CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 1 Grau. Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função do 1 Grau Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção

2 Funções Na linguagem do dia a dia é comum ouvirmos frases como: Uma coisa depende da outra ou Uma está em função da outra. A ideia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. 2/35

3 Funções o A máquina de dobrar Entrada ,5 5 x Dobrar Saída x o Nesse caso, temos: O número de saída n é igual a duas vezes o número de entrada x. A lei da função é n = 2x. 3/35

4 Domínio de uma função Dada uma função f de A em B, o conjunto A chamase domínio da função, pois representa as entradas para a função f. Ou seja, os valores que podem ser usados na função. O domínio da função indicaremos por D(f) /35

5 Imagem de uma função Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos os valores de y obtidos através de x é chamado de conjunto imagem da função f. Ou seja, ele é o resultado de f(x), que representa os valores reais obtidos quando aplicamos um x do domínio na função e é indicado por Im(f) /35

6 Para que serve mesmo o domínio de uma função? Como vimos o domínio de uma função representa as entradas para a função, ou seja, os valores que podem ser usados na função. Façamos um paralelo entre essa definição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo: Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmos x como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retornar um resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte do domínio da função (liquidificador). 6/35

7 Para que serve mesmo o domínio de uma função? Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a função liquidificador não poderá processar esse x (pedra), NÃO sendo possível obter f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte do domínio da função (liquidificador). 7/35

8 Função do 1 grau Como uma função é uma forma de relacionar duas, ou mais grandezas, observamos uma função entre cada período e o número de filhos por mulher. Em nosso cotidiano, podemos observar inúmeros exemplos de funções: Velocidade de um carro em função do tempo; Lucro de uma empresa em função de sua produtividade; Consumo de combustível de um avião em função da velocidade. 8/35

9 Função do 1 grau Se (A,B) pertence a uma função f, o elemento B é chamado imagem de A pela aplicação de f ou valor de f no elemento A. f ( A) B f: A B Lê-se: f é função de A em B. y = f(x) Lê-se: y é função de x, com x A e y B. 9/35

10 Função do 1 grau A remuneração de um vendedor de uma loja é feita em duas parcelas: uma fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável, correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas realizadas na semana. R(x) = ,12. x Função polinomial do 1º Grau f:r R, sendo f(x) = ax + b com a, b R e a 0. 10/35

11 Função do 1 grau Seja f a função de R em R definida por f ( x) 3x 2. Calcule : a) b) c) d) f(2) f(-3) f( f 3) /35

12 Funções do 1 Grau Características importantes da função do 1º grau: F(x) = ax + b Coeficiente angular: o coeficiente a é denominado coeficiente angular. Coeficiente linear: o coeficiente b é denominado coeficiente linear. A função do primeiro grau é crescente em R quando a > 0 e decrescente em R quando a < 0. 12/35

13 Funções do 1 Grau Para função f(x) = 2x + 4. O coeficiente angular a é o número 2; O coeficiente linear b é o número 4. Como a>0, a função é crescente em R. Para função f x = 2 3 x O coeficiente angular a é o número 2 3 ; O coeficiente linear b é o número 1 2. Como a<0, a função é decrescente em R. 13/35

14 Casos Particulares Função Identidade: f(x) = x Função Linear: a função polinomial do 1º grau em que o termo b é nulo (b = 0) passa a ser chamada de função linear e tem forma: f x = ax. Exemplos: y = 3x Fazer exemplos no GeoGebra!! y = 2 3 x y = 2x A função linear sempre é representada por uma reta! 14/35

15 Casos Particulares Função Constante: Caso o termo a seja nulo (a = 0) na expressão f(x) = ax + b e b R, a função f não é uma função do primeiro grau e tem a forma f(x) = b. Exemplo: f x = 3 y = 7 y = 0 f x = /35

16 Função Afim, Definição: Uma aplicação f de R em R recebe o nome de 'função afim ' quando a cada elemento x pertencente a R estiver associado o elemento ( ax b) pertencente a R com a 0. 16/35

17 Função Afim, Definição: f : R x R ax b, a 0 a é o coeficiente angular da reta. 17/35

18 Praticando! 1) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular igual a 2. 2) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2,1) e tem coeficiente linear igual a 4. 18/35

19 Praticando! 1) Obtenha a equação da reta com coeficiente angular igual a -1/2 e passando pelo ponto (-3,1). 2) Obtenha a equação da reta com coeficiente linear igual a -3 e passando pelo ponto (-3,-2). 19/35

20 Raiz ou Zero da função Raiz ou zero da função é um valor do seu domínio cuja imagem é zero. Em resumo, é o valor de x para que y seja nulo (y = 0). Sendo y = f(x) = ax + b, com a 0, tem-se: x é zero ou raiz de f f x = 0 Assim, ax + b = 0, que apresenta uma única solução, nos leva a x = b para a 0. a 20/35

21 Raiz ou Zero da função Exemplo: Seja a função y = 2x 4. Para obtermos sua raiz ou zero, faremos y = 0. 2x 4 = 0 2x = 4 x = 2 21/35

22 Taxa de variação média ou inclinação Considerando uma função numérica f, sendo x 1 e x 2 dois elementos de seu domínio e x 2 > x 1. A taxa de variação média entre x 1 e x 2 da função f em relação a x pode ser expressa pelo quociente: A B = y 2 y 1 x 2 x 1. 22/35

23 Taxa de variação média ou inclinação Assim, uma função do 1º grau tem como taxa de variação: A B = y 2 y 1 x 2 x 1 O coeficiente a é denominado taxa de variação ou coeficiente angular. 23/35

24 Taxa de variação média ou inclinação O estudo dos sinais da função do 1º grau, y = ax + b (a 0), consiste em saber para que valores de x: y > 0; y = 0; y < 0. 24/35

25 Estudo do sinal Função Crescente: y = 2x 4 Para x = 0; y = 4. Para y = 0; x = 2. Para x > 2, temos y > 0; Para x = 2, temos y = 0; Para x < 2, temos y < 0. 25/35

26 Estudo do sinal A Função Crescente assume: Valores positivos para todo x > b a ; Valor zero para x = b a ; Valores negativos para todo x < b a Para x > 2, temos y > 0; Para x = 2, temos y = 0; Para x < 2, temos y < 0. 26/35

27 Estudo do sinal Função Decrescente: y = 3x + 9 Para x = 0; y = 9. Para y = 0; x = 3. Para x x < > 3, 2, temos y y > > 0; 0; Para x x = 3, 2, temos y y = = 0; 0; Para x x > < 2, 2, temos y y < < /35

28 Exercícios (UNIFESP-SP) Um recipiente contém um litro de uma mistura de diesel e álcool na proporção de 40% de diesel e 60% de álcool. Deseja-se modificar essa proporção para 30% de diesel e 70% de álcool, sem retirar diesel. Assim sendo, qual a quantidade mínima de álcool, em mililitros, que se deve adicionar à mistura original, considerando que as proporções mencionadas são sempre em volume? R. : ml 28/35

29 Exercícios (FGV-SP) Um terreno vale hoje R$ ,00 e estima-se que daqui a quatro anos seu valor seja R$ ,00. Admitindo que o valor imóvel seja função do 1º grau do tempo (medido em anos e com valor zero na data de hoje), seu valor daqui a 6 anos e 4 meses será, aproximadamente: R. : ,00 29/35

30 Obrigada pela atenção! /35