5/Dez/2012 Aula Polarização das ondas EM 21.1 Por absorção 21.2 Por reflexão 21.3 Por birrefringência 21.4 Equações de Fresnell

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1 5/Dez/2012 Aula Polarização das ondas EM 21.1 Por absorção 21.2 Por reflexão 21.3 Por birrefringência 21.4 Equações de Fresnell 7/Dez/2012 Aula Óptica geométrica 22.1 Espelhos planos 22.2 Espelhos curvos (esféricos) 22.3 Espelhos convexos 22.4 Imagens formadas por refracção 22.5 Lentes finas 22.6 Lentes grossas 22.7 Convenções 1

2 Aula anterior 21. Polarização das ondas EM E A cos kx t y y E A cos kx t z z Estado de polarização: z A y 2 2 y y z z 2 2 cos sen 2 A 2 y y Az Az E E E E A elíptica linear circular E z Ey A z y Orientação da amplitude do campo E : tg 2 2 A A A y z 2 2 y Az cos 2

3 Aula anterior 21. Polarização das ondas EM Polarizador simulação 3

4 Aula anterior 21.1 Polarização por absorção Um filtro polarizador bloqueia a componente da luz cujo plano de polarização está segundo uma dada direcção (ou seja, absorve e bloqueia essa componente do campo eléctrico). A luz despolarizada que passa por um destes filtros emerge polarizada segundo a direcção de polarização do filtro e com cerca de metade da intensidade do feixe incidente. Se esta onda polarizada incidir num segundo polarizador, a intensidade da luz transmitida depende do ângulo q entre a direcção do filtro e do plano de polarização incidente. A esta relação para a intensidade da luz transmitida chama-se Lei de Malus: E E ˆi E ˆj E senqˆi E cosq ˆj incidente 0 0 E E ˆj E cosq ˆj transmitido 0 I transmitida 0 Lei de Malus 2 I cos q 4

5 Aula anterior 21.1 Polarização por absorção 5

6 Aula anterior 21.2 Polarização por reflexão Quando luz despolarizada é reflectida por uma superfície plana de separação entre dois meios transparentes, a luz reflectida é parcialmente polarizada. O grau de polarização depende do ângulo de incidência e dos índices de refracção dos dois meios. Para um certo ângulo de incidência chamado ângulo de polarização q p, a luz reflectida é completamente polarizada (ângulo de Brewster). Para q q p, os raios reflectido e refractado são perpendiculares entre si. q 90 q 2 p n senq n senq n sen( 90 q ) n cosq 1 p p 2 p tgq p n n 2 1 Se o raio incidente for verticalmente polarizado, não existirá raio reflectido: 6

7 Aula anterior 21.3 Polarização por birrefringência O fenómeno da birrefringência ocorre em certos cristais e polímeros em que a velocidade da luz depende da sua polarização e da sua direcção de propagação. Quando um raio incide nestes materiais, pode ser separado em dois raios distintos (ordinário e extraordinário). As direcções de polarização destes raios são perpendiculares entre si e eles propagam-se com velocidades diferentes. Dependendo da orientação relativa entre o material e o raio incidente, estes dois raios podem propagar-se em direcções diferentes. O eixo óptico é definido como o eixo ao longo do qual ambos os raios se propagam com a mesma velocidade na mesma direcção. 7

8 Aula anterior 21.4 Equações de Fresnell O plano de incidência da onda é o plano definido pelos três vectores de onda k : da onda incidente, da reflectida e da refractada. E i k i q i q r k r E r As intensidades das ondas dependem então das seguintes três quantidades: y. z û n x b n i n t I i( E i,k i, qi ), I r( E r,k r, qr ), I t( E t,k t, qt ) q t k t E t 8

9 Aula anterior No caso de E plano de incidência: 21.4 Equações de Fresnell As duas últimas equações conduzem a: ni nt n cos i i cos t 2 cos i Eor i t Eot i q q q e E n n E n n cosq cosq cosq cosq oi i t oi i t i i i t i t O símbolo representa a componente perpendicular ao plano de incidência. Estas equações são as chamadas equações de Fresnell e, na maior parte dos casos, tem-se i t o. Se r for o coeficiente de reflexão e t o de transmissão, vem: E n cosq n cosq E 2n cosq r e t E n cosq n cosq E n cosq n cosq or i i t t ot i i oi i i t t oi i i t t Note que t - r = 1. 9

