância do objeto ao espelho, p, a distância da imagem ao espelho, p', e o raio de curvatura do espelho, R, estão relacionados através da equação p p' R. O aumento linear transversal do espelho esférico é dado por A = - p'/p, onde o sinal de A representa a orientação da imagem, direita quando positivo e invertida, quando negativo. Em particular, espelhos convexos são úteis por permitir o aumento do campo de visão e por essa razão são frequentemente empregados em saídas de garagens e em corredores de supermercados. A figura a seguir mostra um espelho esférico convexo de raio de curvatura R. Quando uma pessoa está a uma distância de,0 m da superfície do espelho, sua imagem virtual se forma a 20 cm deste, conforme mostra a figura. Usando as expressões fornecidas acima, calcule o que se pede. a) O raio de curvatura do espelho. b) O tamanho h da imagem, se a pessoa tiver H = 1,60 m de altura. 15. (Pucsp 2007) Um objeto é colocado a 30 cm de um espelho esférico côncavo perpendicularmente ao eixo óptico deste espelho. A imagem que se obtém é classificada como real e se localiza a 60 cm do espelho. Se o objeto for colocado a 10 cm do espelho, sua nova imagem a) será classificada como virtual e sua distância do espelho será 10 cm. b) será classificada como real e sua distância do espelho será 20 cm. c) será classificada como virtual e sua distância do espelho será 20 cm. d) aumenta de tamanho em relação ao objeto e pode ser projetada em um anteparo. e) diminui de tamanho em relação ao objeto e não pode ser projetada em um anteparo. Página 5 de 13

6 16. (Ufpb 2007) Em um experimento de óptica, em sala de aula, uma régua de 30,0 cm de comprimento, quando colocada perpendicular ao eixo principal e a 2,0 cm do vértice de um espelho esférico côncavo, produz uma imagem invertida de 10,0 cm de altura. Nessas circunstâncias, a distância focal do espelho, em cm, é: a) 2 b) 3 c) d) 5 e) (Ufpel 2006) Um objeto de 6 cm de altura é colocado perpendicularmente ao eixo principal e a 2 cm do vértice de um espelho esférico côncavo, de raio de curvatura 36 cm. Baseado em seus conhecimentos sobre óptica geométrica, a altura e natureza da imagem são, respectivamente, a) 2 cm, virtual e direita. b) 12 cm, real e invertida. c) 18 cm, virtual e direita. d) 18 cm, real e invertida. e) 2 cm, virtual e invertida. 18. (Ufpr 2006) Um objeto colocado a 6 cm de um espelho esférico forma uma imagem virtual a 10 cm do vértice do espelho. Com base nesses dados, a distância focal do espelho é: a) 15 cm. b) 60 cm. c) -15 cm. d) -3,8 cm. e) 3,8 cm. 19. (Unifesp 2006) Suponha que você é estagiário de uma estação de televisão e deve providenciar um espelho que amplie a imagem do rosto dos artistas para que eles próprios possam retocar a maquilagem. O toucador limita a aproximação do rosto do artista ao espelho a, no máximo, 15 cm. Dos espelhos a seguir, o único indicado para essa finalidade seria um espelho esférico a) côncavo, de raio de curvatura 5,0 cm. b) convexo, de raio de curvatura 10 cm. c) convexo, de raio de curvatura 15 cm. d) convexo, de raio de curvatura 20 cm. e) côncavo, de raio de curvatura 0 cm. 20. (Uerj 2005) Com o objetivo de obter mais visibilidade da área interna do supermercado, facilitando o controle da movimentação de pessoas, são utilizados espelhos esféricos cuja distância focal em módulo é igual a 25 cm. Um cliente de 1,6 m de altura está a 2,25 m de distância do vértice de um dos espelhos. a) Indique o tipo de espelho utilizado e a natureza da imagem por ele oferecida. b) Calcule a altura da imagem do cliente. Página 6 de 13

7 Gabarito: Resposta da questão 1: Dados: R = 1 m; p 1 = 10 cm; A 2 = 5. A distância focal desse espelho é: R 1 f 0,5 m f 50 cm. 2 2 Para o objeto a 10 cm do espelho, o aumento (A 1 ) pode ser calculado pela equação do aumento linear transversal: f A A 1, f p Para que a imagem fosse direita e ampliada cinco vezes o aumento seria A 2 = +5. Para tal, a distância do objeto ao espelho seria p 2. Aplicando novamente a expressão do aumento: f 50 A 5 50 p 10 p 0 cm f p2 50 p2 Resposta da questão 2: [E] O telescópio é usado para observar os astros, objetos muito distantes (impróprios). A abscissa de um objeto impróprio é considerada infinita (p ). Da Equação dos Pontos Conjugados: f p p' 1 0 p' f. 1 f p' p' f p 0 p Resposta da questão 3: [A] p' p p' p p 5cm f p p' 20 p p p x5 p' 36cm 5 DO/I cm. Página 7 de 13

8 Resposta da questão : V V F V F. A primeira imagem após a reflexão, em E 1, está mostrada abaixo. Esta imagem serve de objeto para o espelho E 2. Calculando a segunda imagem produzida pelo espelho E 2, após a reflexão em E 1, vem: f p p' p' p' p' 5cm. Todas as respostas podem ser tiradas da figura abaixo. (V) A distância focal do espelho esférico é de 30 cm; (V) Considerando a primeira reflexão, pode-se afirmar que a distância da imagem ao vértice do espelho é de 90 cm; (F) Após a segunda reflexão, pode-se afirmar que a nova imagem está a uma distância em relação à primeira imagem igual a 30 cm; (V) Após a segunda reflexão, pode-se afirmar que a distância da fonte pontual de luz a sua imagem é igual a 15 cm; (F) Após a segunda reflexão, observa-se que a imagem formada no espelho é virtual e está posicionada a 5 cm à direita do vértice. E 2 E 2 Página 8 de 13

