SISTEMAS ESTRUTURAIS
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- Kléber Arruda Fortunato
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1 1 SISTEMS ESTRUTURIS postila 1: Sistemas Estruturais: plicações Prof. Engº Civil Ederaldo da Silva zevedo Macapá, Setembro de 2013
2 2 1. VIGS ISOSTÁTIC 1.1. Cálculo das Reações Como já vimos, as reações de apoio se opõe à tendência de movimento devido às cargas aplicadas, resultando um estado de equilíbrio estável. Nas estruturas isostáticas constituídas por uma única chapa, o número de equações de equilíbrio disponíveis é igual ao número de incógnitas, possibilitando o cálculo das reações de forma muito simples. ssim, relembrando o dado na apostila 1, supondo a estrutura no plano xy, as condições de equilíbrio é dado pelas equações: y (0,0)a x Onde Fx e Fy são as componentes das forças aplicadas em relação aos eixos x e y, respectivamente e; M o módulo do momento das forças em relação a um ponto qualquer do plano. Poderão ser usadas, nos problemas práticos, também como condições de equilíbrio, três equações de momentos, desde que relativas a pontos não pertencente à mesma reta(pontos não colineares):
3 3 Equações de momentos Onde a, b e c são não colineares Exemplos de plicação a) Determinação das reações de apoio: s Incógnitas (reações de apoio) são determinadas pelas equações de equilíbrio e como são três equações normalmente são suficientes. técnica para cálculo de reações consiste em isolar, inicialmente, a estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos movimentos restringidos os esforços incógnitos(encontrar o valor) correspondentes. O método para determinação das reações de apoio adotado segue um roteiro de 04 passos: 1º identificar e destacar dos sistemas os elementos estruturais que serão analisados. Desenhar o modelo estrutural (ME); 2º traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a ser analizado; O DCL consiste em isolar a estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos movimentos restringidos os esforços incógnitos correspondentes. 3º determinar um sistema de referência (SR) para a análise(xy); 4º estabelecer as equações de equilíbrio da estática (EE);
4 4 Exemplo 1: Viga isostática com carga distribuída simétrica. Modelo Estrutural (ME) Diagrama de Corpo Livre (DCL) q= 1 KN/m Rv1 Rv2 Equações de Equilíbrio (EE) RH=0 RV1 RV2 q.l = 0 (Para se fazer um somatório de momentos, é necessário escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado dentro do sistema de referência adotado. Para maior facilidade é necessário conveniente que esse ponto coincida com um ponto localizado sobre o modelo estrutural onde houver maior número de incógnitas. No exemplo em análise o ponto a ser escolhido é o ponto. escolha do ponto para determinação dos momentos é um passo muito importante, pois dependendo do ponto escolhido, a resolução do problema pode ser simplificada ou muito complicada.) ssim, (RH1.0) (RV1.0) (RV2.L) (q.l.l/2)=0 q.l²/2- RV2.L=0 (multiplicando 1/L) q.l/2 RV2=0 RV2= ql/2
5 5 Substituindo RV2 na equação RV1 ql/2 ql =0 RV1 = ql/2 Respostas: RV1=qL/2; RV2=qL/2; RH=0 Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no centro da viga. Modelo Estrutural (ME) P Diagrama de Corpo Livre (DCL) P= kn Rv1 Rv2 Equações de Equilíbrio (EE) RH=0 RV1 RV2 P = 0 RV1 = P RV2 (RH1. 0) (RV1.0) (RV2.L) (P.L/2) = 0
6 6 P.L/2 RV2.L=0 Multiplicando 1/L para simplificar RV2=P/2 Substituindo RV2 na equação RV1=P RV2 RV1=P/2 Respostas: RV1= P/2; RV2= P/2; RH=0 Exemplo 3: Viga isostática com carga distribuída e uma concentrada no centro da viga. Modelo Estrutural (ME) P q= 1 KN/m Diagrama de Corpo Livre (DCL) P= kn Rv1 Rv2 Equações de Equilíbrio (EE) RH=0 RV1 RV2 q.l - P = 0 RV1 RV2= P ql
7 (RH1. 0) (RV1.0) (RV2.L) (q.l.l/2) (P.L/2) = 0 P.L/2 q.l²/2 RV2.L =0 multiplicando 1/L para simplificar P/2 q.l/2 RV2 =0 RV2 = P/2 ql/2 Substituindo RV2 na equação RV1 RV2 = P ql RV1=P/2 ql/2 Respostas: RV1= P/2 ql/2; RV2= P/2 ql/2; RH=0 7 nálise dos resultados obtidos nos três exemplos anteriores: 1. reação de apoio horizontal em todos os casos é igual a zero, porque não existe, no modelo em análise, nenhuma força horizontal ativa; 2. Quando uma viga está submetida a uma carga uniformemente distribuída, as reações de apoio são iguais; RV1=RV2=q.L/2 3. Quando a viga está submetida a uma carga concentrada no meio do seu vão, as reações de apoio também são iguais; RV1=RV2=P/2 4. Quando a viga estiver submetida a uma carga uniformemente distribuída e a uma carga concentrada no meio do seu vão, as reações de apoio são iguais ao somatório das reações dos dois casos anteriores. RV1=RV2= ql/2 P/2 Isso acontece devido ao princípio da superposição de efeitos. Esse princípio diz que, quando existir linearidade entre as forças que atuam no sistema, quer dizer, quando as ações de uma carga não afetam as reações da outra, as cargas que atuam no sistema se somam, e seus efeitos também.