10 Aula anterior 21.4 Equações de Fresnell No caso de E plano de incidência: Se ambos os meios de propagação não forem magnéticos, então i t o e os coeficientes de amplitude vêm n cosq n cosq 2n cosq r e t q q q q t i i t i i ni cos t nt cos i ni cos t nt cos i Usando a lei de Snell n senq n senq i i t t as equações de Fresnel vêm sen( q q ) tg( q q ) r e r, sen( q q ) tg( q q ) i t i t i t i t 2senq cosq 2senq cosq t e t sen( q q ) sen( q q )cos( q q ) t i t i i t i t i t Note que t - r = 1 se verifica para qualquer q i, enquanto t + r = 1 só é válida para a incidência normal q i = 0. 10

11 22.1 Espelhos planos Qualquer ponto P de um objecto actua como uma fonte pontual de luz, produzindo raios que são reflectidos pelo espelho em diferentes direcções. A reflexão de cada um desses raios pode ser construída usando as leis da reflexão. Os raios reflectidos podem ser extrapolados para o ponto P (atrás do espelho), donde parecem ser emitidos. Este ponto P é a imagem virtual do ponto P. Da figura (c) é possível ver que a distância s entre o objecto e o espelho e a distância s entre o espelho e a imagem virtual são iguais. 11

12 22.1 Espelhos planos Se a altura de uma pessoa altura for h, qual é a altura mínima h m do espelho para se conseguir uma imagem completa da pessoa? E qual é a altura t m a que o espelho tem de ser colocado? l1 l2 distância dos olhos ao topo da cabeça. distância do chão aos olhos. h l l m h l l h 1 1 m t l l h l. Espelho plano simulação 12

13 22.1 Espelhos planos Paradoxo: Porque é que um espelho inverte a esquerda e a direita e não o topo e a base? O espelho não inverte nem a esquerda/direita nem o topo/base. O espelho inverte a frente e as costas: isto tem o efeito de, por exemplo, transformar a imagem da mão direita numa mão esquerda. Note que após a reflexão se tem ˆi ˆj kˆ 13

14 22.1 Espelhos planos Reflexões múltiplas: imagens formadas por dois (ou mais) espelhos. P 1 é a imagem do objecto P no espelho 1 e P 2 é a imagem do objecto no espelho 2. O ponto P 12 é a imagem de P 1 no espelho 2, o que pode ser visto como os raios que se reflectem primeiro no espelho 1 e depois no 2. A imagem P 2 não tem uma imagem no espelho 1 porque está atrás deste espelho. 14

15 22.2 Espelhos curvos (esféricos) Se um espelho for formado por uma superfície esférica, os raios paralelos a distâncias diferentes do seu centro convergem para pontos diferentes. A este fenómeno chama-se aberração esférica. Se a superfície for parabólica, esta aberração não se verifica quando os objectos estão suficientemente distantes. No entanto, se o espelho for constituído por uma parte pequena de uma superfície esférica (de modo a que a aproximação dos pequenos ângulos seja válida) os raios paralelos vãose focar num ponto à distância r/2, em que r é o raio de curvatura do espelho. Este ponto chama-se ponto focal f ou foco. 15

16 22.2 Espelhos curvos (esféricos) Só os raios que atingem o espelho esférico perto do eixo (linha AV ) são reflectidos para a imagem P. Estes raios (quase paralelos ao eixo) são chamados raios paraxiais. Os raios que atingem o espelho esférico em pontos longe do eixo são reflectidos para perto da imagem mas não exactamente para P. Estes raios causam o efeito da aberração esférica. Um espelho parabólico foca os raios paralelos para o mesmo ponto, mas, mesmo assim, pode-se verificar alguma distorção para imagens fora do eixo. 16

17 22.2 Espelhos curvos (esféricos) Para os espelhos curvos, pode-se construir geometricamente a imagem usando um determinado conjunto de raios: 1. Um raio paralelo ao eixo principal desde o objecto até ao espelho é reflectido e passa no foco. 2. Um raio desde o objecto passando pelo foco vai ser reflectido paralelamente ao eixo principal do espelho. 3. Um raio desde o objecto ao longo do raio vai ser reflectido ao longo do raio. 4. Um raio (a traço interrompido) para o centro do espelho (A) vai ser reflectido com um ângulo igual (e oposto). 5. A imagem forma-se na intersecção destes pontos

