UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GEOMETRIA ANALÍTICA ASSUNTO: CÔNICAS. Usando a definição de parábola determinar, em cada um dos itens a seguir, a equação da parábola a partir dos elementos dados. (a) Foco (, ), diretriz x = 0. (b) Foco (, -5), diretriz y = 0. (c) Vértice (, 0), foco (0, 0). (d) Foco (-, ), diretriz x + y 5 = 0.. Determine a equação da parábola cujo vértice e foco são, respectivamente, os pontos (, ) e (, ). Determinar também a equação de sua diretriz e o comprimento de seu latus rectum.. Em cada um dos itens a seguir, determinar as coordenadas do vértice e do foco, as equações da diretriz e do eixo focal e o comprimento do latus rectum. (a) y 8x 0y = 7. (b) 9x + x + 7y + 6 = 0. (c) y + x = 7. (d) x + 8y + x = 59.. Um cometa se desloca numa órbita parabólica tendo o Sol como o foco. Quando o cometa está a.0 7 km do sol (figura ), a reta que os une forma um ângulo de 60 o com o eixo da órbita. Determine a menor distância que o cometa se encontra do Sol. C y 60 o S x Figura

2 5. Determinar a equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo X e que passa pelos pontos (0, 0), (8, -) e (, ). 6. Diz-se que uma reta é tangente a uma parábola quando tem um único ponto em comum com ela e não é paralela ao eixo focal. Mostre que a reta y = 7x é tangente à parábola y = x + x + no ponto (, ). 7. Seja P = (m,am ) um ponto da parábola y = ax. Prove que a única reta não-vertical (portanto não-paralela ao eixo focal da parábola) que tem apenas o ponto P em comum com essa curva é y = am + am(x m). 8. Dados um ponto F, uma reta quem não contém o ponto F e um n o positivo e, seja X o conjunto dos pontos do plano tais que: d(p,f) d(p, ) = e. Prove: (a) Se 0 < e < então X é uma elipse. (b) Se e > então X é uma hipérbole. (c) Se e = então X é uma parábola. 9. Determinar a expressão para a família de funções quadráticas de x cada uma das quais tendo um valor máximo quando x =. 0. A soma dos comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo é constante e igual a polegadas. Determinar os comprimentos dos catetos se a área do triângulo deve ser máxima.. A soma de dois números é 8. Determinar estes números se a soma de seus quadrados deve ser mínima.. O perímetro de um retângulo é 0 polegadas. Determinar suas dimensões se sua área deve ser máxima.. Determinar o número que excede seu quadrado pela maior quantidade possível.. Mostrar que dentre todos os retângulos, tendo um perímetro fixo, o de maior área é o quadrado. 5. Determinar em cada equação dada da elipse, as coordenadas dos vértices e focos, as coordenadas do centro, os comprimentos dos eixos maior e menor, a excentricidade e o compriemnto do latus rectum. Desenhar e discutir o lugar geométrico. (a) x + 9y = 6. (b) x + y 6x + 6y + = 0. (c) 9x + y 8y = Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices é o ponto (0, 7). Se a elipse passa pelo ponto ( 5, ), determinar sua equação e excentricidade.

3 7. Determinar os comprimentos dos raios focais do ponto (, 7 ) sobre a elipse 7x + 6y =. 8. Determinar em cada um dos itens a seguir, usandoa definição de elipse, a equação da elips e a partir dos elementos dados. (a) Focos (, 8) e (, ); comprimento do eixo maior igual a 0. (b) Vértices (-, -) e (5, -); excentricidade igual a. (c) Vértices (, 6) e (, -); comprimento do latus rectum igual a. (d) Vértices (, 0) e (-, 0); focos (, 0) e (-, 0). (e) Centro (, -); vértice (-, -); foco (-, -). 9. Para cada equação da hipérbole dada a seguir, determinar as coordenadas dos vértices e dos focos, as coordenadas do centro, os comprimentos dos eixos transverso e conjugado, a excentricidade e o comprimento do latus rectum. (a) 9x y = 6. (b) x y x + = 0. (c) x 9y x + 6y = 0. (d) x y + 0x + 78 = Determinar e identificar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que sua distância ao ponto (, ) é sempre igual a três vezes sua distância à reta y + = 0.. A base de um triângulo é fixa, sendo seus extremos os pontos (, 0) e (-, 0). Determinar e identificar a equação do lugar geométrico do vértice oposto se o produto das declividades dos lados variáveis é sempre igual a. Traçar o lugar geométrico.. Uma hipérbole em relação ao sistema x Oy (figura ) tem equação (x ) Determine, em relação ao sistema xoy: y =. (a) as coordenadas dos vértices e focos; (b) as equações das assíntotas; (c) a sua equação. y y x x Figura

