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1 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por f : A B (lê-se f de A em B ). Alternativamente temos a útil notação de Euler para funções: y = f(x), que pode ser lida como y é uma função de x (isto é, y depende de x) ou ainda y é o valor da função em x, recordando que x pertencente a A e y a B; y é chamada variável dependente e x variável independente da função, ou apenas variável. Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). Prove que a relação x 2 + y 2 = 1 não é uma função. Devemos isolar y na expressão acima. Isolando y 2 primeiramente, vamos obter y 2 = 1 x 2 Tomando a raiz quadrada de ambos os lados da igualdade, obtemos y = (1 x 2 ) 1/2 o que nos leva a duas expressões para y: y = (1 x 2 ) 1/2 e y = (1 x 2 ) 1/2 Isto é, a um único valor de x estão associados dois valores distintos de y, e não apenas um. Portanto, a relação não é uma função. Notas: y é o módulo (valor absoluto) de y; a raiz quadrada de um quadrado de y é o módulo de y; a raiz quadrada de um número pode ser expressa como potência com expoente 1/2.

2 O gráfico de uma função é todo o conjunto de pares ordenados (x,y) gerados por uma função. O gráfico pode ser graficamente representado num plano com dois eixos, cada um representando cada uma das coordenadas dos pares (x e y). Este plano é chamado plano cartesiano. Cada par ordenado representa um ponto no plano cartesiano. Nota: os conceitos de pares ordenados, relação e função já foram introduzidos em Conjuntos. 5.2 FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU Uma função de primeiro grau é toda função da forma f(x) = ax + b em que: a é uma constante numérica real não nula denominada coeficiente angular; e b é uma constante numérica real denominada coeficiente linear. Exemplos: f(x) = 2x + 1 (a = 2 e b = 1) f(x) = 2x + 1 (a = 2 e b = 1) f(x) = x 1/3 (a = 1 e b = 1/3) y = x (a = 1 e b = 0) y = 2x/3 3 (a = 2/3 e b = 3) O gráfico de uma função de 1o. grau é sempre uma reta. O sinal do coeficiente angular indica a inclinação da reta: ascendente da esquerda para a direita se for positivo e descendente se for negativo. Já o coeficiente linear indica o valor de y sobre o qual a reta cruza o eixo y. Dada a função y = 2x + 1/2, determine: a) f(4) b) o valor da variável x para que a função seja nula. a) f(4) é o valor da função quando a variável tem valor 4, isto é, f(4) = 2(4) + 1/2 = = 8 + 1/2 = = 16/2 + 1/2 = = 15/2 b) a função é nula quando y = f(x) = 0 para um certo valor de x. Então devemos

3 impor 0 = 2x + 1/2 e resolver para x. Isto é, temos uma equação em x. Segue que 2x = 1/2, logo x = 2(1/2) = 1 Por meio da Equação Geral da Reta determinamos a forma explícita da função de 1o. grau a partir de dois pares ordenados (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) dados da função: y y1 = a(x x1) ou, alternativamente, y y2 = a(x x2), em que o coeficiente angular é dado por a = (y2 y1)/(x2 x1) As duas formas acima são válidas, a depender do ponto que se utiliza como referência, (x 1, y 1 ) ou (x 2, y 2 ). Na EGR, y é o valor da função e x é a variável. Determine a função de primeiro grau que satisfaça as condições f( 1) = 1 e f(4) = 9. Determinamos primeiro os pares ordenados correspondentes às duas condições. De f( 1) = 1 temos (x 1, y 1 ) = ( 1, 1) e de f(4) = 9 temos (x 2, y 2 ) = (4, 9). Em seguida obtemos o coeficiente angular: a = ( 9 ( 1) ) / ( 4 ( 1) ) = (9 + 1) / (4 + 1) = 10/5 = 2 Na sequência aplicamos a equação geral da reta; vamos adotar o ponto (x 1, y 1 ) como referência: y ( 1) = 2 (x ( 1))

4 De onde obtemos y + 1 = 2 (x + 1) Isolando y: y = 2 (x + 1) 1 = = 2x = = 2x + 1 Portanto, a função é y = f(x) = 2x + 1. De fato, para esta função se verificam f( 1) = 1 e f(4) = FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU Uma função de segundo grau é toda função da forma f(x) = ax 2 + bx + c, em que os coeficientes a, b e c são constantes numéricas reais; a não deve ser nulo. Exemplos: f(x) = x 2 x + 2 (a = 1, b = 1 e c = 2) f(x) = x + 3x 2 (a = 3, b = 1 e c = 0) f(x) = 1 + 2x 2 /3 (a = 2/3, b = 0 e c = 1) Nota: deve-se prestar atenção à ordem da soma dos termos da função. O coeficiente a se encontra no termo quadrático da variável, o coeficiente b no termo linear (proporcional à variável) e o c é a constante isolada. Se um termo não aparece, é porque seu coeficiente é nulo. O gráfico de uma função do 2o. grau é sempre uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a : para cima (a função tem um mínimo) quando é positivo e para baixo (a função tem um máximo) quando é negativo. O coeficiente c determina o valor de y onde a curva intersecta o eixo y. Os dois pontos onde a curva pode intersectar o eixo x são chamados raízes da função de segundo grau e são determinadas pela famosa fórmula de Baskara. Eventualmente uma parábola pode não intersectar o eixo x, situação em que as soluções de Baskara não são números reais. O máximo ou mínimo da função ocorre no vértice da parábola. As coordenadas do

5 vértice são dadas pelas fórmulas x* = b / (2a) e y* = (b 2 4ac)/(4a) Uma empresa constatou que o número de unidades n de seu principal produto vendidas ao mês em função do preço unitário p varia conforme a função n(p) = 10p Determine: a) a função de segundo grau que representa a receita de vendas mensais r(p) b) o valor do preço que maximiza a receita c) a receita máxima e o número de unidades vendidas quando isso ocorre a) a receita mensal, neste caso, nada mais é do que o número de unidades vendidas ao mês multiplicado pelo preço unitário, isto é r(p) = n(p). p = = ( 10p + 100)p = = 10p p b) note que a função encontrada tem coeficiente a = 10, portanto negativo. Isso significa que, no gráfico dessa função, a concavidade da parábola está voltada para baixo e, consistentemente, a receita tem um valor máximo. Para encontrá-lo devemos determinar o vértice dessa parábola, pois é no vértice que se encontra o máximo da receita e também o valor do preço associado. Como a variável dessa função é o preço p, devemos aplicar a fórmula para a coordenada x do vértice: p* = b/(2a) = = (100)/(2. ( 10)) = 100/( 20) = = 5 Note que b = 100 e c = 0 para a função r(p). c) Para encontrar a receita máxima podemos seguir dois caminhos: ou determinar r* aplicando a fórmula para a coordenada y do vértice ou calcular r(p*), isto é, o valor da função receita para o preço que a maximiza. Os valores são iguais. Assim, temos r* = (b 2 4ac)/(4a) = = ( ( 10)(0) ) / ( 4( 10) ) = = (10000)/( 40) =

6 ou = 250 r(p*) = 10(p*) p* = r(5) = 10(5) (5) = = 10(25) + 100(5) = = = = 250 Já o número de unidades mensais vendidas quando o preço unitário é aquele que maximiza a receita é dado por n(p*) = 10p* = n(5) = 10(5) = = = = 50

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