18 22.2 Espelhos curvos (esféricos) Quando o objecto está a uma distância do espelho superior à distância focal F deste, forma-se uma imagem real e invertida. Imagem real significa que se forma do lado espelhado do espelho (no ponto I ) e não atrás deste. Imagem invertida significa que a sua orientação é contrária à do objecto. 18

19 22.2 Espelhos curvos (esféricos) Espelho curvo simulação Quando o objecto está a uma distância do espelho inferior à distância focal F deste, forma-se uma imagem virtual e direita. Imagem virtual significa que a imagem se forma atrás do espelho (no ponto I). Imagem direita significa que tem a mesma orientação do objecto. Note-se que, neste caso, a imagem pode ser ampliada relativamente à dimensão do objecto. 19

20 22.2 Espelhos curvos (esféricos) Equações dos espelhos: q q I C O s r s 0 L q; 2q 2 L L L ; ; s' r s s s' r f 20

21 22.2 Espelhos curvos (esféricos) Equações dos espelhos: y' y s s Ampliação m : s s' r f y' s' m y s 21

22 Exemplo: espelho côncavo Uma fonte pontual está a 12 cm de um espelho côncavo e 3 cm acima do eixo do espelho. O raio de curvatura do espelho é de 6 cm. Determine: a) a distância focal do espelho; b) a distância da imagem; c) a posição da imagem relativa ao eixo a) b) CV r 6 cm; s 12 cm; r f 3 cm; ; s' 4 cm; s s' f f s 3 cm 12 cm c) s' ( 4 cm ) y' m y y ( 3 cm ) 1 cm s (12 cm ) 22

23 22.3 Espelhos convexos (esféricos) Os espelhos convexos apresentam um foco virtual, no qual os raios reflectidos divergem mas cujos prolongamentos para trás do espelho se encontram no ponto focal F. A imagem formada é virtual e direita com uma ampliação inferior a 1. s s 23

24 Exemplo: espelho convexo Um objecto com 2 cm de altura está 10 cm de um espelho convexo cujo raio de curvatura é também de 10 cm. Determine: a) a posição da imagem; b) a altura da imagem. a) C r 10 cm; f r / 2 5 cm; s 10 cm; ; s' 3,3 cm; s s' f f s' 5 cm 10 cm b) s' ( 3,3 cm ) y' m y y ( 2 cm ) 0,66 cm s (10 cm ) 24

25 22.4 Imagens formadas por refracção n n n n s s' r

26 Exemplo: espelho convexo A imagem que o peixe vê do gato estámais afastada do que a realidade. O peixe está num aquário esférico com 15 cm de raio cheio de água com n água =1,33. O gato está sobre uma mesa com o nariz a 10 cm do aquário. A luz do gato é refractada pela fronteira ar-água e forma uma imagem. Determine: a) a distância s a que a imagem é formada; b) a ampliação do nariz do gato. a) n n n n s s' r b) 1 n2 n2 1 s s' r 1 1 n ,33 1 s' n 2 (1,33 ) 17,1 cm r s 15 cm 10 cm 2 117,1 cm n1 s' m 1,29 n s 1,33 10 cm 26

27 22.5 Lentes finas (f>0) (f<0) Quando um feixe de raios paralelos passa por uma lente convergente, os raios convergem para o ponto focal f da lente. A imagem formada é real e é a imagem de um objecto no infinito (raios paralelos). Quando um feixe de raios paralelos passa por uma lente divergente, os raios divergem mas os seus prolongamentos para trás da lente encontramse no ponto focal (virtual) da lente. A imagem assim formada é virtual. 27

28 22.5 Lentes finas Lentes convergentes: Lentes simulação 28

29 22.5 Lentes finas Lentes convergentes: Equação dos fabricantes de Lentes: 1 n f n r r ar 1 2 Lentes finas: s s f Ampliação: y' s' m y s 29

30 22.5 Lentes finas Lentes divergentes: 30

31 22.6 Lentes grossas 1 n n 1 ; (primeira superfície) s s ' R n 1 1 n ; (segunda superfície) t s ' s ' R Se t s 1' (lentes finas), ( n 1) s s ' R R Lentes finas: s s' f Equação dos fabricantes de Lentes: ( n 1) f R R

32 22.7 Convenções 32