4 RESPOSTAS. (a) y x 8y + = 0; y x = 0. (b) x 6x + y + = 0; x + y = 0. (c) y + 8x 6 = 0; y + 8x = 0. (d) x xy + y + x + 6y = 0; y + 5 x = 0.. (x ) = 8(y ); d : y = 5; med(lr) = 8 u.c... (a) (y 5 ) = (x + ); V = (, 5 ); F = (, 5 ); d : x = 5, eixo focal: y = 5, med (LR) = u.c.. (b) (x + ) = 8y; V = (,0); F = (, ); d : y =, eixo focal: x =, med (LR) = 8 u.c.. (c) y = (x 7 ); V = (7,0); F = (,0); d : x = ; eixo focal: y = 0; med(lr) = u.c.. (d) (x + ) = (y 7 );V = (, 7 ); F = (, ); d : y = ; eixo focal ; med(lr) = u.c Km 5. y x + y = Use a definição de reta tangente. 7. Use a definição de reta tangente. 8. Ver LEMANN, Charles. Geoemtria Analítica. 9. ax + ax + a + e a < Cada cateto tem 7 polegadas de comprimento.. e.. Quadrado de 5 polegadas de lado.... Seja a R + e R um retângulo cujos lados medem l u.c e l u.c.. onde l + l = a, Considere A R = área do retângulo R. A R = l (a l ) = l + al. Observe que o gráfico de A R é um parábola e seu vértice é o ponto com coordenadas ( a, a ). Daí o valor máximo para a função área é atingido quando l = a portanto l = l = a. 5. (a) Vértice (, 0) e (-, 0); focos ( 5,0) e ( 5,0); Centro (0, 0); a = 6; b = ; e = 5 ; med(lr) = 8 u.c.. (b) (x ) + (y+) = ; Centro (, -); Vértices (5, -) e (, -); focos (+, ) e (, ); a = ; b = ; e = ; med(lr) = u.c..

5 (c) (x) + (y ) 9 = ; Centro (0, ); Vértices (0, ) e (0, -); focos (0,+ 5) e (0, 5); a = 6; b = ; e = 5 ; med(lr) = 8 u.c.. 6. x 9 + y 9 = e e = e (a) 5x + 6y 50x 60y + 5 = 0 ; x 6 + y 5 =. (b) 7x + 6y x + y 89 = 0; x 6 + y 7 =. (c) x + y 6x y + = 0; x + y 6 =. (d) x 6 + y 7 =. (e) (x ) 6 + (y+) 7 =. 9. (a) Vértices (, 0) e (-, 0); focos (,0) e (,0); a = e b = 6; e = ; med(lr) = 9u.c.. (b) assíntotas: x + y = 0 e x y = 0 (c) (x ) 9 + (y ) = ; Centro (, ); Vértices (5, ) e (-, ); focos ( + 0,) e ( 0,); a = 6; b = ; med(lr) = u.c.; e = 0 ; assíntotas :x + y 8 = 0 e x y + = 0. (d) y (x+5) ; Centro (-5, 0); Vértices ( 5, ) e ( 5, ); focos (-5, ) e (-5, -); a = ; b = ; med(lr) = u.c. e e = ; assíntotas; + y + 5 = 0 e y + 5 = 0 0. x 8y 6x y + = 0.. x y = 6.. a) V (,); V (0,0); F ( ( + ), + ); F ( ( ), ) b) r: ( )y + ( + )x = 0; s:( + )y + ( )x = 0 c) ( x+y ) 6 ( y x) 6 = BIBLIOGRAFIA.LEMANN, Charles. Geoemtria Analítica..LIMA, Elon Lages. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária. SBM.. Lista de exercícos: Geometria Analítica. UFBA. DCET). Esta lista foi elaborada e confeccionada pela Prof a Cláudia Ribeiro Santana (UESC- 5

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