8 5. s cargas uniformemente distribuídas são concentradas a um determinado ponto. Esse ponto deve ser o baricentro da área de atuação da carga. No caso de cargas uniformemente distribuídas de seção constante, o baricentro é exatamente o centro do espaço de atuação da carga.(abaixo) 6. Em cargas triangulares, o baricentro está localizado a 1/3 do lado maior.(abaixo) 8 q= KN/m = P= q.l q2= KN/m q1= KN/m P1= q1.l P2= q2.l = q = P= q.l/2
9 9 Exercícios Resolvidos: 1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de vão submetida ao carregamento de carga concentrada de 60KN aplicada no seu centro. Modelo Estrutural (ME) 60 kn RESOLUÇÃO: Diagrama de Corpo Livre (DCL) P= 60 kn Rv1 Rv2 - Equações de Equilíbrio (EE) RH=0 RV1 RV2 60 = 0 RV1 RV2= 60 (RH1. 0) (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=180 RV2=180/6 RV2=30 kn
10 10 Substituindo RV2 na equação RV1 RV2= 60 RV1 30 = 60 RV1 = 30 kn Respostas: RV1= 30 kn; RV2= 30 KN; RH=0 Diagrama com as Cargas tivas e Reativas =0 P= 60 kn Rv1=30 kn Rv2=30 kn 2. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de 8KN/m por todo o vão.
11 11 Modelo Estrutural (ME) q= 8 KN/m RESOLUÇÃO: Diagrama de Corpo Livre (DCL) q= 8 KN/m Rv1 Rv2 - Equações de Equilíbrio (EE) RH=0 RV1 RV2 (8.6) = 0 RV1 RV2= 48 (RH1. 0) (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=144 RV2=144/6 RV2= 24 kn Substituindo RV2 na equação RV1 RV2= 48 RV1 24 = 48 RV1 = 24 kn Respostas: RV1= 24 kn;
12 12 RV2= 24 KN; RH=0 Diagrama com as Cargas tivas e Reativas q= 8 KN/m =0 Rv1=24 kn Rv2=24 kn 3. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga parcialmente distribuída, de 6KN/m a partir do primeiro terço do vão. Modelo Estrutural (ME) q= 6 KN/m RESOLUÇÃO: Diagrama de Corpo Livre (DCL) q= 6 KN/m Rv1 Rv2 - Equações de Equilíbrio (EE) RH=0
13 13 RV1 RV2 (6.4) = 0 RV1 RV2= 24 (RH1. 0) (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=96 RV2=96/6 RV2= 16 kn Substituindo RV2 na equação RV1 RV2= 24 RV1 16 = 24 RV1 = 8 kn Respostas: RV1= 8 kn; RV2= 16 KN; RH=0 =0 Diagrama com as Cargas tivas e Reativas q= 6 KN/m Rv1= 8 kn Rv2= 16 kn 4. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida ao carregamento de carga distribuída triangular, sobre todo o vão com 6KN/m na extremidade direita.
