Matemática Financeira Módulo 2

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2 Fundamentos da Matemática O objetivo deste módulo consiste em apresentar breve revisão das regras e conceitos principais de matemática. Embora planilhas e calculadoras financeiras tenham facilitado grandemente os cálculos associados à matemática financeira, a compreensão da matemática elementar é necessária para que não sejamos reprodutores inconscientes do sistema, de posse do entendimento possamos ser autores do processo.

3 Regras Básicas para Operações Na Adição e Subtração Sinais diferentes Subtrai-se e conserva o sinal do maior valor absoluto. Ex.: 2-5 = = Sinais Iguais Soma-se e mantém o sinal Ex.: = = 7 (na adição e subtração, pensar financeiramente pode facilitar o cálculo) Ex.: Devo dois reais, devo cinco reais então devo sete reais

4 Multiplicação e divisão Nesse caso adotamos a seguinte regra: (+). (+) = + (-). (-) = + (+). (-) = - (-). (+) = - Nas operações com frações: -Adição e subtração: Faça o mínimo múltiplo comum -Multiplicação: Resolva normalmente, isto é, numerador vezes numerador e denominador vezes denominador - Divisão: uma possibilidade é multiplicar em X, isto é, produto dos extremos e produto dos meios.

5 Razões e Proporções O conceito de proporção tem uma grande importância, não apenas em matemática como também em nosso cotidiano. Freqüentemente empregamos proporções, embora sem a utilização de símbolos matemáticos. O estudos dos conceitos referentes as razões e proporções são o primeiro passo para o aprofundamento dos conhecimentos em matemática financeira. Razão de dois números Razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Indicamos: a/b ou a : b (lemos: a para b) Os elementos a e b são termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão.

6 Exercícios resolvidos: : : :7 x : x 4. A razão entre (2 + /) e 7 = /. A razão entre 5 e /2 = 0 2. A razão de 20 para 5 = 4. A razão de para 2 = / : : 2 4 : : Matemática Financeira

7 Razão de duas grandezas Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as medidas são da mesma espécie, elas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Exemplos:. A razão de 2m para m é: 2m = m 2 2. A razão de 0 dm para 6 m é: 0 dm = 6 m m = 6 m 2

8 Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo: Um automóvel percorre 60 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: 60 km = 2 h 60 km/h = 2 80 km/h

9 Proporções Denominamos proporção à igualdade entre duas razões. Dados, em uma certa ordem, quatro números (a,b,c,d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção, quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). Assim: Dados quatro números (5,, 20, 4), como a razão entre os dois primeiros números (5, ) é igual à razão entre os dois últimos (20, 4), isto é: dizemos que os números 5,, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões. 5 = 5 = Simbolicamente, representamos uma proporção por: a b (lemos: a está para b, assim como c está para d) = c d

10 Propriedade Fundamental: Na proporção: a b = c d, temos: a, b, c e d são termos( º, 2 º, º, 4 º termos) a e d são extremos b e c são meios Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Vejamos: Dada a proporção: 4 6 = 2, temos: 4x=2 e 6x2=2 Ao avançarmos em nosso percurso encontramos a regra de três. Vemos dois tipos: a regra de três simples que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta que envolve mais de duas grandezas. Podemos chamar de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. Vamos entender melhor.

11 Regra de Três Simples Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor para a outra. Devemos obter o valor proporcional mas desconhecido. Roteiro para resolução de Problemas.. Colocar as grandezas de mesma espécie numa mesma coluna. 2. Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido. Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido contrário.. Armar a proporção e resolvê-la. Exemplos:. Comprei 6m. de tecido por R$5,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m? 6 8 = x = 20 5 x Logo o preço procurado é R$20,00

12 Notas: - É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas na mesma unidade de medida. - Quando as grandezas são diretamente proporcionais dizemos que é regra de três direta. Exemplos: 2. Se 6 operários fazem certa obra em 0 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? Vamos Pensar: Se o número de operários aumentar, o tempo para a construção da obra irá diminuir. Logo as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais. Assim a seta indica que a maior grandeza está em sentido contrário.

13 Temos algumas formas para resolver essa situação, vamos indicar uma: Invertemos os valores de uma das colunas : Daí: x = Logo serão necessários dias. Obs. : Quando tratamos de problemas reais devemos observar que esse aumento acontecerá dentro de certos limites; a partir de um certo número de homens (número-limite), a lei não se aplica, pois seu aumento não vai influir no trabalho podendo até prejudicá-lo. Notas: Quando grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

14 Porcentagem O estudo e o desenvolvimento da matemática, estão por relacionados ao plano econômico. vezes O mundo de hoje, está de alguma forma relacionado à economia de mercado, de modo que é de grande importância termos noções matemáticas para podermos compreender os mecanismos das operações financeiras. Dessa forma os juros estão atuam fortemente nesse mundo. Assim, são válidas as seguintes expressões como conceitos de juros: a) remuneração do capital empregado em atividades produtivas; b) custo do capital de terceiros; c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.

15 A Importância da Porcentagem Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia). Exemplos: 2% ao ano = 2% a.a. 4% ao semestre = 4% a.s. % ao mês = % a.m. A obtenção do valor dos juros do período, em unidades monetárias, é sempre feita através da aplicação da taxa de juros sobre o capital aplicado. Assim, por exemplo, um capital de R$000,00 aplicado a uma taxa de juros de 8%a.a. proporciona, no final de um ano, um valor de juros igual a : 8% x $000,00 = $80,00

16 Entendendo Melhor! Quando escrevemos 7% - lemos: sete por cento - estamos usando uma outra forma para representar a razão 7/00, também chamada de razão centesimal ou taxa percentual. Quando nos referimos ao por cento, estamos usando uma expressão representada pelo símbolo %, que significa centésimos. Logo, 7% = 7 = 0, Para compreendermos o processo realizado no cálculo percentual resolva as seguintes questões sem o uso da calculadora. Exemplos: 5 a) 5% = = 0,5 c) 74% = 74 =, , 9 05, 2 b) 2,9% = = 0,029 d) 05,2% = =,

17 Exercícios resolvidos:. Escrever sob forma de porcentagem os seguintes números: a) 0,96 0,96 = 0, = 96 = 96% b) 0, , ,08 = 0,08. = = 96% 2. Calcular a) 5% de 90 b) 25% de 80% =, = = 20% Um terreno foi vendido por $9.600,00, recebendo o vendedor 2% dos 6% que cabe de comissão a imobiliária. Quanto o vendedor recebeu pela venda do terreno? 9600x6%=576 ou 2%x6% = 0,02x 0,06 = 0, x2%=,52 0,002x 9600 =,52

18 Exercícios resolvidos:. Em uma cidade, 5% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a população da cidade sabendo que as crianças são contadas separadamente, e o número dessas crianças corresponde a um total de 8000? 00% - (5% + 40%) = 00% - 75% = 25% n º habitantes porcentagem % x 00 25x = 8000 x 00 x= x= 2000 A população corresponde a habitantes.

19 Exercícios resolvidos: 4. Um comerciante pagou 20% de uma dívida. Determine a dívida inicial, sabendo que com $4.680,00 ele pagou 5% do restante. 00% - 20% = 80% corresponde a (5% de 80%), isto é, 28% $ % x 00 28x = 4680x00 28x = x= R: O valor da dívida inicial corresponde $56.000,00

20 Exercícios resolvidos: 5. Um aluno consegue estudar página do seu livro de matemática em hora. Se ele passar 8 horas estudando matemática, quantas páginas ele conseguirá estudar? x 8 x 8 Conseguirá estudar 8 páginas.

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