9 Resposta da questão 5: = 19 O esquema abaixo ilustra a situação proposta. 01) Correto. Veja o esquema. 02) Correto. f côncav o R ,0cm ; f convexo R 30 15,0cm 2 2 0) Errado. f p p' 15 5 p' 15 p' p' A p' p 15 / 5 3 0,75 08) Errado. A 1. Veja no esquema 16) Correto. Observe o esquema. Resposta da questão 6: [A] Obs: o enunciado está mal redigido. O que está sendo pedido é a distância focal do espelho. Dados: p = 10 cm; A = 5. A f f p A f A p = f 5 f 5(10) = f f = 50 f = 12,5 cm. Resposta da questão 7: [A] Ambos os espelhos são côncavos, possuindo, então, abscissas focais positivas. Da equação dos pontos conjugados: f p p' pf p' p f. Para o espelho da esquerda: f 1 = 2 m e p 1 = 1 m. ' 1 2 ' p1 p1 2 m (imagem virtual atrás do espelho) Página 9 de 13

10 Para o espelho da direita: f 2 = 5 m e p 2 = 1 m. p 1 5 ' p 1 5 ' m (imagem virtual atrás do espelho). De acordo com a figura (fora de escala), temos: D = D = 21 Resposta da questão 8: [D] m. Sabemos que num espelho esférico côncavo gaussiano a distância focal (f) é metade do raio de curvatura (R), que, por sua vez, é metade do diâmetro (d). Assim: d R d f 2 f 2 2 d = f. Resposta da questão 9: [B] Dados: h = 8 cm; p = 80 cm; h = 1,6 cm. O enunciado não informa como está disposto o palito. Supondo que ele tenha sido colocado sobre o eixo principal, perpendicularmente a esse, temos: h' p' h p 1,6 p' 8 80 f = p = 16 cm. p p' 80 ( 16) p p' f = 20 cm. Resposta da questão 10: [B] cm Resolução Em um espelho côncavo, com distância focal de 10 cm, se o objeto está a 20 cm, ou seja, no dobro da distância focal, ele está no ponto antiprincipal objeto do espelho. Neste ponto a imagem é real, invertida e possui o mesmo tamanho do objeto. Página 10 de 13

11 É possível ainda analisar esta questão pela equação dos pontos conjugados de Gauss, ou seja, f p p De onde vem que: p p 1 1 p = 20 cm 20 p Como p é positivo isto implica que a imagem é real. A imagem real conjugada por um único espelho a partir de um objeto real só pode ser invertida. Resposta da questão 11: a) x = 5,0 t. Para t = 2,0 s x = 10 cm. Assim, em t = 2,0 s, o objeto estará a 0 cm do vértice do espelho, ou seja, ele estará antes do centro de curvatura C do espelho. Para um objeto que se encontra antes do centro de curvatura de um espelho côncavo, as características da imagem formada são: real, invertida e menor. b) Para que a imagem se forme no infinito (imagem imprópria) o objeto deve se encontrar no foco do espelho. Portanto, ele deverá percorrer 0 cm. Assim, teremos: x = 5,0 t 0 = 5,0 t t = 8,0 s. c) Distância percorrida pelo objeto em 7 s: x = 5,0 t x = 5,0. 7,0 = 35 cm Logo a posição do objeto será: p = 15 cm. Calculando a posição da imagem formada usando a relação: p p' f Utilizamos o fato de que f = R 2 p' = 30 cm Em t = 7,0 s o objeto se encontra entre o foco e o Centro de Curvatura e, portanto, sua imagem será real, maior e invertida. O cálculo do tamanho da imagem formada pode ser realizado utilizando a equação para ampliação da imagem, dada por: A = i/o = p'/p i/10 = i = - 20 cm Nesta equação i e o são os tamanhos da imagem e do objeto, respectivamente. O sinal negativo indica que a imagem formada é invertida. Página 11 de 13

12 Resposta da questão 12: [D] Distância do objeto = p = 90 cm Aumento linear = A = 1/10 A = -p /p 1/10 = -p /90 p = - 9 cm 1/f = 1/p + 1/p = 1/90 + 1/(-9) = 1/90 1/9 = 1/90 10/90 = -9/90 = -1/10 f = - 10 cm Resposta da questão 13: [C] Resposta da questão 1: a) Expressão de Gauss R p p'. Não esqueça que se a imagem é virtual p = - 20 cm =- 0,2m e que se o espelho é convexo à distância focal também. Logo: R m R (0,2) R 2 R 19 b) A ampliação é i p' h 0,2 h 0,08m 8cm o p 1,6 Resposta da questão 15: [C] f 20cm f p p' f Segundo caso: p' 20cm f p p' p' Como p.p < 0 a imagem é virtual. Página 12 de 13

13 Resposta da questão 16: [E] Observe a construção abaixo, onde: h o = 30 cm; h i = 10 cm; p = 2 cm Os triângulos sombreados são semelhantes, daí: p' h p' 10 p h 2 30 i p' 0 8,0cm Pela equação de Gauss, temos: f p p' f 6,0cm f Resposta da questão 17: [D] Resposta da questão 18: [A] Resposta da questão 19: [E] Resposta da questão 20: a) espelho convexo, imagem virtual. b) 16 cm Página 13 de 13