14 14 Modelo Estrutural (ME) q= 6 kn/m 6,00 m RESOLUÇÃO: Diagrama de Corpo Livre (DCL) R=área do triangulo R= 6 X 6/2 = 18 kn q= 6 kn/m Rv1 4,00 m 6,00 m Rv2 2,00 m - Equações de Equilíbrio (EE) RH=0 RV1 RV2 (6.6/2) = 0 RV1 RV2= 18 (RH1. 0) (RV1.0) RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=72 RV2=72/6 RV2= 12 kn Substituindo RV2 na equação RV1 RV2= 18 RV1 12 = 18 RV1 = 6 kn
15 15 Respostas: RV1= 6 kn; RV2= 12 KN; RH=0 Diagrama com as Cargas tivas e Reativas R= 6 X 6/2 = 18 kn Rv1= 6 kn Rv2= 12 kn 4,00 m 2,00 m 6,00 m 5. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento submetida a um momento externo(carga momento) de 30 knm no sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda. Modelo Estrutural (ME) M= 30kN.m RESOLUÇÃO: Diagrama de Corpo Livre (DCL) M= 30kN.m Rv1 Rv2 - Equações de Equilíbrio (EE)
16 16 RH=0 RV1 RV2 = 0 RV1 = - RV2 (RH1. 0) (RV1.0) 30 - RV2.6 = RV2.6 =0 6RV2=30 RV2=30/6 RV2= 5 kn Substituindo RV2 na equação RV1 = - RV2 RV1 = -5 RV1 = - 5 kn Respostas: RV1= - 5 kn; RV2= 5 KN; RH=0 Obs.: O sinal negativo de RV1 indica que o sentido correto da reação é o oposto ao inicialmente arbitrado. Uma solução mais refinada seria obtida observando-se que, para equilibrar o momento aplicado na viga, as reações verticais teriam que ser equivalentes a um binário, de mesma intensidade e sentido contrário, Fig. abaixo.
17 17 Diagrama de Cargas tivas e Reativas M= 30kN.m =0 5 kn 5 kn 6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kn na sua extremidade. P= 20 kn RESOLUÇÃO: Diagrama de Corpo Livre (DCL) Ma Rv1 20 kn -
18 18 Equações de Equilíbrio (EE) RH=0 RV1 20 = 0 RV1 = 20 KN (RH1. 0) (RV1.0) Ma 20.4 = Ma 80 =0 Ma = - 80 knm Obs.: O sinal negativo de Ma indica que o sentido adotado deste momento foi errado portanto o sentido correto é o anti-horário. =0 Diagrama com Cargas tivas e Reativas Ma=80kNm Rv1=20kN 20 kn 7. Calcule as reações de apoio para uma viga bi-apoiada de 6m de vão, submetida a uma carga distribuída de 8 kn/m, com um balanço de 2m na extremidade esquerda submetida a um momento externo(carga momento) de 20 knm no sentido anti-horário localizado à cinco metros do apoio esquerdo e uma carga concentrada de 10 kn na extremidade.
19 19 Modelo Estrutural (ME) q= 8 KN/m M=20kNm 10 kn RESOLUÇÃO: Diagrama de Corpo Livre (DCL) Rv1 R=8.4=32kN q= 8 KN/m M=20kNm Rv2 10 kn - RH=0 RV1 RV = 0 RV1 RV2 = 42 (RH. 0) (RV1.0) RV = RV =0 6RV2= RV2=36/6
20 20 RV2= 6 kn Substituindo RV2 na equação RV1 RV2= 42 RV1 6 = 42 RV1 = 36 kn Diagrama de carga ativa e reativa =0 Rv1=36 q= 8 KN/m M=20kNm Rv2=6 10 kn Respostas: RV1= 36 kn; RV2= 6 KN; RH=0 8. Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo: 4 KN/m 3 kn
21 - 21 RESOLUÇÃO: Diagrama de Corpo Livre (DCL) R=4.4=16 KN 3 kn Rv1 - Rv2 Equações de Equilíbrio (EE) 3 - RH=0 RH= 3 KN RV1 (4. 4,0) RV2 = 0 RV1 RV2 = 16 KN (RV1. 9) (3.1,5) - (16.7).0 Rv2.0) =0 9RV1 4, =0 9RV1=107,5 RV1=11,94 KN Substituindo RV1 na equação RV1 RV2= 16 11,94 RV2 = 16 RV2 = 4,06 kn Respostas: RV1= 11,94 kn; RV2= 4,06 KN; RH=3 KN
22 Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico abaixo: 5 kn 10 kn 5 kn Diagrama de Corpo Livre (DCL) 5 kn 10 kn 5 kn Rv1 Rv2 - Equações de Equilíbrio (EE) RH=0 RH= 0 RV RV2 = 0 RV1 RV2 = 20 KN (RV1. 16) - (5.12) - (10.8) (5.4).0 Rv2.0=0
23 23 16RV =0 16RV1=160 RV1=10 KN Substituindo RV1 na equação RV1 RV2= RV2 = 20 RV2 = 10 kn Respostas: RV1= 10 kn; RV2= 10 KN; RH= 0 KN REFERÊNCIS: LMEID, Maria Cascão Ferreira de. Estruturas isostáticas. São Paulo: Oficina de Textos, MCHDO JÚNIOR, Eloy Ferraz. Introdução à isostática. São Carlos: EESC/USP, 1999, SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: estruturas isostáticas. 5.ed. Rio de Janeiro: Globo, V. 1. VIERO, Edison Humberto. Isostática: passo a passo. 2. Ed. Caxias do Sul, RS: Educs, 2008.
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